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微专题3　圆周运动中的绳、杆模型和临界问题
[定位·学习目标]　1.会分析竖直面内的匀速圆周运动和变速圆周运动,理解运动情境。2.会推导当无支撑物及有支撑物时物体在最高点的最小速度。3.掌握如何分析竖直面内圆周运动各位置物体的受力。
要点一　竖直面内圆周运动的轻绳模型
要点归纳
图甲中小球受绳拉力和重力作用,图乙中小球受轨道的弹力和重力作用,两小球在竖直面内均做圆周运动,其共同特点是小球在最高点无支撑,这类运动称之为轻绳模型。
(1)向心力分析。
①小球运动到最高点时受向下的重力和向下的绳的拉力(或轨道弹力)作用,由这两个力的合力提供向心力,mg+F N=m。
②小球运动到最低点时受向下的重力和向上的绳的拉力(或轨道弹力)作用,由这两个力的合力提供向心力,FN-mg=m。
(2)临界条件。
①小球恰好过最高点时,应满足弹力FN=0,即mg=m,小球在竖直面内做圆周运动的临界速度v临=。
②小球能过最高点的条件是v≥v临。
③若小球的速度v典例研习
[例1] (2025·浙江期中)杂技水流星表演如图所示,一根绳系着盛水的杯子,随着演员的抡动,杯子在竖直平面内做变速圆周运动,已知轨迹半径为r=0.4 m,水的质量为200 g,杯子的质量为50 g,绳子质量不计,重力加速度g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
[A]杯子运动到最高点时,水恰好不流出,则最高点速度大小为4 m/s
[B]当杯子运动到最高点N速度大小为6 m/s时,水对杯子的弹力大小为16 N,方向竖直向下
[C]杯子在下降过程速度变大,合力沿轨迹切线方向的分力与速度同向
[D]杯子在最低点M时处于受力平衡状态
【答案】 C
【解析】 杯子运动到最高点时,水刚好不落下,对水,有mg=m,所以杯子在最高点时的速度为 v=2 m/s,A错误;当杯子到最高点速度为 6 m/s 时,对水,根据牛顿第二定律有FN+mg=m,解得FN=16 N,即杯子对水的弹力为16 N,方向竖直向下,根据牛顿第三定律可得水对杯子的弹力大小为16 N,方向竖直向上,B错误;杯子在运动过程中做的是变速圆周运动,沿圆周下降过程速度增大是因为其受到的合力沿切线方向的分力与速度同向,C正确;杯子在最低点时加速度方向竖直向上,此时杯子处于超重状态,D错误。
要点二　竖直面内圆周运动的轻杆模型
要点归纳
如图所示,细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球均在竖直面内做圆周运动,其共同特点是小球速度较大时受杆或轨道的指向圆心的力,速度较小时受支持力,小球不可能做近心运动或离心运动,这类运动称之为轻杆模型。
(1)向心力分析。
①小球运动到最高点时受杆(或轨道)的弹力和向下的重力作用,由这两个力的合力提供向心力。若弹力向上,则有mg-FN=m;若弹力向下,则有mg+FN=m。
②小球运动到最低点时受杆(或轨道)向上的弹力和向下的重力作用,由这两个力的合力提供向心力,有FN-mg=m。
(2)临界条件。
①由于杆(或轨道)的支撑作用,小球能到达最高点的临界速度v临=0,杆(或轨道)对小球有支持力FN=mg。
②当0③当v= 时,在最高点杆(或轨道)对小球既无拉力(或压力),也无支持力。
④当v> 时,在最高点杆对小球施加的是拉力(或外侧管壁对小球有指向圆心的压力),大小均为 FN=m-mg。
典例研习
[例2] 如图甲所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球,现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时,杆与小球间弹力大小为FN,小球在最高点时的速度大小为v,其FN-v2图像如图乙所示,重力加速度g取 10 m/s2,小球可视为质点,不计一切阻力。则下列说法正确的是(　　)
[A]小球的质量为2 kg
[B]小球做圆周运动的半径为2.5 m
[C]v2=2时,在最高点杆对小球的弹力大小为40 N
[D]v2=时,小球的向心加速度大小为10 m/s2
【答案】 B
【解析】 由题图乙知,当v2=0时,对小球有mg=FN=10 N,解得小球的质量m=1 kg,A错误;当v2=25(m/s)2时,FN=0,根据牛顿第二定律有mg=m,解得小球做圆周运动的半径为R==2.5 m,
