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1　圆周运动
第六章　圆周运动
1.理解匀速圆周运动、线速度、角速度、转速、周期等概念,掌握各物理量的计算公式,会用线速度、角速度和周期描述圆周运动。2.通过线速度和角速度的定义式推导出线速度、角速度、周期间的关系,提高应用这些物理量间的关系分析问题和解决问题的能力。
[定位·学习目标]　
探究·必备知识
知识点一　线速度
「探究新知」
1.圆周运动:运动轨迹为 或一段 的机械运动。
圆周
圆弧
弧长Δs
(2)定义式:v= 。
(3)方向:物体做圆周运动时该点的 方向。
(4)物理意义:表示物体运动的 。
3.匀速圆周运动
(1)定义:物体沿着圆周运动, 处处相等的运动。
(2)性质:线速度大小不变,方向时刻 ,所以它是一种 运动,这里的“匀速”是指 不变。
切线
快慢
线速度的大小
变化
变速
速率
(1)在圆周运动中,线速度的大小由所取弧长决定。(　 　)
(2)只要物体做圆周运动,其速度一定变化。(　 　)
(3)做匀速圆周运动的物体,相同时间内位移相同。(　 　)
正误辨析
×
√
×
知识点二　角速度
「探究新知」
1.定义:如图所示,物体在Δt时间内由A运动到B。半径OA在这段时间内转过的角 与所用时间Δt之比叫作角速度,用符号ω表示。
Δθ
2.定义式:ω= 。
3.单位:国际单位制中为弧度每秒,符号是 ,也可以写为s-1。
4.物理意义:描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。
5.匀速圆周运动的角速度 。
rad/s
不变
(1)匀速圆周运动的角速度保持不变。(　 　)
(2)做匀速圆周运动的物体,角速度越大,周期一定越大。(　 　)
(3)做匀速圆周运动的物体,线速度大小不变。(　 　)
正误辨析
√
×
√
知识点三　周期
「探究新知」
1.周期:做匀速圆周运动的物体,运动 所用的时间。用 表示,国际单位为 。它描述了圆周运动的周期性。
2.转速:物体转动的 与所用时间之比。常用符号 表示,单位为
或 。它描述物体做圆周运动的快慢。
一周
T
秒(s)
圈数
n
转每秒(r/s)
转每分(r/min)
知识点四　线速度与角速度的关系
「探究新知」
2.在圆周运动中,线速度的大小等于角速度的大小与半径的 。
ωr
乘积
「新知检测」
某款苍蝇拍的拍把长约30 cm,拍头长12 cm、宽10 cm,使用时发现,其使用效果不好,拍未到,蝇已飞。有人将拍把增长到60 cm,结果是打一个准一个。你能解释其原因吗
【答案】 苍蝇的反应很灵敏,只有拍头的速度足够大时才能击中,而人转动手腕的角速度是有限的,可认为不变。由v=ωr知,当增大转动半径(即拍把长)时,如由30 cm增大到60 cm,则拍头速度增大为原来的2倍,此时苍蝇拍的使用效果较好。
突破·关键能力
要点一　描述圆周运动的物理量及其关系
「情境探究」
如图所示为自行车的车轮示意图,A、B为辐条上的两点,当它们随车轮一起转动时,回答下列问题。
探究:(1)A、B两点的速度方向如何
【答案】 (1)A、B两点的速度方向均沿各自圆周的切线方向。
(2)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等,B点做匀速运动吗
【答案】 (2)B点运动的速率不变,但B点运动的方向时刻变化,故B点做非匀速运动。
(3)A、B两点在相同时间内哪个沿圆弧运动的轨迹长 哪个运动得快
【答案】 (3)A、B两点的角速度相等,B点的转动半径比较大,所以相同时间内,B点沿圆弧运动的轨迹长,B点运动得快。
(4)A、B两点转动一周的时间相同吗 哪个绕圆心转动得快
【答案】 (4)A、B两点的角速度相等,转动一周的时间相同,绕圆心转动得一样快。
「要点归纳」
1.各物理量的区别
(1)线速度、角速度、周期、转速都能描述圆周运动的快慢,但它们描述的角度不同,线速度v描述质点运动的快慢,而角速度ω、周期T、转速n描述质点转动的快慢。
(2)要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用一个量是不够的,线速度侧重于描述质点通过弧长快慢的程度,角速度侧重于描述质点转过角度快慢的程度。
(3)与周期、转速描述转动的快慢有相同作用的物理量还有频率,频率表示做圆周运动的物体在1 s的时间内完成圆周运动的次数。若转速单位取r/s,则频率大小等于转速大小,等于周期的倒数。
