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2　向心力
1.知道向心力的概念及内涵,形成与匀速圆周运动相关的运动与相互作用的物理观念。2.通过分析实际圆周运动问题中的向心力来源,掌握匀速圆周运动的向心力的计算以及变速圆周运动的分析方法,提高科学思维能力。3.通过“探究向心力大小的表达式”等实验,体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用,培养科学探究精神。
[定位·学习目标]　
探究·必备知识
知识点一　向心力
「探究新知」
1.定义:做匀速圆周运动的物体所受的总指向 的合力。
2.作用效果:只改变速度的 。
3.来源
(1)向心力是根据力的 命名的。
(2)做匀速圆周运动的物体的向心力是由某个力或者几个力的 提供的。
圆心
方向
作用效果
合力
(1)做圆周运动的物体,所受合力可能为零。(　 　)
(2)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力。(　 　)
(3)向心力和重力、弹力一样,都是根据力的性质命名的。(　 　)
(4)向心力可以由物体受到的某一个力提供,也可以由物体受到的合力提供。(　 　)
正误辨析
×
√
×
×
知识点二　实验:探究向心力大小的表达式
探究方案一　感受向心力
1.实验原理
如图所示,在绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体),另一端握在手中。将手举过头顶,使沙袋在 做圆周运动,此时沙袋所受的向心力
等于手通过绳对沙袋的拉力。
水平面内
近似
2.实验步骤
(1)在沙袋的 和 不变的条件下,改变沙袋做圆周运动的半径进行实验,比较向心力与 的关系。
(2)在沙袋的 和做圆周运动的 不变的条件下,改变沙袋的角速度进行实验,比较向心力与 的关系。
(3)换用不同质量的沙袋,在 和做圆周运动的 不变的条件下进行实验,比较向心力与 的关系。
3.实验意义:体会向心力的大小与哪些量有关。
质量
角速度
半径
质量
半径
角速度
角速度
半径
质量
探究方案二　用向心力演示器定量探究
1.实验原理
向心力演示器如图所示,匀速转动手柄1,可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在塔轮2和3的不同圆盘上,可使 分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动。小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的 提供。球对挡板的反作用力,通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降,从而露出标尺8。根据标尺8上露出的 等分标记,可以粗略计算出两个球所受向心力的 。
两个槽内的小球
压力
红白相间
比值
2.实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上,小球转动 和转动 相同时,探究向心力与小球质量的关系。
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上,小球转动 和 相同时,探究向心力与转动半径的关系。
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上,小球 和转动 相同时,探究向心力与角速度的关系。
半径
角速度
角速度
质量
质量
半径
3.实验结论
向心力随半径r、角速度ω和质量m的增大而增大,精确的实验表明向心力的大小可以表示为Fn= ,或者Fn= 。
mω2r
知识点三　变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
「探究新知」
1.变速圆周运动及受力特点
(1)做变速圆周运动的物体线速度大小发生变化,所受的合力 指向轨迹的圆心。
(2)指向圆心的分力Fn提供 ,改变物体速度的 。
(3)沿切向方向的分力Ft改变速度的 ,与速度方向相同时物体速度 ,与速度方向相反时,物体速度 。
并不
向心力
方向
大小
增大
减小
2.一般曲线运动及受力特点
(1)运动轨迹既不是直线也不是 的曲线运动,可以称为一般的曲线运动。如图所示。
(2)处理方法:可以把曲线分割为许多 的小段,每一小段看作一小段圆弧。
(3)用处理 的方法研究质点在每一小段圆弧上的运动。
圆周
很短
圆周运动
「新知检测」
运动员投掷链球时可以通过抡链子来调节链球速度的大小。这给我们带来疑问:难道向心力可以改变速度的大小吗 这到底是什么原因呢
【答案】 不能。链子对链球的拉力沿运动方向的分量改变链球的速度
大小。
突破·关键能力
要点一　对向心力的理解及来源
「情境探究」
如图所示,在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
探究:(1)物体受到哪些力 合力指向什么方向 物体需要的向心力由什么力提供
【答案】 (1)物体受重力、支持力、静摩擦力三个力作用;其合力等于静摩擦力,方向指向圆心;由静摩擦力提供向心力。
(2)当转动的角速度变大后,物体仍与圆盘保持相对静止,物体所受的摩擦力大小怎样变化
【答案】 (2)当圆盘角速度变大后,物体随圆盘转动的角速度变大,由Fn=mω2r可知需要的向心力增大,即静摩擦力也增大。
「要点归纳」
1.向心力的特点及大小
(1)方向特点:无论是否为匀速圆周运动,其向心力方向总是与线速度方向垂直,始终沿着半径指向圆心,即方向时刻改变,故向心力是变力。