B正确;由题图乙,可知当v2=时,FN=10 N,根据牛顿第二定律得FN+mg=m,解得=
50(m/s)2,当v2=2时,根据牛顿第二定律有FN′+mg=m,解得此时杆对小球的弹力大小为FN′=30 N,C错误;当v2=时,小球的向心加速度大小为an==20 m/s2,D错误。
竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型,是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态,即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况,根据牛顿第二定律列式求解。
要点三　圆周运动的临界问题
要点归纳
1.临界状态
当物体从某种特性变化为另一种特性时,发生质的飞跃的转折状态,通常叫作临界状态。出现临界状态时,既可理解为“恰好出现”,也可理解为“恰好不出现”。
2.确定临界状态的常用方法
(1)极限法:把物理问题(或过程)推向极端,从而使临界现象显露,达到尽快求解的目的。
(2)假设法:有些物理过程中没有明显给出临界问题的线索,但在变化过程中可能出现临界问题。
3.常见的三种临界问题
(1)与绳的弹力有关的临界问题。
此类问题要分析出绳恰好无弹力这一临界状态下的角速度等。
(2)与支持面弹力有关的临界问题。
此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度等。
(3)因静摩擦力而产生的临界问题。
此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度等。
典例研习
[例3] (水平面内圆周运动的临界问题)(多选)如图所示,叠放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动且未发生相对滑动,A、B、C的质量分别为3m、2m、m,B、C与转台、A与B间的动摩擦因数都为μ,B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
[A]B对A的摩擦力有可能为3μmg
[B]C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力
[C]转台的角速度ω有可能恰好等于
[D]若角速度ω在题干所述基础上缓慢增大,A与B间将最先发生相对滑动
【答案】 BC
【解析】 由于B、C与转台、A与B间的动摩擦因数都为μ,而摩擦力提供向心力,可知物体C恰好与转台未发生相对滑动时,物体A、B所受摩擦力小于最大静摩擦力,则对物体C,有mω2×1.5r=μmg,解得ω=,此时物体A与B间的静摩擦力FfA=3mω2r=2μmg,若ω缓慢增大,则物体C最先发生相对滑动,故A、D错误,C正确;物体A与C运动的角速度相同,物体A所受摩擦力FfA=3mω2r,物体C所受摩擦力FfC=mω2×1.5r=1.5mω2r,则C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力,故B正确。
[例4] (斜面上圆周运动的临界问题)如图所示,有一倾斜的匀质圆盘(半径足够大),盘面与水平面的夹角为θ,绕过圆心并垂直于盘面的转轴以角速度ω匀速转动,有一物体(可视为质点)与盘面间的动摩擦因数为μ(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),重力加速度为g。要使物体能与圆盘始终保持相对静止,则物体与转轴间最大距离为(　　)
[A] [B]
[C]g [D]g
【答案】 C
【解析】 当物体处于圆盘的最低点且所受的静摩擦力为最大静摩擦力时,物体与转轴间的距离有一最大值设为rm,根据Fn=mω2r,此时有μmgcos θ-mgsin θ=mω2rm,解得rm=g,故A、B、D错误,C正确。
[例5] (圆锥面上圆周运动的临界问题)如图所示,在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球,圆锥体固定在水平面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线、细线与轴线之间的夹角均为30°,小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动。重力加速度为g。
(1)当v1=时,求细线对小球的拉力大小;
(2)当v2=时,求细线对小球的拉力大小。