2.匀速圆周运动的线速度、角速度、频率、周期、转速的比较
3.线速度、角速度与半径r的关系图像
(1)当半径r相同时,线速度v与角速度ω成正比,如图甲所示。
(2)当角速度ω一定时,线速度v与半径r成正比,如图乙所示。
(3)当线速度v一定时,角速度ω与半径r成反比,如图丙、丁所示。
[例1] (多选)两个质点A、B分别做匀速圆周运动,在相同的时间内它们通过的路程之比sA∶sB=2∶3,转过的角度之比ΔθA∶ΔθB=3∶2,则下列说法正确的是(　　 )
[A]它们的运动半径之比rA∶rB=2∶3
[B]它们的运动半径之比rA∶rB=4∶9
[C]它们的周期之比TA∶TB=2∶3
[D]它们的转速之比nA∶nB=2∶3
BC
「典例研习」
·规律方法·
要点二　传动装置的分析和应用
「情境探究」
如图为一辆自行车传动装置的结构图,观察自行车是怎样用链条传动来驱动后轮前进的。
探究:(1)同一齿轮上到转轴距离不同的各点的线速度、角速度是否相同
【答案】 (1)线速度不同,角速度相同。
(2)两个齿轮相比较,其边缘的线速度大小是否相等 角速度是否相同 转速是否相同
【答案】 (2)线速度大小相等,角速度不同,转速不同。
三种传动装置
「要点归纳」
项目 同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接,A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合,A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同
[例2] (同轴转动、齿轮传动问题)如图所示,修正带的大小齿轮分别嵌合于固定的大小轴孔中,大小齿轮相互吻合,使用时大齿轮会带动小齿轮转动。a、b点分别位于小、大齿轮的边缘,c点位于大齿轮的半径中点。a、b、c三点角速度大小分别为ωa、ωb、ωc,线速度大小分别为va、vb、vc,则当修正带在使用的某个时刻,下列说法正确的是(　　)
[A]ωa<ωb [B]ωb>ωc
[C]vavc
D
「典例研习」
【解析】 b、c两点同轴转动,角速度相等,即ωb=ωc,B错误;大、小齿轮边缘点的线速度大小相等,所以va=vb,C错误;根据va=vb,v=ωr,raωb,A错误;根据v=ωr,rb>rc,得vb>vc,D正确。
[例3] (传动装置的计算)(多选)变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度挡位,如图是某一变速车齿轮传动结构示意图,图中a轮有48齿,b轮有 42齿,c轮有18齿,d轮有12齿,该车可变换各种不同挡位。下列说法正确的是( 　 　)
[A]当齿轮a与c组合时,两齿轮的边缘线速度之比va∶vc=3∶8
[B]当齿轮a与d组合时,两齿轮的周期之比 Ta∶Td=4∶1
[C]当齿轮b与c组合时,两齿轮的角速度之比ωb∶ωc=9∶49
[D]当齿轮b与c组合时,两齿轮的转速之比 nb∶nc=3∶7
BD
求解传动问题的思路
(1)分清传动特点:若属于皮带传动或齿轮传动,则轮子边缘各点线速度大小相等;若属于同轴转动,则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系:根据装置中各点位置确定半径关系,或根据题意确定半径关系。
·规律方法·
提升·核心素养
圆周运动的周期性和多解问题
「核心归纳」
1.多解的原因
匀速圆周运动具有周期性,使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生,这就要求我们在处理涉及匀速圆周运动的综合问题时,必须考虑其周期性。
2.多解的常见类型
3.解决圆周运动多解问题的方法
(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题。两个运动虽然独立进行,但一定有联系点,其联系点一般是时间或位移,寻求联系点是解题的突破点。
(2)对于圆周运动的周期性造成的多解问题,分析时可先确定一个周期的情况,然后再在转过的角度上加2nπ,具体n的取值应视情况而定。
「典例研习」
[例题] 如图所示,半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动,其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球,要使小球与圆盘只碰一次,且落点为B,已知重力加速度为g。求:
(1)小球的初速度大小v0;
(2)圆盘转动的角速度ω可能的表达式。
检测·学习效果
1.(多选)对于做匀速圆周运动的物体,下列说法正确的是( 　 　)
[A]相等的时间内通过的路程相等
[B]相等的时间内通过的弧长相等
[C]相等的时间内通过的位移相同
[D]在任何相等的时间内,连接物体和圆心的半径转过的角度都相等
ABD
【解析】 匀速圆周运动是指线速度大小不变的圆周运动,因此在相等时间内通过的路程相等、弧长相等、连接物体和圆心的半径转过的角度也相等,故A、B、D正确;相等时间内通过的位移大小相等,方向不相同,故C错误。
C
3.如图所示,普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成。车轮有大车轮和小车轮,大车轮上固定有手轮圈,手轮圈由患者直接推动。已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1,假设轮椅在地面上做直线运动,手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑,则下列说法正确的是(　　)
[A]大车轮与小车轮的周期之比为1∶9
[B]手轮圈与小车轮的角速度之比为1∶1
[C]大车轮与手轮圈两边缘的线速度之比为1∶1
[D]大车轮轴心与小车轮轴心的速度之比为1∶1
D
4.如图所示,小球Q在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动,当小球Q转到图示位置时,O点正上方有另一小球P在距圆周最高点h处开始自由下落,要使两球在圆周最高点相遇,则小球Q的角速度ω应满足什么条件
感谢观看1　圆周运动
[定位·学习目标]　1.理解匀速圆周运动、线速度、角速度、转速、周期等概念,掌握各物理量的计算公式,会用线速度、角速度和周期描述圆周运动。2.通过线速度和角速度的定义式推导出线速度、角速度、周期间的关系,提高应用这些物理量间的关系分析问题和解决问题的能力。
知识点一　线速度
探究新知
1.圆周运动:运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动。
2.线速度
(1)定义:物体沿圆弧运动,取一段很短的时间Δt,若通过的弧长为Δs,则弧长Δs与时间Δt之比反映了物体在该过程运动的快慢,如果Δt非常非常小,表示物体在某点时运动的快慢,通常把它称为线速度的大小,用符号v表示。
(2)定义式:v=。
(3)方向:物体做圆周运动时该点的切线方向。
(4)物理意义:表示物体运动的快慢。
3.匀速圆周运动
(1)定义:物体沿着圆周运动,线速度的大小处处相等的运动。
(2)性质:线速度大小不变,方向时刻变化,所以它是一种变速运动,这里的“匀速”是指速率不变。
正误辨析
(1)在圆周运动中,线速度的大小由所取弧长决定。(　×　)
(2)只要物体做圆周运动,其速度一定变化。(　√　)
(3)做匀速圆周运动的物体,相同时间内位移相同。(　×　)
知识点二　角速度
探究新知
1.定义:如图所示,物体在Δt时间内由A运动到B。半径OA在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度,用符号ω表示。
2.定义式:ω=。
3.单位:国际单位制中为弧度每秒,符号是rad/s,也可以写为s-1。
4.物理意义:描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。
5.匀速圆周运动的角速度不变。
正误辨析
(1)匀速圆周运动的角速度保持不变。(　√　)
(2)做匀速圆周运动的物体,角速度越大,周期一定越大。(　×　)
(3)做匀速圆周运动的物体,线速度大小不变。(　√　)
知识点三　周期
探究新知
1.周期:做匀速圆周运动的物体,运动一周所用的时间。用 T表示,国际单位为秒(s)。它描述了圆周运动的周期性。
2.转速:物体转动的圈数与所用时间之比。常用符号n表示,单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。它描述物体做圆周运动的快慢。
知识点四　线速度与角速度的关系
探究新知
1.关系推导:由v=,ω=,当Δθ以弧度为单位时,Δθ=,可得v=ωr。
2.在圆周运动中,线速度的大小等于角速度的大小与半径的乘积。
