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3　向心加速度
1.知道向心加速度大小的表达式,理解向心加速度与半径的关系,并能用来解决实际问题。2.通过对匀速圆周运动的加速度方向的学习,知道向心加速度的产生原因及其方向。3.理解向心加速度和线速度、角速度的关系,能根据问题情境选择合适的向心加速度公式。
[定位·学习目标]　
探究·必备知识
知识点一　匀速圆周运动的加速度
「探究新知」
1.定义:物体做匀速圆周运动时指向 的加速度。
2.方向:向心加速度的方向一定指向圆心。
3.作用:向心加速度只改变速度的 ,不改变速度的 。
圆心
方向
大小
(1)匀速圆周运动是匀变速运动。(　 　)
(2)做匀速圆周运动的物体的加速度一定不为0。(　 　)
(3)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心,所以方向不变,大小不变。(　 　)
正误辨析
×
√
×
知识点二　匀速圆周运动的加速度大小
「探究新知」
2.适用范围:向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动,也适用于非匀速圆周运动。对于非匀速圆周运动,其加速度沿半径方向的分量为向心加速度。
ω2r
(1)向心加速度的大小与角速度的平方成正比。(　 　)
(2)在同一圆周轨道上做加速运动的物体,向心加速度变大且不再指向圆心。(　 　)
(3)物体做匀速圆周运动时的加速度大小跟它所受合力大小成正比,跟它的质量成反比。(　 　)
(4)做圆周运动的物体,线速度越大,向心加速度就越大。(　 　)
正误辨析
×
×
√
×
突破·关键能力
要点一　对向心加速度的理解
「情境探究」
如图甲所示,地球绕太阳做匀速圆周运动(近似情况);如图乙所示,光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
探究:(1)分析地球和小球的受力情况,说明地球和小球的加速度方向。
【答案】 (1)地球受到太阳引力作用而绕太阳转动,引力方向指向太阳中心,则加速度方向指向太阳中心。小球受到重力、支持力、拉力作用,合力指向圆心,故加速度的方向指向圆心。
(2)地球和小球的加速度的作用是什么
【答案】 (2)由于加速度的方向指向圆周的圆心,故加速度的作用是改变线速度的方向。
(3)地球和小球的加速度方向变化吗 匀速圆周运动是一种什么性质的运
动呢
【答案】 (3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心,故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种加速度时刻变化的曲线运动。
「要点归纳」
1.向心加速度的方向
(1)指向圆心:向心加速度是矢量,无论是匀速圆周运动,还是变速圆周运动,向心加速度的方向都指向圆心(或者说与线速度方向垂直)。
(2)时刻改变:无论向心加速度的大小是否变化,向心加速度的方向始终与线速度方向垂直,时刻随线速度方向的改变而改变。
2.向心加速度与实际加速度的关系
(1)物体做匀速圆周运动时,物体实际的加速度等于向心加速度。
(2)物体做变速圆周运动时,物体实际的加速度方向不再指向圆心,该加速度可分解为两个分量,一是向心加速度an,二是切向加速度at,如图所示。所以变速圆周运动中,向心加速度只是物体实际加速度的径向分量。
3.圆周运动的性质
(1)任何圆周运动的线速度方向都改变,所以做圆周运动的物体都有向心加速度。
(2)向心加速度的方向总是指向圆心,方向是时刻改变的,所以圆周运动一定是变加速曲线运动。
[例1] (多选)关于向心加速度,以下说法正确的是(　 　)
[A]向心加速度的方向始终与速度方向垂直
[B]向心加速度只改变线速度的方向,不改变线速度的大小
[C]物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