【答案】 (1)　(2)2mg
【解析】 小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力FN=0,小球受力如图甲所示,
设此时小球的线速度为v0,则
mgtan 30°=m,
解得v0=。
(1)因v1此时有FTsin 30°-FNcos 30°=m,
FTcos 30°+FNsin 30°=mg,
解得FT=。
(2)因v2>v0,小球离开斜面,小球受力如图丙所示,
此时FT′sin α=m,FT′cos α=mg,
解得FT′=2mg。
处理临界问题的解题思路
(1)判断临界状态。
①题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程存在着临界状态。
②题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界状态。
③题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点也往往是临界状态。
(2)确定临界条件:判断题述的过程存在临界状态之后,要通过分析弄清临界状态出现的条件,并以数学形式表达出来。
(3)选择物理规律:当确定了物体运动的临界状态和临界条件后,对于不同的运动过程或现象,要分别选择相对应的物理规律,然后再列方程求解。
1.滚筒洗衣机的滚筒上有很多漏水孔,脱水时滚筒转动使附着在衣物上的水从漏水孔被甩出,达到脱水的目的。如图所示,一件可视为质点的衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动,a、b分别为衣物经过的最高位置和最低位置。下列说法正确的是(　　)
[A]衣物紧贴着滚筒壁做匀变速曲线运动
[B]衣物转到b位置时的脱水效果比a位置好
[C]不论滚筒转速多大,衣物都能通过a位置
[D]衣物在a位置受到滚筒壁的支持力比在b位置的大
【答案】 B
【解析】 衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动,加速度方向时刻变化,即为变速曲线运动,A错误;衣物在a、b位置分别有FNa+mg=mω2R,FNb-mg=mω2R,可知FNb>FNa,衣物转到b位置时衣物上水珠需要的力较大,则b位置脱水效果比a位置好,B正确,D错误;当衣物经过a位置且支持力为零时,有mg=mR,则临界角速度ω0=,如果转动角速度小于临界角速度,则衣物就不会通过a位置,C错误。
2.(多选)如图甲所示,小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动,小球经过最高点时的速度大小为v,此时绳子的拉力大小为FT,拉力FT与速度的二次方v2的关系如图乙所示。已知重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A]圆周运动半径R=
[B]小球的质量m=
[C]图乙图线的斜率只与小球的质量有关,与圆周运动半径无关
[D]若小球恰好能做完整的圆周运动,则经过最高点的速度v=
【答案】 AB
【解析】 由题图乙可知,v2>a时轻绳对小球有作用力,则v2=a时有mg=m,解得R=,故A正确;当v2=2a时,轻绳对小球拉力大小为b,则有mg+b=m,结合R=,解得m=,故B正确;当小球以某一速度v经过最高点时,根据Fn=m,有mg+FT=m,解得FT=v2-mg,即FT-v2图线的斜率k=,即与小球的质量和圆周运动半径均有关,故C错误;若小球恰好能做完整的圆周运动,即小球在最高点有FT=0,对应于v2=a,即v=,故D错误。
3.如图所示,质量为m的小球由不可伸长的轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点,当轻杆绕轴OO′以角速度ω0匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,a绳与水平面成θ角,b绳平行于水平面,此时b绳张紧且绳拉力不等于零。当ω>ω0时,随着ω的缓慢增大,则下列说法正确的是(　　)
[A]a绳上拉力不变,b绳上拉力增大
[B]a绳上拉力减小,b绳上拉力增大
[C]a绳上拉力增大,b绳上拉力不变
[D]a绳上拉力增大,b绳上拉力减小
【答案】 A