新知检测
某款苍蝇拍的拍把长约30 cm,拍头长12 cm、宽10 cm,使用时发现,其使用效果不好,拍未到,蝇已飞。有人将拍把增长到60 cm,结果是打一个准一个。你能解释其原因吗
【答案】 苍蝇的反应很灵敏,只有拍头的速度足够大时才能击中,而人转动手腕的角速度是有限的,可认为不变。由v=ωr知,当增大转动半径(即拍把长)时,如由30 cm增大到60 cm,则拍头速度增大为原来的2倍,此时苍蝇拍的使用效果较好。
要点一　描述圆周运动的物理量及其关系
情境探究
如图所示为自行车的车轮示意图,A、B为辐条上的两点,当它们随车轮一起转动时,回答下列问题。
探究:(1)A、B两点的速度方向如何
(2)如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等,B点做匀速运动吗
(3)A、B两点在相同时间内哪个沿圆弧运动的轨迹长 哪个运动得快
(4)A、B两点转动一周的时间相同吗 哪个绕圆心转动得快
【答案】 (1)A、B两点的速度方向均沿各自圆周的切线方向。
(2)B点运动的速率不变,但B点运动的方向时刻变化,故B点做非匀速运动。
(3)A、B两点的角速度相等,B点的转动半径比较大,所以相同时间内,B点沿圆弧运动的轨迹长,B点运动得快。
(4)A、B两点的角速度相等,转动一周的时间相同,绕圆心转动得一样快。
要点归纳
1.各物理量的区别
(1)线速度、角速度、周期、转速都能描述圆周运动的快慢,但它们描述的角度不同,线速度v描述质点运动的快慢,而角速度ω、周期T、转速n描述质点转动的快慢。
(2)要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用一个量是不够的,线速度侧重于描述质点通过弧长快慢的程度,角速度侧重于描述质点转过角度快慢的程度。
(3)与周期、转速描述转动的快慢有相同作用的物理量还有频率,频率表示做圆周运动的物体在1 s的时间内完成圆周运动的次数。若转速单位取r/s,则频率大小等于转速大小,等于周期的倒数。
2.匀速圆周运动的线速度、角速度、频率、周期、转速的比较
内容 大小 国际单位(符号)
线速度 v== 米每秒(m/s)
角速度 ω= 弧度每秒(rad/s)
频率 f= 赫兹(Hz)
周期 T== 秒(s)
转速 n=f= 转每秒(r/s)
各物理量在图中示意 联系
都是描述匀速圆周运动快慢的物理量,v==ωr=2πrf=2πnr
3.线速度、角速度与半径r的关系图像
(1)当半径r相同时,线速度v与角速度ω成正比,如图甲所示。
(2)当角速度ω一定时,线速度v与半径r成正比,如图乙所示。
(3)当线速度v一定时,角速度ω与半径r成反比,如图丙、丁所示。
典例研习
[例1] (多选)两个质点A、B分别做匀速圆周运动,在相同的时间内它们通过的路程之比sA∶sB=2∶3,转过的角度之比ΔθA∶ΔθB=3∶2,则下列说法正确的是(　　)
[A]它们的运动半径之比rA∶rB=2∶3
[B]它们的运动半径之比rA∶rB=4∶9
[C]它们的周期之比TA∶TB=2∶3
[D]它们的转速之比nA∶nB=2∶3
【答案】 BC
【解析】 两个质点A、B在相同的时间内通过的路程之比为2∶3,即通过的弧长之比为2∶3,所以vA∶vB=2∶3,在相同的时间内转过的角度之比ΔθA∶ΔθB=3∶2,根据ω=得ωA∶ωB=3∶2,根据v=ωr得==,选项A错误,B正确;根据T=得==,选项C正确;由于转速是单位时间内物体转过的圈数,转速与周期的关系为n=,所以==,选项D错误。
求解圆周运动中各物理量间的关系问题时,首先必须明确线速度、角速度、周期、转速(频率)等都是从不同角度描述圆周运动的物理量,通过分析题给条件,弄清问题中哪些物理量不变,然后根据v=rω,ω=等关系式求解。
要点二　传动装置的分析和应用
情境探究
如图为一辆自行车传动装置的结构图,观察自行车是怎样用链条传动来驱动后轮前进的。
探究:(1)同一齿轮上到转轴距离不同的各点的线速度、角速度是否相同
(2)两个齿轮相比较,其边缘的线速度大小是否相等 角速度是否相同 转速是否相同
【答案】 (1)线速度不同,角速度相同。
(2)线速度大小相等,角速度不同,转速不同。
要点归纳
　三种传动装置
项目 同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接,A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合,A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同