[D]物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
ABD
「典例研习」
【解析】 向心加速度的方向沿半径指向圆心,速度方向则沿圆周的切线方向,所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直,只改变线速度的方向,A、B正确;物体做匀速圆周运动时,只具有向心加速度,加速度方向始终指向圆心,D正确;物体做变速圆周运动时,加速度方向不指向圆心,C错误。
要点二　向心加速度公式的理解与计算
「情境探究」
探究:你怎样理解这一问题呢
【答案】 两种说法不矛盾,但需要有前提条件,即向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下,向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下。
「要点归纳」
1.向心加速度的表达式
2.向心加速度与半径的关系
向心加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度一定,an与r成反比;若角速度一定,an与r成正比。如图所示。
3.适用范围
「典例研习」
BD
要点三　传动装置中的向心加速度
「要点归纳」
分析此类问题的关键有三点:一是同轴转动的轮上各点的角速度相等;二是皮带不打滑时,同一皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等;三是灵活选择向心加速度表达式。据此三点,结合圆周运动中各物理量之间的关系可以快速得出正确答案。
「典例研习」
(1)大轮上S点的向心加速度大小;
【答案】 (1)4 m/s2
(2)小轮边缘上Q点的向心加速度大小。
【答案】 (2)24 m/s2
检测·学习效果
1.关于向心加速度,下列说法正确的是(　　)
[A]若物体做圆周运动的向心加速度大小和半径不变,则该物体的线速度大小不变
[B]物体做圆周运动的周期越短,向心加速度越大
[C]不同物体做圆周运动的向心力越大,向心加速度越大
[D]物体做圆周运动的线速度越大,向心加速度越大
A
2.如图所示为自行车的传动装置示意图,已知链轮的半径r1=10 cm,飞轮的半径r2=5 cm,后轮的半径r3=30 cm,A、B、C(图中未画出)分别为链轮、飞轮和后轮边缘上的点。若脚蹬匀速转动一圈所需要的时间为1 s,则在自行车匀速前进的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A]A、B、C三点的向心加速度大小之比为1∶2∶6
[B]A、B、C三点的线速度大小之比为1∶1∶6
[C]自行车前进的速度大小约为1.2 m/s
[D]链轮、飞轮和后轮的角速度大小之比为1∶1∶2
B
3.如图所示,竖直固定的锥形容器内壁光滑,内壁上有两个质量相等的小球A和B,各自在不同的水平面内做匀速圆周运动。以下关于A、B两球做圆周运动时的速度(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、向心加速度(anA、anB)和对内壁的压力(FNA、FNB)的说法正确的是(　　)
[A]vA>vB
[B]ωA>ωB
[C]anA>anB
[D]FNA>FNB
A
4.如图是某种圆形转盘的示意图,O为转盘的圆心,虚线为竖直转轴所在的直线,P是转盘上放置的菜品(可视为质点)。已知P到圆心O的距离为r=
40 cm,转盘匀速转动,P相对转盘静止,g取10 m/s2,π2≈10。
(1)若转盘角速度ω=1 rad/s,求P的线速度大小;
【答案】 (1)0.4 m/s
【解析】 (1)根据公式v=ωr,
则P的线速度大小
v=ωr=1×0.4 m/s=0.4 m/s。
(2)若转盘匀速转动周期T=5 s,求P的向心加速度大小。
【答案】 (2)0.64 m/s2