(2)作用效果:只改变线速度的方向,不改变线速度的大小。
2.向心力的来源
(1)向心力可以由物体所受的重力、弹力、摩擦力等各种性质力提供,可以是它们的合力,还可以是某个力的分力。
(2)对于匀速圆周运动,合力提供向心力;对于非匀速圆周运动,将合力沿圆周切向和法向分解,沿半径方向的分力提供向心力。
[例1] (对向心力概念的理解)下列关于向心力的说法正确的是(　　)
[A]做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的
作用
[B]向心力和重力、弹力、摩擦力一样,是性质力
[C]做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合力
[D]做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
C
「典例研习」
【解析】 向心力是物体做圆周运动所需要的力,它是效果力,可以由某一个力、几个力的合力或某个力的分力提供,选项A、B错误;匀速圆周运动中线速度大小不变,所受合力一定指向圆心,合力即为向心力,非匀速圆周运动中线速度大小发生变化,其合力在圆周切向方向的分力改变线速度大小,指向圆心的分力才是向心力,选项C正确,D错误。
[例2] (向心力的来源分析)如图所示,小物体A与水平圆盘保持相对静止,跟着圆盘一起做匀速圆周运动,则A受力情况是(　　)
[A]重力、支持力
[B]重力、向心力
[C]重力、支持力、指向圆心的摩擦力
[D]重力、支持力、向心力、摩擦力
C
【解析】 小物体受到重力、支持力、静摩擦力,其中指向圆心的静摩擦力提供向心力,C正确。
要点二　实验“探究向心力大小的表达式”的关键及拓展
「要点归纳」
1.实验采用控制变量法。注意在改变某一因素(如半径)的同时,必须控制其他因素(如质量和角速度)不变,以便找出这个因素影响向心力变化的规律。
2.随着信息技术的发展,物理实验的仪器不断进步。用力传感器结合光电系统能够得到物体做匀速圆周运动的向心力及对应参量的数值,可以探究向心力与各参量间的精确关系。
3.利用实验得到的向心力与各个因素的数值,可分别作出Fn与ω(或ω2)、r、m、v(或v2)等的对应图像,从而确定向心力与各参量间的定量关系。
[例3] 用如图所示的实验装置来探究影响向心力大小的因素。长槽横臂的挡板B到转轴的距离是挡板A的2倍,长槽横臂的挡板A和短槽横臂的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动,槽内的球就做匀速圆周运动。
「典例研习」
(1)为探究向心力和角速度的关系,应将质量相同的小球分别放在挡板
　　　　(选填“A和B”“A和C”或“B和C”)处。若在实验中发现左、右标尺显示的向心力之比为4∶1,则选取的左、右变速塔轮轮盘半径之比为
　　　　。
A和C
1∶2　
【解析】 (1)根据Fn=mω2r可知,为探究向心力和角速度的关系,应将质量相同的小球分别放在半径r相同的挡板处,即A和C处;若在实验中发现左、右标尺显示的向心力之比为4∶1,则左、右塔轮的角速度之比为2∶1,同一皮带上的线速度大小相等,由v=ωR可知选取的左、右变速塔轮轮盘半径之比为1∶2。
(2)在某次实验中,某同学将质量相同的小球分别放在挡板B和C处,传动皮带所套的左、右变速塔轮轮盘半径之比为2∶1,则左、右标尺显示的向心力之比为　　　　。
1∶2　
【解析】 (2)传动皮带所套的左、右变速塔轮轮盘半径R之比为2∶1,则左右变速塔轮的角速度之比为 1∶2,质量相同的小球分别放在挡板B和C处,转动半径之比为2∶1,由Fn=mω2r可知,左、右标尺显示的向心力之比为1∶2。
要点三　匀速圆周运动的动力学问题
「情境探究」
如图甲所示,喷气式飞机在空中水平面内做匀速圆周运动;如图乙所示,在光滑漏斗内壁上,小球做匀速圆周运动。
探究:(1)飞机和小球分别受到哪些力的作用 它们的向心力由什么力提供
【答案】 (1)飞机受到重力、燃气推力、空气阻力和升力的作用,重力和升力的合力提供向心力;漏斗中转动的小球受重力和漏斗内壁的弹力,二者的合力提供向心力。
(2)若知道飞机或小球做圆周运动的半径和线速度大小,还需要知道哪些信息才能求得飞机受到的升力或小球受到的弹力大小
【答案】 (2)计算飞机受到的升力或小球受到的弹力大小,除了飞机或小球做圆周运动的半径和线速度大小,还需要知道飞机或小球的质量以及飞机机身倾斜的角度或漏斗内壁的倾角。
「要点归纳」
向心力 来源 实例分析
重力提供 向心力 如图所示,用细绳拴住小球在竖直平面内转动,当
它经过最高点时,若绳的拉力恰好为零,则此时向
心力由重力提供
弹力提供 向心力 如图所示,用细绳拴住小球在光滑的水平面内做
匀速圆周运动,向心力由绳子的拉力提供
摩擦力提 供向心力 如图所示,物体随转盘做匀速圆周运动,且物
体相对于转盘静止,向心力由转盘对物体的
静摩擦力提供
合力提供 向心力 如图所示,细线拴住小球在竖直面内做匀速
圆周运动,当小球经过最低点时,向心力由细
线的拉力和重力的合力提供
分力提供 向心力 如图所示,小球在细线作用下,在水平面内
做圆锥摆运动时,向心力由细线的拉力在
水平面内的分力提供
[例4] 如图所示,一长为L的细绳一端固定在天花板上,另一端与一质量为m的小球相连接。现使小球在一水平面内做匀速圆周运动,此时细绳与竖直方向的夹角为θ,不计空气阻力,重力加速度大小为g。
「典例研习」
(1)求小球做匀速圆周运动的向心力大小Fn;
【答案】 (1)mgtan θ
【解析】 (1)小球所受细绳的拉力和重力的合力提供向心力,则Fn=mgtan θ。
(2)求小球做匀速圆周运动的线速度大小v;