转动方向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比:= 角速度与半径成反比:=。周期与半径成正比:= 角速度与半径成反比:=。 周期与半径成正比:=
典例研习
[例2] (同轴转动、齿轮传动问题)如图所示,修正带的大小齿轮分别嵌合于固定的大小轴孔中,大小齿轮相互吻合,使用时大齿轮会带动小齿轮转动。a、b点分别位于小、大齿轮的边缘,c点位于大齿轮的半径中点。a、b、c三点角速度大小分别为ωa、ωb、ωc,线速度大小分别为va、vb、vc,则当修正带在使用的某个时刻,下列说法正确的是(　　)
[A]ωa<ωb [B]ωb>ωc
[C]vavc
【答案】 D
【解析】 b、c两点同轴转动,角速度相等,即ωb=ωc,B错误;大、小齿轮边缘点的线速度大小相等,所以va=vb,C错误;根据va=vb,v=ωr,raωb,A错误;根据v=ωr,rb>rc,得vb>vc,D正确。
[例3] (传动装置的计算)(多选)变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度挡位,如图是某一变速车齿轮传动结构示意图,图中a轮有48齿,b轮有 42齿,c轮有18齿,d轮有12齿,该车可变换各种不同挡位。下列说法正确的是(　　)
[A]当齿轮a与c组合时,两齿轮的边缘线速度之比va∶vc=3∶8
[B]当齿轮a与d组合时,两齿轮的周期之比 Ta∶Td=4∶1
[C]当齿轮b与c组合时,两齿轮的角速度之比ωb∶ωc=9∶49
[D]当齿轮b与c组合时,两齿轮的转速之比 nb∶nc=3∶7
【答案】 BD
【解析】 齿轮a与c的组合属于皮带传动模型,所以两齿轮边缘线速度大小相等,故A错误;设齿轮轮距为a,齿数为N,则Na=2πr,即r∝N,当齿轮a、d组合时,有va=vd,==,根据v=,得==,故B正确;齿轮b与c组合时,边缘线速度大小相等,根据v=ωr,得===,根据v=2πrn得,==,故C错误,D正确。
求解传动问题的思路
(1)分清传动特点:若属于皮带传动或齿轮传动,则轮子边缘各点线速度大小相等;若属于同轴转动,则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系:根据装置中各点位置确定半径关系,或根据题意确定半径关系。
(3)择式分析:若线速度大小相等,则根据ω∝分析,若角速度相等,则根据v∝r分析。
圆周运动的周期性和多解问题
核心归纳
1.多解的原因
匀速圆周运动具有周期性,使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生,这就要求我们在处理涉及匀速圆周运动的综合问题时,必须考虑其周期性。
2.多解的常见类型
类型 情境及关系
圆周运动+直线运动 =+(n=0,1,2,…) vB=vA时,有ωr=(+)(n=0,1,2,…)
圆周运动+平抛运动 飞镖正对A点射出又射中A点时,有=+(n=0,1,2,…) 小球B沿OA水平抛出,仅一次落在圆盘上与OA垂直的连线上的A′点时,有=+(n=0,1,2,…)
3.解决圆周运动多解问题的方法
(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题。两个运动虽然独立进行,但一定有联系点,其联系点一般是时间或位移,寻求联系点是解题的突破点。
(2)对于圆周运动的周期性造成的多解问题,分析时可先确定一个周期的情况,然后再在转过的角度上加2nπ,具体n的取值应视情况而定。
典例研习
[例题] 如图所示,半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动,其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球,要使小球与圆盘只碰一次,且落点为B,已知重力加速度为g。求:
(1)小球的初速度大小v0;
(2)圆盘转动的角速度ω可能的表达式。
【答案】 (1)R
(2)ω=2nπ(n=1,2,3,…)
【解析】 (1)由平抛运动知识得
R=v0t,h=gt2,
解得小球的初速度大小v0=R。
(2)设小球在空中运动时间t内圆盘转过的角度为θ。由于小球沿OB方向水平抛出,且落在B点,可知θ=2nπ(n=1,2,3,…),