【解析】 小球受轻绳a、b的拉力和重力,则竖直方向由平衡条件得Fasin θ=mg,解得Fa=,当 ω>ω0且ω缓慢增大,轻绳a的拉力与ω的变化无关而保持不变;水平方向根据Fn=mω2r,有Fb+Facos θ=mω2r,得Fb=mω2r-Facos θ,由于r、Fa、θ均不变,当ω>ω0且随着ω的缓慢增大,轻绳b的拉力增大,选项A正确。
4.一根长L=60 cm的绳子系着一个小球,小球在竖直平面内做圆周运动。已知小球的质量 m=0.5 kg,求:(g取10 m/s2)
(1)小球到达最高点时向心力的最小值;
(2)当小球在最高点时的速度为3 m/s时,绳对小球的拉力;
(3)当小球在最低点时的速度为6 m/s时,绳对小球的拉力。
【答案】 (1)5 N
(2)2.5 N,方向向下
(3)35 N,方向向上
【解析】 (1)小球在最高点受重力和拉力,合力提供向心力,当拉力为零时,向心力最小,
为F向min=mg=5 N。
(2)当小球在最高点时的速度为3 m/s时,重力和拉力的合力提供向心力,
有F1+mg=m,
得F1=m-mg=(0.5×-0.5×10) N=2.5 N,方向向下。
(3)当小球在最低点时的速度为6 m/s时,重力和拉力的合力提供向心力,
有F2-mg=m,
得F2=m+mg=(0.5×+0.5×10) N=35 N,方向向上。
课时作业
(分值:60分)
考点一　圆周运动中的绳、杆模型问题
1.(4分)如图所示,杂技演员表演“水流星”节目。一根长为L的细绳两端系着盛水的杯子,演员握住绳中间,随着演员的抡动,杯子在竖直平面内做圆周运动,杯子里的水始终不会从杯子中洒出,重力加速度为g,则杯子运动到最高点的角速度ω至少为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 杯子在竖直平面内做半径为的圆周运动,水在最高点不洒出的临界条件是重力恰好提供向心力,则有mg=mω2·,可得角速度的最小值为ω=,故B正确,A、C、D错误。
2.(6分)(多选)如图甲、乙所示,分别用长度均为1 m的轻质细绳和轻质细杆的一端拴质量均为1 kg的小球A、B,另一端分别固定在O、O′点。现让A、B两小球分别绕O、O′点在竖直平面内做圆周运动,小球均可视为质点,不计空气阻力,重力加速度 g取 10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
[A]A球做圆周运动到最高点的最小速度为0
[B]B球做圆周运动到最高点的最小速度为0
[C]某次A、B两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为2 N、5 N,则此时A、B两球经过最高点时的速度大小之比可能为2∶5
[D]某次A、B两球运动到最高点对绳、杆的作用力大小分别为2 N、5 N,则此时A、B两球经过最高点时的速度大小之比可能为2∶
【答案】 BCD
【解析】 A球与细绳相连,则恰好能到最高点时有 mg=m,解得v1== m/s,故A错误;B球与杆相连,则恰好能到最高点的速度大小为v2=0,故B正确;对A球在最高点时由牛顿第二定律有FA+mg=m,代入数据解得v3=2 m/s,对B球有两种情况,杆对B球为支持力时,有 mg-FB1=m,代入数据解得v4= m/s,杆对B球为拉力时,有mg+FB2=m,代入数据解得v5= m/s,则小球A、B在最高点的速度大小之比为v3∶v4=2∶5和v3∶v5=2∶,故C、D正确。
考点二　圆周运动中的临界、极值问题
3.(4分)如图所示,两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连,放在水平圆盘上,A恰好处于圆盘中心,B到竖直转轴OO′的距离为l。已知两木块与圆盘间的动摩擦因数均为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为g,两木块均可视为质点。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动,ω表示圆盘转动的角速度,则下列说法正确的是(　　)
[A]当ω=时,轻绳上的拉力不为零
[B]当ω=时,木块A会相对于圆盘滑动
[C]当ω=时,木块A受到的摩擦力大小为μmg
[D]当ω=时,轻绳上的拉力大小为μmg
【答案】 D