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[定位·学习目标]　1.知道向心加速度大小的表达式,理解向心加速度与半径的关系,并能用来解决实际问题。2.通过对匀速圆周运动的加速度方向的学习,知道向心加速度的产生原因及其方向。3.理解向心加速度和线速度、角速度的关系,能根据问题情境选择合适的向心加速度公式。
知识点一　匀速圆周运动的加速度
探究新知
1.定义:物体做匀速圆周运动时指向圆心的加速度。
2.方向:向心加速度的方向一定指向圆心。
3.作用:向心加速度只改变速度的方向,不改变速度的大小。
正误辨析
(1)匀速圆周运动是匀变速运动。(　×　)
(2)做匀速圆周运动的物体的加速度一定不为0。(　√　)
(3)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心,所以方向不变,大小不变。(　×　)
知识点二　匀速圆周运动的加速度大小
探究新知
1.公式:an=或an=ω2r。
2.适用范围:向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动,也适用于非匀速圆周运动。对于非匀速圆周运动,其加速度沿半径方向的分量为向心加速度。
正误辨析
(1)向心加速度的大小与角速度的平方成正比。(　×　)
(2)在同一圆周轨道上做加速运动的物体,向心加速度变大且不再指向圆心。(　×　)
(3)物体做匀速圆周运动时的加速度大小跟它所受合力大小成正比,跟它的质量成反比。(　√　)
(4)做圆周运动的物体,线速度越大,向心加速度就越大。(　×　)
要点一　对向心加速度的理解
情境探究
如图甲所示,地球绕太阳做匀速圆周运动(近似情况);如图乙所示,光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
探究:(1)分析地球和小球的受力情况,说明地球和小球的加速度方向。
(2)地球和小球的加速度的作用是什么
(3)地球和小球的加速度方向变化吗 匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢
【答案】 (1)地球受到太阳引力作用而绕太阳转动,引力方向指向太阳中心,则加速度方向指向太阳中心。小球受到重力、支持力、拉力作用,合力指向圆心,故加速度的方向指向圆心。
(2)由于加速度的方向指向圆周的圆心,故加速度的作用是改变线速度的方向。
(3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心,故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种加速度时刻变化的曲线运动。
要点归纳
1.向心加速度的方向
(1)指向圆心:向心加速度是矢量,无论是匀速圆周运动,还是变速圆周运动,向心加速度的方向都指向圆心(或者说与线速度方向垂直)。
(2)时刻改变:无论向心加速度的大小是否变化,向心加速度的方向始终与线速度方向垂直,时刻随线速度方向的改变而改变。
2.向心加速度与实际加速度的关系
(1)物体做匀速圆周运动时,物体实际的加速度等于向心加速度。
(2)物体做变速圆周运动时,物体实际的加速度方向不再指向圆心,该加速度可分解为两个分量,一是向心加速度an,二是切向加速度at,如图所示。所以变速圆周运动中,向心加速度只是物体实际加速度的径向分量。
3.圆周运动的性质
(1)任何圆周运动的线速度方向都改变,所以做圆周运动的物体都有向心加速度。
(2)向心加速度的方向总是指向圆心,方向是时刻改变的,所以圆周运动一定是变加速曲线运动。
典例研习
[例1] (多选)关于向心加速度,以下说法正确的是(　　)
[A]向心加速度的方向始终与速度方向垂直
[B]向心加速度只改变线速度的方向,不改变线速度的大小
[C]物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
[D]物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