其中θ=ωt,
则圆盘的角速度ω==2nπ(n=1,2,3,…)。
1.(多选)对于做匀速圆周运动的物体,下列说法正确的是(　　)
[A]相等的时间内通过的路程相等
[B]相等的时间内通过的弧长相等
[C]相等的时间内通过的位移相同
[D]在任何相等的时间内,连接物体和圆心的半径转过的角度都相等
【答案】 ABD
【解析】 匀速圆周运动是指线速度大小不变的圆周运动,因此在相等时间内通过的路程相等、弧长相等、连接物体和圆心的半径转过的角度也相等,故A、B、D正确;相等时间内通过的位移大小相等,方向不相同,故C错误。
2.(2025·河北卷)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳,照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹,简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动,相机本次曝光时间是 s,圆弧对应的圆心角约为30°,则该同学每分钟跳绳的圈数约为(　　)
[A]90 [B]120 [C]150 [D]180
【答案】 C
【解析】 根据题意可知,塑料绳转动的角速度为ω== rad/s=5π rad/s,故该同学每分钟跳绳的圈数为n==150。
3.如图所示,普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成。车轮有大车轮和小车轮,大车轮上固定有手轮圈,手轮圈由患者直接推动。已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1,假设轮椅在地面上做直线运动,手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑,则下列说法正确的是(　　)
[A]大车轮与小车轮的周期之比为1∶9
[B]手轮圈与小车轮的角速度之比为1∶1
[C]大车轮与手轮圈两边缘的线速度之比为1∶1
[D]大车轮轴心与小车轮轴心的速度之比为1∶1
【答案】 D
【解析】 由于大车轮与小车轮边缘的线速度大小相等,由关系式T=可得,其周期之比为==,故A错误;根据题意可知,大车轮与手轮圈共轴,则它们的角速度相等,根据v=ωr可知,大车轮与手轮圈两边缘的线速度之比为==,对大车轮与小车轮,由v=ωr得角速度之比为===,故B、C错误;大车轮轴心与小车轮轴心一起平动,则它们轴心的速度之比为 1∶1,故D正确。
4.如图所示,小球Q在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动,当小球Q转到图示位置时,O点正上方有另一小球P在距圆周最高点h处开始自由下落,要使两球在圆周最高点相遇,则小球Q的角速度ω应满足什么条件
【答案】 ω=(n=0,1,2,…)
【解析】 设小球P自由下落到圆周最高点的时间为t,由自由落体运动规律可得h=gt2,
解得t=,
经过时间t,小球Q由题图所示位置转至最高点,才能与小球P在圆周最高点相遇,其做匀速圆周运动,设周期为T,有t=(4n+1)(n=0,1,2,…),
两式联立再由T=得(4n+1)=(n=0,1,2,…),
解得ω=(n=0,1,2,…)。
课时作业
(分值:70分)　　　　　　 　　　　　 　　　　　
考点一　描述圆周运动的物理量及其关系
1.(4分)关于匀速圆周运动,下列说法不正确的是(　　)
[A]在匀速圆周运动中线速度是恒量,角速度也是恒量
[B]在匀速圆周运动中线速度是变量,角速度是恒量
[C]线速度是矢量,其方向是圆周上该点的切线方向
[D]线速度、角速度都是矢量
【答案】 A
【解析】 在匀速圆周运动中线速度大小不变,方向改变,故线速度是变量,角速度是恒量,A错误,B正确;线速度是矢量,其方向是圆周上该点的切线方向,C正确;线速度、角速度都是矢量,D正确。
2.(12分)工程技术上常用转速描述圆周运动,转速是指物体单位时间内转过的圈数,常用符号n表示,单位有r/s或r/min。如果某质点沿半径为 3 m的轨道做匀速圆周运动的转速是
60 r/min,π=3.14。求:
(1)质点做匀速圆周运动的角速度大小;
(2)质点做匀速圆周运动的线速度大小;
(3)经过1.5 s时间质点发生的位移大小。
【答案】 (1)6.28 rad/s　(2)18.84 m/s　(3)6 m