(3)某同学判断,若小球的线速度增大,细绳与竖直方向的夹角θ也将增大,但θ不可能等于90°,试说明理由。
求解圆周运动问题必须进行的三类分析
(1)几何分析:确定圆周运动的轨道平面、圆心、半径等。
(2)运动分析:确定圆周运动的线速度、角速度等。
(3)受力分析:通过力的合成与分解,确定外力所提供的向心力。
·规律方法·
要点四　变速圆周运动与一般的曲线运动
「情境探究」
如图所示,荡秋千是小朋友很喜欢的游戏。
探究:(1)小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动
【答案】 (1)小朋友做的是变速圆周运动。
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗
【答案】 (2)小朋友荡到最低点时,绳子拉力与重力的合力指向悬挂点;在其他位置,合力不指向悬挂点。
「要点归纳」
1.变速圆周运动
(1)变速圆周运动中合力一般不指向圆心,合力F产生改变速度大小和方向两个作用效果。
(3)分析解答有关问题时,一般将物体受力沿圆周某点轨迹切线方向和法线方向分解,法线方向上依据向心力公式列方程求解,切线方向的受力可确定物体线速度大小的变化。
2.一般的曲线运动
(1)运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动,称为一般的曲线运动,如图所示。
[例5] (多选)如图,一直角斜劈ABC绕其竖直边BC做圆周运动,斜面上小物块始终与斜劈保持相对静止。若斜劈转动的角速度缓慢增大,下列说法正确的是( 　　)
[A]物块运动的周期变大
[B]斜劈对物块的作用力逐渐增大
[C]斜劈对物块的支持力逐渐增大
[D]斜劈对物块的摩擦力逐渐增大
「典例研习」
BD
提升·核心素养
圆周运动中的连接体问题
「核心归纳」
1.隔离分析:因系统内的每个物体的受力情况及运动状态不同,所以处理时应隔离每个物体进行分析。
「典例研习」
[例题] A、B两球质量分别为m与2m,用一劲度系数为k的弹簧相连。一长为l的细线与A球相连,置于水平光滑桌面上,细线的另一端套在竖直轴OO'上,如图所示,当两球均以角速度ω绕OO'做匀速圆周运动时,弹簧的长度为2l,求:
(1)此时弹簧的伸长量;
(2)细线的弹力大小;
【答案】 (2)7mω2l
【解析】 (2)细线的弹力F和弹簧弹力的合力提供A球做匀速圆周运动的向心力,满足F-kΔl=mω2l,
解得F=7mω2l。
(3)将细线突然烧断瞬间A、B两球的加速度大小。
【答案】 (3)6ω2l　3ω2l
【解析】 (3)细线烧断的瞬间,A、B两球均受弹簧的弹力作用,根据牛顿第二定律有kΔl=maA,kΔl=2maB,
解得aA=6ω2l,aB=3ω2l。
检测·学习效果
1.如图所示,玻璃球沿碗的内壁做匀速圆周运动(忽略摩擦),这时球受到的力有(　　)
[A]重力和向心力 [B]重力和支持力
[C]重力、支持力和向心力 [D]重力
B
【解析】 做匀速圆周运动的物体所受的合力提供向心力,因此这时玻璃球只受重力和支持力,故B正确。
2.滑冰运动员在水平冰面上转弯时可近似看成做半径为R=8 m的圆周运动。已知冰鞋与冰面间的最大径向静摩擦力与运动员重力的比值为0.8,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
[A]运动员转弯时,支持力的分力提供向心力
[B]运动员转弯时,重力与支持力的合力提供向心力
[C]运动员转弯时,最大速度为4 m/s
[D]运动员转弯时,最大速度为8 m/s
D
3.(多选)如图所示,在水平转台上放一个质量M=2 kg的木块,它与转台间的最大静摩擦力为Fmax=6.0 N。绳的一端系在木块上,另一端通过转台的中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量 m=1.0 kg的物体。当转台以角速度ω=5 rad/s 匀速转动时,木块相对转台静止,则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2,木块和物体均视为质点)(　 　)
[A]0.04 m [B]0.08 m
[C]0.12 m [D]0.16 m
BCD
4.如图所示,一内壁光滑的“V”形锥体固定在水平地面上,其轴线O1O2竖直,顶点为O1,它的母线与轴线O1O2的夹角 θ=30°。现有大小均可忽略不计的小球A、B紧贴锥体内壁在水平面内做匀速圆周运动,它们的轨迹平面与O1点的竖直高度差分别为h和2h,重力加速度g取10 m/s2。
(1)若A运动的角速度ω=5.0 rad/s,求h的值;
【答案】 (1)1.2 m
【解析】 (1)对小球A进行受力分析,如图所示,
有FNsin θ=mg,
FNcos θ=mω2r,
r=htan θ,
解得h=1.2 m。
(2)求小球A、B的线速度大小之比。
感谢观看2　向心力
[定位·学习目标]　1.知道向心力的概念及内涵,形成与匀速圆周运动相关的运动与相互作用的物理观念。2.通过分析实际圆周运动问题中的向心力来源,掌握匀速圆周运动的向心力的计算以及变速圆周运动的分析方法,提高科学思维能力。3.通过“探究向心力大小的表达式”等实验,体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用,培养科学探究精神。
知识点一　向心力
探究新知
1.定义:做匀速圆周运动的物体所受的总指向圆心的合力。
2.作用效果:只改变速度的方向。
3.来源
(1)向心力是根据力的作用效果命名的。
(2)做匀速圆周运动的物体的向心力是由某个力或者几个力的合力提供的。