【答案】 ABD
【解析】 向心加速度的方向沿半径指向圆心,速度方向则沿圆周的切线方向,所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直,只改变线速度的方向,A、B正确;物体做匀速圆周运动时,只具有向心加速度,加速度方向始终指向圆心,D正确;物体做变速圆周运动时,加速度方向不指向圆心,C错误。
要点二　向心加速度公式的理解与计算
情境探究
　对于向心加速度的大小,不同的人有不同的看法。有人根据 an=,认为向心加速度与半径成反比,有人根据an=ω2r,认为向心加速度与半径成正比,这是矛盾的。
探究:你怎样理解这一问题呢
【答案】 两种说法不矛盾,但需要有前提条件,即向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下,向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下。
要点归纳
1.向心加速度的表达式
2.向心加速度与半径的关系
向心加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度一定,an与r成反比;若角速度一定,an与r成正比。如图所示。
3.适用范围
(1)公式an=,an=ω2r不仅适用于匀速圆周运动中向心加速度的计算,也适用于变速圆周运动中向心加速度的计算,但后者计算得到的是沿径向的加速度,不包括沿切向的加速度。
(2)不同的表达式中,an与同一物理量间有不同的关系,所以在讨论an与其中一个物理量的关系时,要根据不变量选择合适的公式讨论。
典例研习
[例2] (多选)如图所示,地球绕地轴O1O2以角速度ω旋转,A、B为地球表面上两点。下列说法正确的是(　　)
[A]A、B两点具有大小相等的向心加速度
[B]A、B两点的线速度大小之比为 ∶1
[C]A、B两点的向心加速度大小之比为9∶1
[D]A、B两点的向心加速度大小之比为 ∶1
【答案】 BD
【解析】 A、B两点随地球自转,角速度等于地球自转的角速度,但轨道半径不相等,由an=ω2r可知向心加速度不相等,故A错误;设地球半径为R,则A点运动半径为rA=Rsin 60°,B点运动半径rB=Rsin 30°,根据v=ωr可知==,故B正确;根据an=可知===,故C错误,D正确。
要点三　传动装置中的向心加速度
要点归纳
　分析此类问题的关键有三点:一是同轴转动的轮上各点的角速度相等;二是皮带不打滑时,同一皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等;三是灵活选择向心加速度表达式。据此三点,结合圆周运动中各物理量之间的关系可以快速得出正确答案。
典例研习
[例3] 如图所示,一个大轮通过皮带拉着小轮转动,皮带和两轮之间无滑动,大轮的半径是小轮的 2倍,大轮上的一点S与转轴的距离是半径的。已知大轮边缘上P点的向心加速度大小是 12 m/s2。求:
(1)大轮上S点的向心加速度大小;
(2)小轮边缘上Q点的向心加速度大小。
【答案】 (1)4 m/s2　(2)24 m/s2
【解析】 (1)同轴转动的轮上的S点和P点角速度相同,即ωS=ωP,
而rS=rP,
根据向心加速度公式an=ω2r,
可得=,
所以anS==×12 m/s2=4 m/s2。
(2)皮带传动的两轮边缘各点线速度大小相等,即vP=vQ,
根据向心加速度公式an=,可得=,
所以anQ==×12 m/s2=24 m/s2。
1.关于向心加速度,下列说法正确的是(　　)
[A]若物体做圆周运动的向心加速度大小和半径不变,则该物体的线速度大小不变
[B]物体做圆周运动的周期越短,向心加速度越大
[C]不同物体做圆周运动的向心力越大,向心加速度越大
[D]物体做圆周运动的线速度越大,向心加速度越大
【答案】 A