【解析】 (1)质点的转速n=60 r/min=1 r/s,
根据关系式ω=2πn,可得角速度大小为
ω=2×3.14×1 rad/s=6.28 rad/s。
(2)质点的线速度大小为
v=ωr=6.28×3 m/s=18.84 m/s。
(3)由关系式ω=可知,质点的周期为T==1 s,
则经过1.5 s时间质点由某条直径的一端转到另一端,即发生的位移大小为x=2R=6 m。
考点二　传动装置的分析和应用
3.(4分)(2025·河北邯郸期末)如图所示,地球可看成是一个质量分布均匀的球体,地球上的物体均随地球自转做匀速圆周运动。已知某地的纬度约为37°,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则位于赤道和此地的物体P、Q随地球自转的角速度、线速度之比分别为(　　)
[A]1∶1,5∶3 [B]1∶1,5∶4
[C]5∶3,1∶1 [D]5∶4,1∶1
【答案】 B
【解析】 物体P、Q随地球自转,则物体P、Q的角速度相等;根据v=ωr,可得物体P、Q的线速度大小之比为vP∶vQ=rP∶rQ=R∶(Rcos 37°)=5∶4,故选B。
4.(4分)如图所示的齿轮传动装置中,主动轮和从动轮的轮齿相同,主动轮的齿数z1=24,从动轮的齿数z2=8,当主动轮以角速度ω逆时针转动时,从动轮的转动情况是(　　)
[A]顺时针转动,周期为
[B]逆时针转动,周期为
[C]顺时针转动,周期为
[D]逆时针转动,周期为
【答案】 A
【解析】 齿轮啮合,转动时不打滑,说明接触点线速度大小相等,且主动轮与从动轮转动方向相反,即主动轮逆时针转动时从动轮顺时针转动。因为两轮轮齿相同,设轮齿间距为a,有za=2πr,则r=∝z,由v=ωr得ω=∝,即主动轮与从动轮的角速度之比==,则从动轮的角速度ω2=3ω1=3ω,由ω=得从动轮的周期T==,故A正确。
5.(6分)(多选)如图甲是物理实验室常用的感应起电机,它是由两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的,其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接,如图乙所示。已知主动轮的半径约为 8 cm,从动轮的半径约为2 cm,P和Q是玻璃盘边缘上的两点。现玻璃盘以
100 r/min 的转速旋转,若转动时皮带不打滑,下列说法正确的是(　　)
[A]P、Q两点的线速度相同
[B]玻璃盘的转动方向与主动轮转动方向相反
[C]P点的线速度大小约为1.6 m/s
[D]主动轮的转速约为400 r/min
【答案】 BC
【解析】 玻璃盘上的P、Q两点虽然速率相等,但方向不同,即线速度不同,故A错误;由主动轮与从动轮的连接情况可知,玻璃盘的转动方向与主动轮转动方向相反,故B正确;线速度大小为v=ωr=2πnr,代入数据得P点线速度大小vP=2π×× m/s≈1.6 m/s,故C正确;从动轮边缘的线速度大小为v从=2πnr从=2π××0.02 m/s=π m/s,而主动轮与从动轮边缘各点的线速度大小相等,即v主=v从,所以主动轮的转速n主=,解得n主=25 r/min,故D错误。
考点三　圆周运动的周期性和多解问题
6.(4分)一名同学玩飞镖游戏,已知飞镖距圆盘为L,对准圆盘上边缘的A点水平抛出,初速度为v0,飞镖抛出的同时,圆盘绕垂直圆盘且过盘心O点的水平轴匀速转动。若飞镖恰好击中A点,下列说法不正确的是(　　)
[A]从飞镖抛出到恰好击中A点,A点一定转动到最低点位置
[B]从飞镖抛出到恰好击中A点的时间为
[C]圆盘的半径为
[D]圆盘转动的角速度一定满足(k=1,2,3,…)
【答案】 D
【解析】 飞镖抛出后做平抛运动,则飞镖抛出到恰好击中A点,A点一定转动到了圆盘最低点位置,故A说法正确;飞镖水平抛出,在水平方向做匀速直线运动,因此t=,故B说法正确;飞镖击中A点时,A恰好在最下方,有2r=gt2,解得r=,故C说法正确;飞镖击中A点,则A点转过的角度满足θ=ωt=π+2kπ(k=0,1,2,…),故ω=πv0(k=0,1,2,…),故D说法错误。
7.(10分)如图所示,按顺时针方向在竖直平面内做匀速转动的轮子边缘上有一点A。当A通过与圆心等高的a点时,有一质点B从圆心O开始做自由落体运动,已知圆的半径为R。
(1)轮子的角速度ω满足什么条件时,点A才能与B相遇
(2)轮子的角速度ω′满足什么条件时,点A与B的速度才会相同