正误辨析
(1)做圆周运动的物体,所受合力可能为零。(　×　)
(2)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力。(　×　)
(3)向心力和重力、弹力一样,都是根据力的性质命名的。(　×　)
(4)向心力可以由物体受到的某一个力提供,也可以由物体受到的合力提供。(　√　)
知识点二　实验:探究向心力
大小的表达式
探究方案一　感受向心力
1.实验原理
如图所示,在绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体),另一端握在手中。将手举过头顶,使沙袋在水平面内做圆周运动,此时沙袋所受的向心力近似等于手通过绳对沙袋的拉力。
2.实验步骤
(1)在沙袋的质量和角速度不变的条件下,改变沙袋做圆周运动的半径进行实验,比较向心力与半径的关系。
(2)在沙袋的质量和做圆周运动的半径不变的条件下,改变沙袋的角速度进行实验,比较向心力与角速度的关系。
(3)换用不同质量的沙袋,在角速度和做圆周运动的半径不变的条件下进行实验,比较向心力与质量的关系。
3.实验意义:体会向心力的大小与哪些量有关。
探究方案二　用向心力演示器定量探究
1.实验原理
向心力演示器如图所示,匀速转动手柄1,可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在塔轮2和3的不同圆盘上,可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动。小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力,通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降,从而露出标尺8。根据标尺8上露出的红白相间等分标记,可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。
2.实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上,小球转动半径和转动角速度相同时,探究向心力与小球质量的关系。
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上,小球转动角速度和质量相同时,探究向心力与转动半径的关系。
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上,小球质量和转动半径相同时,探究向心力与角速度的关系。
3.实验结论
向心力随半径r、角速度ω和质量m的增大而增大,精确的实验表明向心力的大小可以表示为Fn=mω2r,或者Fn=m。
知识点三　变速圆周运动
和一般曲线运动的受力特点
探究新知
1.变速圆周运动及受力特点
(1)做变速圆周运动的物体线速度大小发生变化,所受的合力并不指向轨迹的圆心。
(2)指向圆心的分力Fn提供向心力,改变物体速度的方向。
(3)沿切向方向的分力Ft改变速度的大小,与速度方向相同时物体速度增大,与速度方向相反时,物体速度减小。
2.一般曲线运动及受力特点
(1)运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动,可以称为一般的曲线运动。如图所示。
(2)处理方法:可以把曲线分割为许多很短的小段,每一小段看作一小段圆弧。
(3)用处理圆周运动的方法研究质点在每一小段圆弧上的运动。
新知检测
运动员投掷链球时可以通过抡链子来调节链球速度的大小。这给我们带来疑问:难道向心力可以改变速度的大小吗 这到底是什么原因呢
【答案】 不能。链子对链球的拉力沿运动方向的分量改变链球的速度大小。
要点一　对向心力的理解及来源
情境探究
如图所示,在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
探究:(1)物体受到哪些力 合力指向什么方向 物体需要的向心力由什么力提供
(2)当转动的角速度变大后,物体仍与圆盘保持相对静止,物体所受的摩擦力大小怎样变化
【答案】 (1)物体受重力、支持力、静摩擦力三个力作用;其合力等于静摩擦力,方向指向圆心;由静摩擦力提供向心力。
(2)当圆盘角速度变大后,物体随圆盘转动的角速度变大,由Fn=mω2r可知需要的向心力增大,即静摩擦力也增大。
要点归纳
1.向心力的特点及大小
(1)方向特点:无论是否为匀速圆周运动,其向心力方向总是与线速度方向垂直,始终沿着半径指向圆心,即方向时刻改变,故向心力是变力。
(2)作用效果:只改变线速度的方向,不改变线速度的大小。
(3)大小。
Fn=mω2r=m=m=mωv。
2.向心力的来源
(1)向心力可以由物体所受的重力、弹力、摩擦力等各种性质力提供,可以是它们的合力,还可以是某个力的分力。
(2)对于匀速圆周运动,合力提供向心力;对于非匀速圆周运动,将合力沿圆周切向和法向分解,沿半径方向的分力提供向心力。
典例研习
[例1] (对向心力概念的理解)下列关于向心力的说法正确的是(　　)
[A]做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用
[B]向心力和重力、弹力、摩擦力一样,是性质力
[C]做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合力
[D]做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
【答案】 C