【解析】 若物体做圆周运动的向心加速度大小和半径不变,根据an=,可知该物体的线速度大小不变,A正确;根据an=r,物体做圆周运动的周期越短,由于不清楚半径的变化,所以向心加速度不一定越大,B错误;根据Fn=man,可知不同物体做圆周运动的向心力大,其向心加速度不一定大,还要看物体的质量关系,C错误;根据an=,可知物体做圆周运动的线速度越大,向心加速度不一定越大,还要看物体做圆周运动的半径关系,D错误。
2.如图所示为自行车的传动装置示意图,已知链轮的半径r1=10 cm,飞轮的半径r2=5 cm,后轮的半径r3=30 cm,A、B、C(图中未画出)分别为链轮、飞轮和后轮边缘上的点。若脚蹬匀速转动一圈所需要的时间为1 s,则在自行车匀速前进的过程中,下列说法正确的是(　　)
[A]A、B、C三点的向心加速度大小之比为1∶2∶6
[B]A、B、C三点的线速度大小之比为1∶1∶6
[C]自行车前进的速度大小约为1.2 m/s
[D]链轮、飞轮和后轮的角速度大小之比为1∶1∶2
【答案】 B
【解析】 由于链轮和飞轮之间通过链条传动,所以A、B两点的线速度大小相等,又因为后轮和飞轮同轴转动,所以B、C两点的角速度大小相等。根据v=ωr,可知A、B两点的角速度大小之比为==,B、C两点的线速度大小之比为==,综上所述可知链轮、飞轮和后轮的角速度大小之比为1∶2∶2,A、B、C三点的线速度大小之比为1∶1∶6,B正确,D错误;根据向心加速度公式an=ω2r=ωv,可知A、B、C三点的向心加速度大小之比为1∶2∶12,A错误;由题意可知A点的线速度大小为vA=ωAr1=r1=×10×10-2 m/s=0.628 m/s,根据前面分析可知C点的线速度大小为自行车前进的速度大小,约为vC=6vA=6×0.628 m/s=3.8 m/s,C错误。
3.如图所示,竖直固定的锥形容器内壁光滑,内壁上有两个质量相等的小球A和B,各自在不同的水平面内做匀速圆周运动。以下关于A、B两球做圆周运动时的速度(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、向心加速度(anA、anB)和对内壁的压力(FNA、FNB)的说法正确的是(　　)
[A]vA>vB [B]ωA>ωB
[C]anA>anB [D]FNA>FNB
【答案】 A
【解析】 小球受力如图所示,由牛顿第三定律可得FN'=FN=,Fn=,由于两个小球的质量相同,并且都是在水平面内做匀速圆周运动,则θ相同,可知FNA=FNB,anA=anB,根据公式an=,an=ω2r,结合rA>rB,可知vA>vB,ωA<ωB,故A正确,B、C、D错误。
4.如图是某种圆形转盘的示意图,O为转盘的圆心,虚线为竖直转轴所在的直线,P是转盘上放置的菜品(可视为质点)。已知P到圆心O的距离为r=40 cm,转盘匀速转动,P相对转盘静止,g取10 m/s2,π2≈10。
(1)若转盘角速度ω=1 rad/s,求P的线速度大小;
(2)若转盘匀速转动周期T=5 s,求P的向心加速度大小。
【答案】 (1)0.4 m/s　(2)0.64 m/s2
【解析】 (1)根据公式v=ωr,
则P的线速度大小
v=ωr=1×0.4 m/s=0.4 m/s。
(2)由公式an=ω2r,ω=得,
P的向心加速度大小
an== m/s2=0.64 m/s2。
课时作业
(分值:70分)　　　　　　 　　　　　 　　　　　
考点一　对向心加速度的理解
1.(4分)关于匀速圆周运动,下列说法正确的是(　　)
[A]匀速圆周运动的线速度大小保持不变,所以做匀速圆周运动的物体处于平衡状态
[B]做匀速圆周运动的物体,线速度的方向时刻在改变,所以必有向心加速度
[C]做匀速圆周运动的物体,向心加速度的大小保持不变,所以是匀变速曲线运动
[D]做匀速圆周运动的物体,其合力提供向心力,是恒力作用下的曲线运动
【答案】 B
【解析】 匀速圆周运动的线速度大小不变,方向变化,故线速度是变化的,一定是变速运动且具有向心加速度,而向心加速度大小不变,方向始终指向圆心,向心加速度时刻变化,则是变加速曲线运动,故A、C错误,B正确;做匀速圆周运动的物体,其合力提供向心力,大小不变,方向时刻变化,即合力时刻变化,故D错误。