【答案】 (1)ω=(n=0,1,2,3,…)
(2)ω′=(n′=0,1,2,3,…)
【解析】 (1)质点B运动到最低点时才能与A点相遇,设质点B运动到最低点的时间为t,根据自由落体运动得R=gt2,
设A点做圆周运动的周期为T,则
t=(n+)T,n=0,1,2,3,…,
又T=,
解得ω=(n=0,1,2,3,…)。
(2)当A通过与圆心等高的C点时,点A与B的速度才会相同,设所用时间为t′,根据题意得
ω′R=gt′,
t′=(n′+)T′,n′=0,1,2,3,…,T′=,
解得ω′=(n′=0,1,2,3,…)。
8.(4分)如图所示,如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动,那么,从它的分针与秒针第一次重合至第二次重合,中间经历的时间为(　　)
[A] min [B]1 min
[C] min [D] min
【答案】 C
【解析】 分针与秒针的角速度分别为ω秒=,ω分=,而T秒=60 s,T分=3 600 s,则ω秒=60ω分。设两次重合的时间间隔为Δt,因θ分=ω分·Δt,θ秒=ω秒·Δt,由θ秒-θ分=2π,得Δt===
min,故C正确。
9.(4分)自行车转弯时,可近似看成自行车绕某个定点O(图中未画出)做圆周运动,自行车转弯时的俯视示意图如图所示,自行车前、后两轮轴A、B(均视为质点)相距x1,虚线表示两轮转弯的轨迹,O、A间的距离为x2,设前后轮的线速度分别为v1、v2,则轮轴A与轮轴B的速度大小之比为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 过A和B分别作v1、v2的垂线,两垂线的交点即为圆弧的圆心O,如图所示。
设v1、v2间夹角为θ,由于两轮轴沿车身方向的速度相等,则v1cos θ=v2,cos θ=,根据几何关系有cos θ=,解得=,选项D正确。
10.(6分)(多选)如图所示,半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。子弹以大小为v0的水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒,从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上,不计空气阻力及圆筒对子弹运动的影响,重力加速度大小为g,圆筒足够长,下列说法正确的是(　　)
[A]子弹在圆筒中的运动时间为
[B]两弹孔的高度差为
[C]圆筒转动的周期可能为
[D]若仅改变圆筒的转速,则子弹不可能在圆筒上只打出一个弹孔
【答案】 BD
【解析】 子弹在圆筒中的运动时间满足2R=v0t,解得t=,故A错误;若仅改变圆筒的转速,由于子弹在竖直方向做自由落体运动,所以子弹不可能在圆筒上只打出一个弹孔,两弹孔的高度差为h=gt2=,故B、D正确;设圆筒转动的周期为T,则有t=(n+)T(n=0,1,2,3,…),可知T=·(n=0,1,2,3,…),可知圆筒转动的周期不可能为,故C错误。
11.(12分)如图所示,一个半径为R的圆盘浮在水面上,圆盘表面保持水平且与水平平台AB的高度差为h,C为圆盘边缘上一点。某时刻有一小球从B点水平向右抛出,初速度 v0的方向与圆盘半径OC在同一竖直平面内。 已知圆盘的圆心O与B点之间的水平距离为2R,重力加速度为g,不计空气阻力,小球可看作质点。
(1)若小球正好落在圆盘的圆心O处,求此次平抛小球的初速度大小v0;
(2)若小球能落在圆盘上,求小球初速度大小v0的范围;
(3)若圆盘绕过其圆心O的竖直轴以角速度ω匀速转动,且小球从B点以最大初速度抛出时方向恰好沿半径OC,要使小球又落到C点,求圆盘转动的角速度ω。
【答案】 (1)　(2)≤v0≤ (3)(n=1,2,3,…)
【解析】 (1)小球从B点到圆盘做平抛运动,
竖直方向上有h=gt2,
水平方向上有2R=v0t,
解得v0=。
(2)初速度v0最小时,小球刚好落在圆盘左侧边缘,由(1)得
vmin=,
初速度v0最大时,小球刚好落在圆盘右侧边缘,则vmax=,
即小球能落在圆盘上的初速度范围为≤v0≤。
(3)C点随圆盘一起以角速度ω匀速转动,要使小球落到C点,应满足
t=nT=(n=1,2,3,…),
而t=,
解得ω=(n=1,2,3,…)。

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