【解析】 当绳上刚好没有拉力时,对木块B,由牛顿第二定律,有μmg=mω2l,解得ω=,当木块A刚好相对于圆盘滑动时,设此时绳子中的拉力为F,对木块A,有F=μmg,对木块B,由牛顿第二定律,有F+μmg=mω2l,解得ω=。可知当 ω=<时,轻绳上的拉力为零;当ω=<时,木块A不会相对于圆盘滑动,A、B错误。当ω=时,此时绳子中有拉力,且木块A不会相对于圆盘滑动,对木块B,由牛顿第二定律,有F1+μmg=mω2l=μmg,解得F1=μmg,对木块A,根据平衡条件得,木块A受到的摩擦力大小为Ff=F1=μmg,C错误。当ω=时,此时绳子中有拉力,且木块A不会相对于圆盘滑动,对木块B,由牛顿第二定律,有F2+μmg=mω2l=μmg,解得F2=μmg,D正确。
4.(6分)(多选)如图所示,一质量m=2 kg的小球以某一速度沿水平轨道向右运动,在水平轨道最右端有一半径为R=0.5 m的竖直的半圆形轨道与其相切,小球经过半圆形轨道最低点A、圆心等高点B、半圆形轨道最高点C时的速度分别为vA=6 m/s,vB=5 m/s,vC=3 m/s,g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
[A]小球经过半圆形轨道的最低点A时对轨道的压力大小是144 N
[B]小球经过与圆心等高点B时对轨道的压力大小是100 N
[C]小球经过半圆形轨道最高点C时对轨道的压力大小是36 N
[D]如果改变小球在水平轨道上的速度,小球能以不同的速度通过半圆形轨道的最高点C,小球从C点飞出到落到水平面上,则其着地点与A点相距的最短距离是1 m
【答案】 BD
【解析】 小球经过A点时,根据Fn=m,有-mg=m,代入数据解得=164 N,由牛顿第三定律可知,小球经过A点时对轨道的压力大小是164 N,故A错误;同理,小球经过B点时,有 =m,解得=100 N,由牛顿第三定律可知,小球经过B时对轨道的压力大小是100 N,故B正确;小球经过C点时,有+mg=m,解得=16 N,由牛顿第三定律可知,小球经过C点时对轨道的压力大小是16 N,故C错误;当小球恰好通过C点时其速度最小,此后做平抛运动的着地点与A点的距离最短,则mg=m,2R=gt2,x=vmint,代入数据解得x=1 m,故D正确。
5.(4分)用一根细线一端系一小球(可视为质点),另一端固定在一光滑圆锥顶上,如图所示。设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω,细线的张力为FT,则FT随ω2变化的图像是下列选项中的(　　)
　　　
[A] [B]
　　　
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 小球未离开圆锥面时,设圆锥面对小球的支持力为FN,则有FTcos θ+FNsin θ=mg,
FTsin θ-FNcos θ=mω2Lsin θ,解得FT=mgcos θ+mω2Lsin2θ。
可见当ω由0开始增大,FT从mgcos θ开始随ω2的增大而线性增大;当角速度增大到小球飘离圆锥面时,设细线与竖直方向的夹角为α,则有FTsin α=mω2Lsin α,即FT=mω2L,可见FT随ω2的增大仍线性增大,但图线斜率变大且图线的延长线通过原点,选项C正确。
6.(6分)(多选)如图,半径为R的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上,转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合,转台以一定角速度匀速旋转。甲、乙两个小物块(可视为质点)质量均为m,分别在陶罐的A、B两处随陶罐一起转动且始终相对罐壁静止,OA、OB与OO′间的夹角分别为α=30° 和β=60°,重力加速度为g。当转台的角速度为ω0时,小物块乙受到的摩擦力恰好为零。下列说法正确的是(　　)
[A]ω0=
[B]当转台的角速度为ω0时,甲有上滑的趋势
[C]当角速度从0.5ω0缓慢增加到1.5ω0的过程中,甲受到的摩擦力一直增大
[D]当角速度从0.5ω0缓慢增加到1.5ω0的过程中,甲受到的支持力一直增大
【答案】 BD
【解析】 设陶罐内壁对物块乙的支持力为F乙,则有F乙cos β=mg,F乙sin β=mRsin β,代入数值解得ω0=,故A错误;假设转台的角速度为ω时物块甲受到的摩擦力恰好为零,设此时支持力为F甲,则有F甲cos 30°=mg,F甲sin 30°=mω2Rsin 30°,解得ω=<ω0,所以当转速为ω0时,物块甲有上滑的趋势,故B正确;由于物块甲不受摩擦力的角速度为ω=,而ω=>