考点二　对向心加速度公式的理解与计算
2.(6分)(多选)如图所示图线Ⅰ、Ⅱ分别是甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图像,其中图线Ⅰ为双曲线的一支,图线Ⅱ为过原点的直线。由图像可以知道(　　)
[A]甲球运动时,线速度大小保持不变
[B]甲球运动时,角速度保持不变
[C]乙球运动时,线速度大小保持不变
[D]乙球运动时,角速度保持不变
【答案】 AD
【解析】 图线Ⅰ表明甲球的向心加速度与半径成反比,由an=可知,甲球运动的线速度大小不变,选项A正确,B错误;图线Ⅱ表明乙球的向心加速度与半径成正比,由an=ω2r可知,乙球的角速度不变,选项C错误,D正确。
3.(6分)(多选)一个地球仪绕与其“赤道面”垂直的“地轴”匀速转动的示意图如图所示。P点和Q点位于同一条“经线”上,Q点和M点位于“赤道”上,O为球心。下列说法正确的是(　　)
[A]P、Q的线速度大小相等
[B]P、M的角速度大小相等
[C]M、Q的向心加速度大小相等
[D]P、M的向心加速度方向均指向O
【答案】 BC
【解析】 P、Q的角速度相等,根据v=ωr,可知两点的线速度大小不相等,A错误;P、M的角速度大小相等,B正确;根据an=ω2r,M、Q的角速度和半径都相等,可知向心加速度大小相等,C正确;M的向心加速度方向指向O,P的向心加速度方向指向地轴,不指向O点,D错误。
4.(4分)(2025·辽宁大连期末)如图所示,长为l的细绳一端固定于O点,另一端系一个小球(可视为质点),在距O点正下方l的A处钉一个钉子,小球从一定高度摆下,则在细绳与钉子相碰瞬间前后,下列说法正确的是(　　)
[A]细绳与钉子相碰前后绳中张力大小不变
[B]细绳与钉子碰后瞬间绳中张力增大为碰前瞬间的2倍
[C]细绳与钉子相碰前后小球的向心加速度大小不变
[D]细绳与钉子碰后瞬间小球的向心加速度增大为碰前瞬间的2倍
【答案】 D
【解析】 细绳与钉子相碰前后小球的速度大小不变,但小球做圆周运动的半径变为原来的一半,设绳子的拉力为F,根据牛顿第二定律有F-mg=,则绳子的拉力大小为F=mg+,所以细绳与钉子碰后瞬间绳中的张力变大,但不是2倍关系,A、B错误;细绳与钉子相碰前后小球的速度大小不变,但小球做圆周运动的半径变为原来的一半,根据an=,可知细绳与钉子碰后瞬间的向心加速度增大为碰前的2倍,C错误,D正确。
5.(4分)PCAV是一种光驱数据传输技术,即光盘驱动器在读取内圈数据时,以恒定的线速度大小的方式读取;而在读取外圈数据时,以恒定的角速度的方式读取。设内圈内边缘半径为R1,内圈外边缘半径为R2,外圈外边缘半径为R3。A、B、C分别为内圈内边缘、内圈外边缘和外圈外边缘上的点。则读取内圈上A点数据时A点的向心加速度大小和读取外圈上C点数据时C点的向心加速度大小之比为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 从A点到B点读取内圈数据过程中是以恒定的线速度大小的方式读取,根据公式an=,可知=,从B点到C点读取外圈数据过程中是以恒定的角速度的方式读取,根据公式an=ω2r,可知=,因此=,选项A正确。
6.(4分)一物体以4 m/s的线速度做匀速圆周运动,转动周期为4 s,则该物体的向心加速度大小为(　　)
[A]2 m/s2 [B]4 m/s2
[C]2π m/s2 [D]4π m/s2
【答案】 C
【解析】 根据向心加速度公式an=,结合v=,则有an=,代入数值解得an=2π m/s2,故C正确。
考点三　传动装置中向心加速度的计算
7.(4分)如图所示,水平圆盘A和B通过摩擦传动正在匀速转动,它们不发生相对滑动,物块1和2分别相对静止在圆盘A和B上,圆盘B的半径是圆盘A的1.5倍,物块2做圆周运动的半径是物块 1的 2倍,则物块1和物块2的向心加速度大小之比为(　　)
[A]3∶2 [B]9∶4 [C]9∶8 [D]4∶9
【答案】 C