【解析】 向心力是物体做圆周运动所需要的力,它是效果力,可以由某一个力、几个力的合力或某个力的分力提供,选项A、B错误;匀速圆周运动中线速度大小不变,所受合力一定指向圆心,合力即为向心力,非匀速圆周运动中线速度大小发生变化,其合力在圆周切向方向的分力改变线速度大小,指向圆心的分力才是向心力,选项C正确,D错误。
[例2] (向心力的来源分析)如图所示,小物体A与水平圆盘保持相对静止,跟着圆盘一起做匀速圆周运动,则A受力情况是(　　)
[A]重力、支持力
[B]重力、向心力
[C]重力、支持力、指向圆心的摩擦力
[D]重力、支持力、向心力、摩擦力
【答案】 C
【解析】 小物体受到重力、支持力、静摩擦力,其中指向圆心的静摩擦力提供向心力,C正确。
要点二　实验“探究向心力大小的表达式”的关键及拓展
要点归纳
1.实验采用控制变量法。注意在改变某一因素(如半径)的同时,必须控制其他因素(如质量和角速度)不变,以便找出这个因素影响向心力变化的规律。
2.随着信息技术的发展,物理实验的仪器不断进步。用力传感器结合光电系统能够得到物体做匀速圆周运动的向心力及对应参量的数值,可以探究向心力与各参量间的精确关系。
3.利用实验得到的向心力与各个因素的数值,可分别作出Fn与ω(或ω2)、r、m、v(或v2)等的对应图像,从而确定向心力与各参量间的定量关系。
典例研习
[例3] 用如图所示的实验装置来探究影响向心力大小的因素。长槽横臂的挡板B到转轴的距离是挡板A的2倍,长槽横臂的挡板A和短槽横臂的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动,槽内的球就做匀速圆周运动。
(1)为探究向心力和角速度的关系,应将质量相同的小球分别放在挡板　　　　(选填“A和B”“A和C”或“B和C”)处。若在实验中发现左、右标尺显示的向心力之比为4∶1,则选取的左、右变速塔轮轮盘半径之比为　　　　。
(2)在某次实验中,某同学将质量相同的小球分别放在挡板B和C处,传动皮带所套的左、右变速塔轮轮盘半径之比为2∶1,则左、右标尺显示的向心力之比为　　　　。
【答案】 (1)A和C　1∶2　(2)1∶2
【解析】 (1)根据Fn=mω2r可知,为探究向心力和角速度的关系,应将质量相同的小球分别放在半径r相同的挡板处,即A和C处;若在实验中发现左、右标尺显示的向心力之比为4∶1,则左、右塔轮的角速度之比为2∶1,同一皮带上的线速度大小相等,由v=ωR可知选取的左、右变速塔轮轮盘半径之比为1∶2。
(2)传动皮带所套的左、右变速塔轮轮盘半径R之比为2∶1,则左右变速塔轮的角速度之比为 1∶2,质量相同的小球分别放在挡板B和C处,转动半径之比为2∶1,由Fn=mω2r可知,左、右标尺显示的向心力之比为1∶2。
要点三　匀速圆周运动的动力学问题
情境探究
如图甲所示,喷气式飞机在空中水平面内做匀速圆周运动;如图乙所示,在光滑漏斗内壁上,小球做匀速圆周运动。
探究:(1)飞机和小球分别受到哪些力的作用 它们的向心力由什么力提供
(2)若知道飞机或小球做圆周运动的半径和线速度大小,还需要知道哪些信息才能求得飞机受到的升力或小球受到的弹力大小
【答案】 (1)飞机受到重力、燃气推力、空气阻力和升力的作用,重力和升力的合力提供向心力;漏斗中转动的小球受重力和漏斗内壁的弹力,二者的合力提供向心力。
(2)计算飞机受到的升力或小球受到的弹力大小,除了飞机或小球做圆周运动的半径和线速度大小,还需要知道飞机或小球的质量以及飞机机身倾斜的角度或漏斗内壁的倾角。
要点归纳
向心力 来源 实例分析
重力提供 向心力 如图所示,用细绳拴住小球在竖直平面内转动,当它经过最高点时,若绳的拉力恰好为零,则此时向心力由重力提供
弹力提供 向心力 如图所示,用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动,向心力由绳子的拉力提供
摩擦力提 供向心力 如图所示,物体随转盘做匀速圆周运动,且物体相对于转盘静止,向心力由转盘对物体的静摩擦力提供
合力提供 向心力 如图所示,细线拴住小球在竖直面内做匀速圆周运动,当小球经过最低点时,向心力由细线的拉力和重力的合力提供
分力提供 向心力 如图所示,小球在细线作用下,在水平面内做圆锥摆运动时,向心力由细线的拉力在水平面内的分力提供
典例研习
[例4] 如图所示,一长为L的细绳一端固定在天花板上,另一端与一质量为m的小球相连接。现使小球在一水平面内做匀速圆周运动,此时细绳与竖直方向的夹角为θ,不计空气阻力,重力加速度大小为g。
(1)求小球做匀速圆周运动的向心力大小Fn;
(2)求小球做匀速圆周运动的线速度大小v;
(3)某同学判断,若小球的线速度增大,细绳与竖直方向的夹角θ也将增大,但θ不可能等于90°,试说明理由。
【答案】 (1)mgtan θ　(2)sin θ (3)见解析
【解析】 (1)小球所受细绳的拉力和重力的合力提供向心力,则Fn=mgtan θ。
(2)设小球做圆周运动的半径为R,根据公式
Fn=m,得mgtan θ=m,又R=Lsin θ,
解得v=sin θ。
(3)沿细绳方向,由平衡条件得细绳的拉力FT=,
若θ等于90°,则cos θ等于0,此时FT为无穷大,即θ不可能等于90°。
求解圆周运动问题必须进行的三类分析
(1)几何分析:确定圆周运动的轨道平面、圆心、半径等。
(2)运动分析:确定圆周运动的线速度、角速度等。
(3)受力分析:通过力的合成与分解,确定外力所提供的向心力。
要点四　变速圆周运动与一般的曲线运动
情境探究
如图所示,荡秋千是小朋友很喜欢的游戏。
探究:(1)小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗
(3)运动过程中,公式Fn=mω2r=m还适用吗
【答案】 (1)小朋友做的是变速圆周运动。
(2)小朋友荡到最低点时,绳子拉力与重力的合力指向悬挂点;在其他位置,合力不指向悬挂点。
(3)运动过程中,公式Fn=mω2r=m仍然适用于向心力的求解。
要点归纳
1.变速圆周运动
(1)变速圆周运动中合力一般不指向圆心,合力F产生改变速度大小和方向两个作用效果。
(2)某一点的向心力仍可用Fn=mω2r=m求解,只不过ω、v是指那一点的瞬时值。
(3)分析解答有关问题时,一般将物体受力沿圆周某点轨迹切线方向和法线方向分解,法线方向上依据向心力公式列方程求解,切线方向的受力可确定物体线速度大小的变化。
2.一般的曲线运动
(1)运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动,称为一般的曲线运动,如图所示。
(2)处理方法。
①将曲线分割成许多极短的小段,每一小段曲线都可以看作一小段圆弧,物体在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。
②将物体所受的合外力进行分解,沿切线方向的分力使物体产生切向加速度,使物体加速或减速;沿法线方向的分力使物体产生向心加速度,此时有Fn=m=mω2r。
典例研习
[例5] (多选)如图,一直角斜劈ABC绕其竖直边BC做圆周运动,斜面上小物块始终与斜劈保持相对静止。若斜劈转动的角速度缓慢增大,下列说法正确的是(　　)
[A]物块运动的周期变大
[B]斜劈对物块的作用力逐渐增大
[C]斜劈对物块的支持力逐渐增大
[D]斜劈对物块的摩擦力逐渐增大
【答案】 BD
【解析】 由周期公式T=可知,当角速度ω增大时,周期T变小,故A错误;由于斜劈角速度缓慢增大,可以认为物块所受合力提供向心力,设斜劈对物块的作用力大小为F,有=mω2r,则随着角速度的增大F增大,故B正确;设∠BAC=θ,物块受力如图所示,有FNcos θ+Ffsin θ=mg,Ffcos θ-FNsin θ=mω2r,解得FN=mgcos θ-mω2rsin θ,Ff=mgsin θ+mω2rcos θ,当ω增大时,FN减小,Ff增大,故C错误,D正确。
圆周运动中的连接体问题
核心归纳
1.隔离分析:因系统内的每个物体的受力情况及运动状态不同,所以处理时应隔离每个物体进行分析。
2.分析依据:分析每个物体时,与分析单个物体做圆周运动的方法基本相同,根据Fn=m=mω2r=m()2r列方程计算。
典例研习
[例题] A、B两球质量分别为m与2m,用一劲度系数为k的弹簧相连。一长为l的细线与A球相连,置于水平光滑桌面上,细线的另一端套在竖直轴OO'上,如图所示,当两球均以角速度ω绕OO'做匀速圆周运动时,弹簧的长度为2l,求:
(1)此时弹簧的伸长量;
(2)细线的弹力大小;
(3)将细线突然烧断瞬间A、B两球的加速度大小。
【答案】 (1)　(2)7mω2l　(3)6ω2l　3ω2l
【解析】 (1)B球在弹簧弹力作用下做匀速圆周运动,则弹簧弹力提供向心力。设弹簧伸长量为Δl,根据Fn=mω2r有kΔl=2mω2(l+2l),
解得Δl=。
(2)细线的弹力F和弹簧弹力的合力提供A球做匀速圆周运动的向心力,满足
F-kΔl=mω2l,
解得F=7mω2l。
(3)细线烧断的瞬间,A、B两球均受弹簧的弹力作用,根据牛顿第二定律有
kΔl=maA,kΔl=2maB,
解得aA=6ω2l,aB=3ω2l。
1.如图所示,玻璃球沿碗的内壁做匀速圆周运动(忽略摩擦),这时球受到的力有(　　)
[A]重力和向心力 [B]重力和支持力
[C]重力、支持力和向心力 [D]重力
【答案】 B
【解析】 做匀速圆周运动的物体所受的合力提供向心力,因此这时玻璃球只受重力和支持力,故B正确。
2.滑冰运动员在水平冰面上转弯时可近似看成做半径为R=8 m的圆周运动。已知冰鞋与冰面间的最大径向静摩擦力与运动员重力的比值为0.8,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
[A]运动员转弯时,支持力的分力提供向心力
[B]运动员转弯时,重力与支持力的合力提供向心力
[C]运动员转弯时,最大速度为4 m/s
[D]运动员转弯时,最大速度为8 m/s
【答案】 D
【解析】 滑冰运动员在水平冰面上转弯时,支持力与重力均在竖直方向,则沿水平方向的摩擦力提供向心力,故A、B错误;运动员的转弯速度最大时,最大径向静摩擦力提供向心力,即0.8mg=m,解得vm== m/s=8 m/s,故C错误,D正确。
3.(多选)如图所示,在水平转台上放一个质量M=2 kg的木块,它与转台间的最大静摩擦力为Fmax=6.0 N。绳的一端系在木块上,另一端通过转台的中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量 m=1.0 kg的物体。当转台以角速度ω=5 rad/s 匀速转动时,木块相对转台静止,则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2,木块和物体均视为质点)(　　)
[A]0.04 m [B]0.08 m
[C]0.12 m [D]0.16 m
【答案】 BCD
【解析】 当木块恰好随转台运动而不外滑时,有 mg+Fmax=Mω2rmax,解得rmax==0.32 m,当木块恰好随转台运动而不内滑时,有mg-Fmax=Mω2rmin,解得rmin==0.08 m,即木块到O点的距离范围是0.08 m≤r≤0.32 m。故选项B、C、D正确。
