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3　万有引力理论的成就
[定位·学习目标]　1.通过阅读教材,理解“称量地球质量”的基本思路,了解万有引力定律在天文学上的重要应用,形成物理观念。2.通过理解计算太阳质量的基本思路,能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解,形成科学探究思维。3.通过认识万有引力定律的科学成就,体会科学的迷人魅力,进一步认识运动与相互作用的观念,体会科学理论在指导实践过程中的作用。
知识点一　“称量”地球的质量
探究新知
1.理论:若不考虑地球自转的影响,地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力。
2.关系式:mg=G,整理可得m地=,只要知道g、R、G的值,就可计算出地球的质量。
3.推广:若知道某星球表面的重力加速度g和星球半径R,可计算出该星球的质量m星=。
正误辨析
(1)地球表面的物体所受重力必然等于地球对它的万有引力。(　×　)
(2)牛顿被称作第一个称出地球质量的人。(　×　)
(3)已知月球表面的重力加速度和月球绕地球转动的轨道半径,可以求出月球的质量。(　×　)
知识点二　计算天体的质量
探究新知
1.原理:质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时,行星与太阳间的万有引力充当向心力。
2.关系式:=mr,整理可得m太=,只要知道引力常量G,行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。
3.推广:若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星的轨道半径r,可计算行星的质量M,公式是M=。
正误辨析
(1)绕行星匀速转动的卫星,万有引力提供向心力。(　√　)
(2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径,则可以求出太阳的质量。(　×　)
(3)利用月球绕地球转动,可求出地球的质量。(　√　)
知识点三　发现未知天体及预言哈雷彗星回归
探究新知
1.海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料,各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年 9月23日晚,德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2.其他天体的发现
近100年来,人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
3.预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷从1337年到1698年的彗星记录中挑选了24颗彗星,依据万有引力定律,计算了它们的轨道,并发现1531年、1607年和1682年出现的这三颗彗星的轨道看起来如出一辙,他大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星,周期约为76 年。
正误辨析
(1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。(　×　)
(2)海王星的发现和彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。(　√　)
(3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。(　×　)
要点一　天体质量和密度的计算
情境探究
卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值,他把自己的实验说成是“称量地球的重量”。
探究:(1)他“称量”的依据是什么
(2) 若已知地球表面重力加速度g、地球半径R、引力常量G,求地球的质量和密度。
【答案】 (1)若忽略地球自转的影响,在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。
(2)由mg=G,得m地=,ρ===。
要点归纳
1.“自力更生”法(g-R):利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G=mg得天体质量M=。
(2)天体密度ρ===。
2.“借助外援”法(T-r):测出行星(或卫星)绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。
(1)由G=mr得天体的质量M=。
(2)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ===。
(3)若行星(或卫星)绕天体表面运行时,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=,可见,只要测出行星(或卫星)环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。
典例研习
[例1] (天体质量的计算)我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索,其后将探索建造月球科研试验站,这极大地提高了同学们对月球的关注程度。以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题。
(1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动的周期为T,且把月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动。试求出月球绕地球运动的轨道半径。
(2)若航天员随登月飞船登陆月球后,在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球,经过时间t,小球落回到抛出点。已知月球半径为R′,引力常量为G。试求出月球的质量M′。
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)设地球质量为M,月球质量为M′,根据万有引力定律和向心力公式有
G=M′()2r,
在地球表面有G=mg,
解得r=。
(2)设月球表面处的重力加速度为g′,根据题意有t=。
在月球表面有G=m′g′,
解得M′=。
[例2] (天体密度的计算)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星,已知引力常量为G,忽略该天体自转。
(1)若卫星距该天体表面的高度为h,测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1,则该天体的密度是多少
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2,则该天体的密度是多少
【答案】 (1)　(2)
【解析】 设卫星的质量为m,天体的质量为M。
(1)卫星距天体表面的高度为h时,
G=m(R+h),
则有M=,
天体的体积为V=πR3,
故该天体的密度为
ρ===。
(2)卫星贴近天体表面运动时有
G=mR,
则有M=,
ρ===。
要点二　应用万有引力定律分析计算天体运动的问题
情境探究
2025年1月16日,火星、地球和太阳处于一条直线上,上演“火星冲日”的天象奇观。此次“火星冲日”,火星与地球之间的距离约9 600万千米,为人类研究火星提供了很好的时机。
探究:(1)该时刻火星和地球谁的速度大
(2)再经过一年时间,火星是否又回到了原位置