【解析】 由题意知RA∶RB=2∶3,圆盘A和B边缘上各点线速度大小相等,有ωARA=ωBRB,解得ωA∶ωB=3∶2,物块1和2的半径之比为r1∶r2=1∶2,根据an=ω2r,得物块1和物块2的向心加速度大小之比为an1∶an2=(r1)∶(r2)=9∶8,选项C正确。
8.(6分)(多选)如图所示,皮带传动装置中,右边两轮连在一起同轴转动,图中三轮半径分别为r1=3r,r2=2r,r3=4r。A、B、C三点为三个轮边缘上的点,皮带不打滑。向心加速度分别为a1、a2、a3,则下列比例关系正确的是(　　)
[A]= [B]=
[C]= [D]=
【答案】 BD
【解析】 A、B两点所在的轮属于皮带传动模式,则vA=vB,根据an=可知,==,A错误,B正确;B、C两点所在的轮属于同轴转动模式,则 ωB=ωC,根据an=ω2r知,==,C错误,D正确。
9.(6分)(多选)如图所示,A、B两球穿过光滑水平杆,两球间用一条细绳连接,当该装置绕竖直轴OO'匀速转动时,两球在杆上恰好不发生滑动。若两球质量之比mA∶mB=2∶1,那么A、B两球的(　　)
[A]运动半径之比为1∶2
[B]向心加速度大小之比为1∶2
[C]线速度大小之比为1∶2
[D]向心力大小之比为1∶2
【答案】 ABC
【解析】 两球都随杆一起转动,角速度相等,其向心力均由细绳拉力提供,则大小相等,选项D错误;设A、B两球的运动半径分别为rA、rB,转动角速度为ω,则mArAω2=mBrBω2,所以==,由an=ω2r得==;由v=ωr,得==,选项A、B、C正确。
10.(4分)如图所示,两个质量相同的小球用长度不等的不可伸长的细线拴在同一点,并在同一水平面内做同方向的匀速圆周运动,则它们的(　　)
[A]向心加速度大小相同
[B]运动角速度相同
[C]运动线速度大小相同
[D]运动周期不同
【答案】 B
【解析】 在题图所示情境中,设细线与竖直方向的夹角为θ,悬点距轨道平面高度为h,其受力如图所示,由于小球做匀速圆周运动,其向心力为Fn=mgtan θ,则向心加速度an=gtan θ,由于两小球对应的夹角θ不同,则向心加速度大小不同,故A错误;根据公式an=ω2r,有gtan θ=ω2r,而tan θ=,得ω=,可知角速度与细线的长度和转动半径无关,则两小球角速度相同,由v=ωr可知,两小球转动半径不等,线速度大小不同;又由T=可知两小球运动周期相同,故C、D错误,B正确。
11.(10分)如图,在某广场安装的半径R=3 m的地球仪上有同一经度的A、B两点,其中A点处在赤道上,B点和A点与地心连线的夹角为θ=30°。若地球仪绕地轴逆时针做匀速圆周运动,且vB=3 m/s,求:
(1)地球仪旋转的角速度ω;
(2)A点的向心加速度大小an。
【答案】 (1) rad/s　(2)4 m/s2
【解析】 (1)A、B两点的角速度与地球仪旋转的角速度相等,B点运动轨迹的圆心为其所在纬度平面与地轴的交点,根据线速度与角速度的关系可得ω=== rad/s。
(2)A点运动轨迹的圆心为球心,根据an=ω2r,可得an=ω2rA=ω2R=4 m/s2。
12.(12分)如图所示,圆弧轨道AB是在竖直平面内的四分之一圆弧,轨道半径为R,在B点轨道的切线是水平的。一质点自A点从静止开始下滑,滑到B点时的速度大小是,重力加速度为g。求:
(1)质点在A点下滑时的向心加速度大小和加速度大小;
(2)在质点刚要到达B点时的加速度大小和向心加速度大小;
(3)滑过B点后的加速度大小。
【答案】 (1)0　g　(2)2g　2g　(3)g
【解析】 (1)质点在A点下滑时速度为0,由an=得向心加速度大小an=0,
由于质点受重力作用,由牛顿第二定律有mg=ma,
此时的加速度大小为a=g。
(2)质点到达B点时在水平方向上加速度为0,竖直方向上加速度为向心加速度,大小为a=an==2g。
(3)质点滑过B点后做平抛运动,只受重力作用,加速度大小为g。

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