4.如图所示,一内壁光滑的“V”形锥体固定在水平地面上,其轴线O1O2竖直,顶点为O1,它的母线与轴线O1O2的夹角 θ=30°。现有大小均可忽略不计的小球A、B紧贴锥体内壁在水平面内做匀速圆周运动,它们的轨迹平面与O1点的竖直高度差分别为h和2h,重力加速度g取10 m/s2。
(1)若A运动的角速度ω=5.0 rad/s,求h的值;
(2)求小球A、B的线速度大小之比。
【答案】 (1)1.2 m　(2)
【解析】 (1)对小球A进行受力分析,如图所示,
有FNsin θ=mg,
FNcos θ=mω2r,
r=htan θ,
解得h=1.2 m。
(2)对A,有
=m,
得vA=,同理可得vB=,所以=。
课时作业
(分值:60分)　　　　　　 　　　　　 　　　　　
考点一　对向心力的理解及来源
1.(6分)(多选)在圆周运动的问题中,向心力是我们需要特别关注的物理量,对于向心力的理解,下列说法正确的是(　　)
[A]任何做圆周运动的物体一定需要向心力
[B]向心力一定是由做圆周运动的物体所受的合力提供,它是根据力的作用效果命名的
[C]对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时,一定不要漏掉向心力
[D]向心力只能改变物体的运动方向,不能改变物体运动的快慢
【答案】 AD
【解析】 圆周运动是变速运动,线速度的方向一定发生变化,任何做圆周运动的物体一定需要改变速度方向的外力,即向心力,故A正确;物体只有做匀速圆周运动时所受合力提供向心力,故B错误;物体做圆周运动需要向心力,向心力是效果力,不是物体实际受到的力,故C错误;向心力的方向与速度方向垂直,因此不改变速度的大小,只改变速度的方向,故D正确。
2.(4分)摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动,其过程简化为如图所示的情境,水平木板上放一个物块,使水平木板和物块一起在竖直平面内做匀速圆周运动,ab为水平直径,cd为竖直直径,在运动过程中木板始终保持水平,物块相对木板始终静止,下列说法正确的是(　　)
[A]在最低点时,物块所受支持力等于物块的重力
[B]物块所受合力不变
[C]除c、d两点外,物块都会受摩擦力作用
[D]在c、d两点物块所受支持力相同
【答案】 C
【解析】 物块做匀速圆周运动,向心力大小始终不变,在c点有Fn=mg-FNc,解得FNc=mg-Fn,在d点有Fn=FNd-mg,解得FNd=Fn+mg≠FNc,故A、D错误;物块所受合力提供向心力,虽然大小不变,但方向始终变化,故B错误;物块所受重力和支持力始终在竖直方向,而向心力总是指向圆心,在c、d两点,重力和支持力的合力提供向心力,而除c、d两点外,物块在其他位置一定受摩擦力,三个力的合力提供向心力,故C正确。
考点二　匀速圆周运动分析
3.(6分)(多选)如图所示,细绳一端固定,另一端系一小球。给小球一个合适的初速度,小球便可在水平面内做匀速圆周运动,设细绳与竖直方向的夹角为θ。不考虑空气阻力的影响,下列说法正确的是(　　)
[A]小球受重力、绳的拉力和向心力作用
[B]θ越大,小球运动的线速度越大
[C]θ越大,小球运动的角速度越大
[D]小球运动周期与夹角θ无关
【答案】 BC
【解析】 如图所示,小球只受重力和绳的拉力作用,二者合力提供向心力,向心力不是物体实际受到的力,A错误;向心力大小为Fn=mgtan θ,小球做圆周运动的半径为R=Lsin θ,则由牛顿第二定律得mgtan θ=,得到线速度v=,θ越大,sin θ、tan θ越大,小球运动的线速度越大,B正确;根据mgtan θ=mω2Lsin θ,ω=,可知θ越大,cos θ越小,小球运动的角速度越大,C正确;小球运动周期T=2π,因此,θ越大,小球运动的周期越小,D错误。
4.(4分)杂技演员骑着摩托车沿着光滑的球形内壁进行“飞车走壁”表演。杂技演员和摩托车的总质量为m,杂技演员骑着摩托车(视为质点)在下半球的不同水平面做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
[A]杂技演员骑着摩托车经过C处的角速度大于经过D处的角速度
[B]杂技演员骑着摩托车经过C处的角速度小于经过D处的角速度
[C]杂技演员骑着摩托车经过C处受到的侧壁弹力小于经过D处受到的弹力
[D]杂技演员骑着摩托车经过C处受到的侧壁弹力等于经过D处受到的弹力
【答案】 A
【解析】 设球的半径为R,杂技演员骑摩托车做匀速圆周运动的轨道圆心为O',侧壁支持力和球心连线与过球心的竖直半径间夹角为θ,杂技演员和摩托车受力如图所示,根据Fn=mω2r,有 mgtan θ=mω2Rsin θ,解得ω=,又FN=,而过C处轨道的θ角比过D处轨道的θ角大,即θC>θD,则cos θCωD,FNC>FND,故A正确,B、C、D错误。
考点三　变速圆周运动
5.(4分)如图所示,长度均为L的两根轻绳,一端共同系住质量为m的小球,另一端分别固定在等高的A、B两点,A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。今使小球在竖直面内以AB为轴做圆周运动,若小球在最高点的速率为v时,两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最高点的速率为2v时,每根绳的拉力大小为(　　)
[A]mg [B]mg
[C]3mg [D]2mg
【答案】 A
【解析】 当小球以速率v通过最高点时,只有重力充当向心力,有mg=m;当小球以速度2v通过最高点时,有F+mg=m,解得两绳拉力的合力F=3mg,由几何知识得FT=F=mg,故A正确。