=0.5ω0,所以当角速度从0.5ω0增加到ω的过程中,物块甲具有下滑的趋势,由ω增加到1.5ω0过程中具有上滑的趋势,所受的摩擦力方向发生了变化,其大小先减小再增大;将摩擦力沿着水平和竖直方向分解,在竖直方向有sin α+F甲′cos α=mg,即F甲′=,当角速度从0.5ω0缓慢增加到1.5ω0的过程中,摩擦力在沿着切线向上的方向上逐渐减小到零又反向增大,可知物块甲受到的支持力一直在增大,故C错误,D正确。
7.(8分)如图,半径为R=0.5 m的水平转盘绕竖直轴OO′转动,水平转盘中心O处有一光滑小孔,用长为L=1 m的细线穿过小孔将质量分别为 m1=0.2 kg、m2=0.5 kg的小球A和小物块B连接。现让小球A和水平转盘各以一定的角速度在水平面内转动,小物块B与水平转盘间的动摩擦因数 μ=0.3,小物块B始终处于转盘的边缘处与转盘相对静止。重力加速度g取10 m/s2。
(1)若小球A的角速度ω1=5 rad/s,求细线与竖直方向的夹角θ。
(2)在满足(1)的条件下,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,求水平转盘角速度ω2的取值。
【答案】 (1)37°
(2)2 rad/s≤ω2≤4 rad/s
【解析】 (1)对A根据牛顿第二定律得m1gtan θ=m1(L-R)sin θ,
解得θ=37°。
(2)当水平转盘的角速度最大时,根据牛顿第二定律得+μm2g=m2R,
解得ω2max=4 rad/s,
当水平转盘的角速度最小时,根据牛顿第二定律得-μm2g=m2R,
解得ω2min=2 rad/s,
水平转盘角速度ω2的取值为2 rad/s≤ω2≤4 rad/s。
8.(6分)(多选)如图所示,细线一端系一小球,另一端固定于O点,在O点正下方的P点有一颗钉子,使线拉紧与竖直方向成一角度θ,然后由静止释放小球,当小球第一次通过最低点,细线碰到钉子瞬间(　　)
[A]小球的瞬时速度突然变大
[B]小球的角速度突然变大
[C]小球的向心加速度突然变小
[D]细线所受的拉力突然变大
【答案】 BD
【解析】 碰到钉子后,圆周运动半径变小,但在最低点小球水平方向没有受到力的作用,小球的瞬时速度不会发生改变,A错误;根据v=ωr可知,小球线速度不变,半径变小,则角速度变大,B正确;根据an=可知,由于线速度不变,半径变小,则小球向心加速度变大,C错误;根据牛顿第二定律有FT-mg=man,即FT=m(g+),可知细线对小球的拉力变大,D正确。
9.(6分)(多选)如图所示,长为3L的轻杆可绕水平转轴O转动,在杆两端分别固定质量均为m的球A、B(可视为质点),球A与轴O的距离为L。现给系统一定初速度,使杆和球在竖直平面内转动。当球B运动到最高点时,水平转轴O对杆的作用力恰好为零,忽略空气阻力。已知重力加速度为g,则球B在最高点时,下列说法正确的是(　　)
[A]A、B转动角速度相等
[B]杆对球B的弹力大小为3mg
[C]球A的速度大小为2
[D]球B对杆有向上的拉力
【答案】 ABD
【解析】 A、B在相同时间内转过的角度相等,所以A、B转动角速度相等,A正确。当球B运动到最高点时,水平转轴O对杆的作用力恰好为零,杆对两球的作用力大小相等、方向相反,由于此时杆对球A的弹力向上,则杆对球B的弹力向下,所以球B对杆有向上的拉力;设此时角速度为ω,杆对球B的弹力大小为F,对球B由牛顿第二定律可得 mg+F=mω2·2L,对球A由牛顿第二定律可得 F-mg=mω2·L,联立解得ω=,F=3mg,B、D正确。球A的速度大小为vA=ωL=,C错误。
10.(10分)如图所示,质量为 m=1 kg 的小球(可视为质点)用长为l=0.5 m的细线悬挂在O点,O点距地面高度为h=1 m,如果使小球绕OO′轴在水平面内做圆周运动,重力加速度g取10 m/s2,细线能承受的最大拉力为12.5 N。
(1)求小球维持水平面内圆周运动的角速度的取值范围;
(2)若小球运动过程中细线恰好断裂,求此后小球落地点与悬点的水平距离。
【答案】 (1)0<ω≤5 rad/s (2)0.6 m
【解析】 (1)设细线拉力达到最大时,细线与竖直方向间的夹角为θ,
则在竖直方向上有F maxcos θ=mg,
代入数据解得cos θ=0.8,得θ=37°,
在水平方向上有mgtan θ=mω2r,
而r=lsin θ,
代入数据解得ω=5 rad/s,
为使小球维持水平面内的圆周运动,则角速度的取值范围为0<ω≤5 rad/s。
(2)细线恰好断裂时,小球的线速度v=ωr=ωlsin θ=1.5 m/s,
此后做平抛运动,在竖直方向有h-lcos θ=gt2,
水平方向有x=vt,
小球落地点与悬点的水平距离s=,
代入数据解得s=0.6 m。(共40张PPT)