6.(8分)如图所示,水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点),连接物体和转轴的绳子长为r,物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍,重力加速度为g,转盘的角速度由零逐渐增大,求:
(1)绳子对物体的拉力为零时转盘的最大角速度;
(2)当角速度为时,绳子对物体拉力的大小。
【答案】 (1)　(2)μmg
【解析】 (1)当恰好最大静摩擦力对物体提供向心力时,绳子拉力为零,设此时转盘转动的角速度为ω0,则μmg=mr,
解得ω0=。
(2)当ω=时,ω>ω0,所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力,此时有
F+μmg=mω2r,解得F=μmg。
考点四　实验:探究向心力大小的表达式
7.(8分)向心力演示器如图所示,用来探究小球做匀速圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。如图是探究过程中某次实验时装置的状态。
(1)在探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时,若两个钢球的质量和运动半径相等,则是在探究向心力的大小F与　　　　的关系。
A.钢球质量m B.运动半径r
C.角速度ω
(2)若两个钢球质量和运动半径相等,标尺上红白相间的等分格显示出钢球1和钢球2所受向心力的比值为1∶9,则与皮带连接的变速塔轮1和变速塔轮2的圆盘半径之比为　　　　。
A.1∶3 B.3∶1
C.1∶9 D.9∶1
【答案】 (1)C　(2)B
【解析】 (1)在探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时,若两个钢球的质量和运动半径相等,则是在探究向心力的大小F与角速度ω的关系,故C正确。
(2)根据Fn=mω2r可知,若两个钢球质量m和运动半径r相等,标尺上红白相间的等分格显示出钢球1和钢球2所受向心力的比值为1∶9,可知两轮的角速度之比为1∶3,因为变速塔轮1、2是皮带传动,边缘线速度相等,根据v=ωr可知,变速塔轮1、2的圆盘半径之比为3∶1,故B正确。
8.(4分)如图所示,两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球A、B,细线的上端都系于O点,设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动。已知L1跟竖直方向的夹角为α,L2跟竖直方向的夹角为β,已知α>β,下列说法正确的是(　　)
[A]细线L1比细线L2所受的拉力小
[B]小球A的角速度比B的角速度大
[C]小球A的向心力比B的向心力小
[D]小球A的线速度比B的线速度小
【答案】 B
【解析】 小球在水平面做匀速圆周运动,设细线与竖直方向夹角为θ,将细线拉力沿水平和竖直方向正交分解,由竖直方向的平衡关系得细线的拉力FT=,因α>β,则细线L1比细线L2所受的拉力大;在水平方向有mgtan θ=mω2Lsin θ,可得 ω=,因α>β,可知小球A的角速度比B的角速度大,故A错误,B正确;该情境下小球所需向心力Fn=mgtan θ,因α>β,可知小球A的向心力比B的向心力大,故C错误;根据v=ωr可得 v=ωLsin θ=,因α>β,小球A的线速度比B的线速度大,故D错误。
9.(6分)(多选)如图所示,一个大小可忽略、质量为m的模型飞机,在距水平地面的高度为h的水平面内以速率v0绕圆心O做半径为R的匀速圆周运动,O'为圆心O在水平地面上的投影,某时刻该飞机上有一个小螺丝掉离飞机,不计空气对小螺丝的作用力,重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
[A]空气对模型飞机的作用力大小为m
[B]空气对模型飞机的作用力大小为m
[C]小螺丝第一次落地点与O'点的距离为
[D]小螺丝第一次落地点与O'点的距离为
【答案】 BC
【解析】 对模型飞机,受到重力和空气对飞机的作用力,如图甲所示,空气对模型飞机的作用力大小为F=,故A错误,B正确;小螺丝掉离飞机后做平抛运动,投影如图乙所示,
由h=gt2,得t=,水平位移x=v0t=v0,根据几何关系,小螺丝第一次落地点与O'的距离s==,故C正确,D错误。
10.(10分)如图所示,在水平圆盘上放有质量相同的滑块1和滑块2,圆盘可绕垂直于圆盘的中心轴OO'转动。两滑块与圆盘间的动摩擦因数相同且为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。两滑块与OO'共面,滑块1到中心轴的距离为r,滑块2到中心轴的距离为2r,现将两个滑块用轻质细线相连,保持细线伸直且恰无张力。当圆盘从静止开始转动,角速度缓慢地增大,求:(重力加速度为g)
(1)细线刚有拉力时圆盘的角速度;
(2)当圆盘角速度为ω=时,滑块1受到的摩擦力大小。
【答案】 (1)　(2)0
【解析】 (1)由于滑块2的轨道半径大,所需向心力较大,可知细线刚有拉力时,滑块2与圆盘间的摩擦力达到最大静摩擦力,设此时圆盘的角速度为ω0,根据Fn=mω2r,
有μmg=m·2r,
解得ω0=。
(2)当圆盘角速度为ω=>,此时滑块2与圆盘间的摩擦力是最大静摩擦力,设细线的拉力大小为FT,滑块1的摩擦力大小为Ff1,
对滑块2有FT+μmg=mω2·2r,
对滑块1有FT+Ff1=mω2r,
解得Ff1=0。

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