微专题3　
圆周运动中的绳、杆模型和临界问题
1.会分析竖直面内的匀速圆周运动和变速圆周运动,理解运动情境。2.会推导当无支撑物及有支撑物时物体在最高点的最小速度。3.掌握如何分析竖直面内圆周运动各位置物体的受力。
[定位·学习目标]　
突破·关键能力
要点一　竖直面内圆周运动的轻绳模型
「要点归纳」
图甲中小球受绳拉力和重力作用,图乙中小球受轨道的弹力和重力作用,两小球在竖直面内均做圆周运动,其共同特点是小球在最高点无支撑,这类运动称之为轻绳模型。
(1)向心力分析。
(2)临界条件。
②小球能过最高点的条件是v≥v临。
③若小球的速度v「典例研习」
[例1] (2025·浙江期中)杂技水流星表演如图所示,一根绳系着盛水的杯子,随着演员的抡动,杯子在竖直平面内做变速圆周运动,已知轨迹半径为r=0.4 m,水的质量为200 g,杯子的质量为50 g,绳子质量不计,重力加速度g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
[A]杯子运动到最高点时,水恰好不流出,则最高点速度大小为4 m/s
[B]当杯子运动到最高点N速度大小为6 m/s时,水对杯子的弹力大小为16 N,方向竖直向下
[C]杯子在下降过程速度变大,合力沿轨迹切线方向的分力与速度同向
[D]杯子在最低点M时处于受力平衡状态
C
要点二　竖直面内圆周运动的轻杆模型
「要点归纳」
如图所示,细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球均在竖直面内做圆周运动,其共同特点是小球速度较大时受杆或轨道的指向圆心的力,速度较小时受支持力,小球不可能做近心运动或离心运动,这类运动称之为轻杆模型。
(1)向心力分析。
(2)临界条件。
①由于杆(或轨道)的支撑作用,小球能到达最高点的临界速度v临=0,杆(或轨
道)对小球有支持力FN=mg。
[例2] 如图甲所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球,现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时,杆与小球间弹力大小为FN,小球在最高点时的速度大小为v,其FN-v2图像如图乙所示,重力加速度g取 10 m/s2,小球可视为质点,不计一切阻力。则下列说法正确的是(　　)
[A]小球的质量为2 kg
[B]小球做圆周运动的半径为2.5 m
B
「典例研习」
竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型,是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态,即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况,根据牛顿第二定律列式求解。
·规律方法·
要点三　圆周运动的临界问题
「要点归纳」
1.临界状态
当物体从某种特性变化为另一种特性时,发生质的飞跃的转折状态,通常叫作临界状态。出现临界状态时,既可理解为“恰好出现”,也可理解为“恰好不出现”。
2.确定临界状态的常用方法
(1)极限法:把物理问题(或过程)推向极端,从而使临界现象显露,达到尽快求解的目的。
(2)假设法:有些物理过程中没有明显给出临界问题的线索,但在变化过程中可能出现临界问题。
3.常见的三种临界问题
(1)与绳的弹力有关的临界问题。
此类问题要分析出绳恰好无弹力这一临界状态下的角速度等。
(2)与支持面弹力有关的临界问题。
此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度等。
(3)因静摩擦力而产生的临界问题。
此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度等。
「典例研习」
[例3] (水平面内圆周运动的临界问题)(多选)如图所示,叠放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度ω匀速转动且未发生相对滑动,A、B、C的质量分别为3m、2m、m,B、C与转台、A与B间的动摩擦因数都为μ,B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g。下列说法正确的是(　 　)
[A]B对A的摩擦力有可能为3μmg
[B]C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力
[D]若角速度ω在题干所述基础上缓慢增大,A与B间将最先发生相对滑动
BC
[例4] (斜面上圆周运动的临界问题)如图所示,有一倾斜的匀质圆盘(半径足够大),盘面与水平面的夹角为θ,绕过圆心并垂直于盘面的转轴以角速度ω匀速转动,有一物体(可视为质点)与盘面间的动摩擦因数为μ(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),重力加速度为g。要使物体能与圆盘始终保持相对静止,则物体与转轴间最大距离为(　　)
C
[例5] (圆锥面上圆周运动的临界问题)如图所示,在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球,圆锥体固定在水平面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线、细线与轴线之间的夹角均为30°,小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动。重力加速度为g。
【解析】 小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力FN=0,小球受力如图甲所示,
【答案】 (2)2mg
处理临界问题的解题思路
(1)判断临界状态。
①题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程存在着临界状态。
②题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界状态。
③题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点也往往是临界状态。
·规律方法·
(2)确定临界条件:判断题述的过程存在临界状态之后,要通过分析弄清临界状态出现的条件,并以数学形式表达出来。
(3)选择物理规律:当确定了物体运动的临界状态和临界条件后,对于不同的运动过程或现象,要分别选择相对应的物理规律,然后再列方程求解。
·规律方法·
检测·学习效果
1.滚筒洗衣机的滚筒上有很多漏水孔,脱水时滚筒转动使附着在衣物上的水从漏水孔被甩出,达到脱水的目的。如图所示,一件可视为质点的衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动,a、b分别为衣物经过的最高位置和最低位置。下列说法正确的是(　　)
[A]衣物紧贴着滚筒壁做匀变速曲线运动
[B]衣物转到b位置时的脱水效果比a位置好
[C]不论滚筒转速多大,衣物都能通过a位置
[D]衣物在a位置受到滚筒壁的支持力比在b位置的大
B
2.(多选)如图甲所示,小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动,小球经过最高点时的速度大小为v,此时绳子的拉力大小为FT,拉力FT与速度的二次方v2的关系如图乙所示。已知重力加速度为g,下列说法正确的是(　 　)
AB
3.如图所示,质量为m的小球由不可伸长的轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点,当轻杆绕轴OO′以角速度ω0匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,a绳与水平面成θ角,b绳平行于水平面,此时b绳张紧且绳拉力不等于零。当ω>ω0时,随着ω的缓慢增大,则下列说法正确的是(　　)
[A]a绳上拉力不变,b绳上拉力增大
[B]a绳上拉力减小,b绳上拉力增大
[C]a绳上拉力增大,b绳上拉力不变
[D]a绳上拉力增大,b绳上拉力减小
A
4.一根长L=60 cm的绳子系着一个小球,小球在竖直平面内做圆周运动。已知小球的质量 m=0.5 kg,求:(g取10 m/s2)
(1)小球到达最高点时向心力的最小值;
【答案】 (1)5 N
【解析】 (1)小球在最高点受重力和拉力,合力提供向心力,当拉力为零时,向心力最小,为F向min=mg=5 N。
(2)当小球在最高点时的速度为3 m/s时,绳对小球的拉力;
【答案】 (2)2.5 N,方向向下
(3)当小球在最低点时的速度为6 m/s时,绳对小球的拉力。
【答案】 (3)35 N,方向向上
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