【答案】 (1)火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动,由G=m,可得v=,地球绕太阳运动的半径小于火星绕太阳运动的半径,所以地球的速度大。
(2)再经过一年,地球回到原来位置,由于火星的周期大于地球的周期,则再经过一年,火星还没有回到原位置。
要点归纳
1.解决天体圆周运动问题的思路
行星(或卫星)环绕恒星(或行星)的运动均视为匀速圆周运动,万有引力提供其运动的向心力:
G=man=m=mω2r=mωv=mr。
2.解决天体运动问题的方法
(1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。
(2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。
(3)利用黄金代换式——用“gR2”代换“GM”,简化记忆和解题。
3.行星(或卫星)绕恒星(或行星)做匀速圆周运动各物理量与半径的关系
→
典例研习
[例3] a、b两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动,a为近地卫星,b卫星离地面高度为3R,已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,求:(忽略地球自转的影响)
(1)a、b两颗卫星的周期;
(2)a、b两颗卫星的线速度之比。
【答案】 (1)2π　16π
(2)2∶1
【解析】 (1)卫星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,对地球表面上质量为m的物体,
有G=mg,
对a卫星,
有=maR,
解得Ta=2π。
对b卫星,
有=mb·4R,
解得Tb=16π。
(2)卫星做匀速圆周运动,对a卫星,
有=,
解得va=,
对b卫星,
有=,
解得vb=,
所以va∶vb=2∶1。
1.万有引力定律的成就之一是发现未知天体。下列说法正确的是(　　)
[A]海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
[B]天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
[C]海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
[D]天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差,其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此人们发现了海王星
【答案】 D
【解析】 由行星的发现历史可知,天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的;海王星不是通过观测发现,也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的,而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道,从而发现了海王星。由此可知,A、B、C错误,D正确。
2.若月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动,并且已知月球绕地球运动的轨道半径r、绕地球运动的周期T,引力常量为G,由此可以知道(　　)
[A]月球的质量m=
[B]地球的质量M=
[C]月球的平均密度ρ=
[D]地球的平均密度ρ′=
【答案】 B
【解析】 月球的质量在计算时约去了,无法计算月球的质量,月球的平均密度也无法计算,故A、C错误;月球绕地球做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力,有=mr,解得地球的质量M=,故B正确;根据密度计算公式可得ρ′=,其中V=πR3,解得地球的平均密度ρ′=,故D错误。
3.如图所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该行星带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
[A]太阳对各小行星的引力相同
[B]各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
[C]小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
[D]小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
【答案】 C
【解析】 由于各小行星的质量和轨道半径不同,根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同,A错误;太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力,由G=m()2r可得T=2π,又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径,可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年,B错误;由G=man可得an=,可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值,C正确;由G=m可得v=,可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值,D错误。
4.我国航天员在空间站用古筝弹奏了《茉莉花》,乐声记录下东方大国的奋进姿态,更激荡起中华文化的自信昂扬。若空间站在离地面高度h=400 km 的圆周轨道绕地球做匀速圆周运动,一天(24 h)内可以绕地球转动16圈。已知地球半径R=6 400 km,引力常量G=6.67×
10-11 N·m2/kg2,取π≈3.14。求:(结果均保留两位小数)
(1)空间站绕地球做匀速圆周运动的周期T和角速度ω;
(2)若古筝的质量m=20 kg,古筝在空间站受到地球对它的万有引力大小F;
(3)地球的质量M。
【答案】 (1)5.40×103 s　1.16×10-3 rad/s　
(2)1.83×102 N　(3)6.34×1024 kg
【解析】 (1)空间站的周期T==1.5 h=5.40×103 s,
空间站的角速度ω=≈1.16×10-3 rad/s。
(2)古筝围绕地球做匀速圆周运动,由地球对它的万有引力提供向心力,即F=Fn=mω2(R+h),
代入数据解得F≈1.83×102 N。
(3)设空间站的质量为m1,空间站围绕地球做匀速圆周运动,由地球对空间站的万有引力提供向心力,即G=m1ω2(R+h),
可得M=,
代入数据解得M≈6.34×1024 kg。
课时作业
(分值:60分)
考点一　天体质量和密度的计算
1.(4分)“天宫”空间站由天和核心舱、问天实验舱、梦天实验舱三舱组成,它在绕地球的圆轨道上做匀速圆周运动,则利用引力常量G和下列哪组数据,可以计算出地球质量(不考虑地球自转)(　　)
[A]空间站绕地球做圆周运动的半径和地球表面重力加速度
[B]地球半径和地球表面重力加速度
[C]空间站到地球表面的高度和绕地球做圆周运动周期
[D]地球半径和空间站绕地球做圆周运动的线速度
【答案】 B
【解析】 根据万有引力提供向心力,可得G=m=mω2r=mr,可得M===,根据G=mg表,得M=,知道地球半径和地球表面重力加速度,能求得地球质量,而知道空间站绕地球做圆周运动的半径和地球表面重力加速度,不能求得地球质量,故A错误,B正确;知道空间站到地球表面的高度(不知道绕地半径r)和绕地球做圆周运动周期,不能求得地球质量,故C错误;知道地球半径(不知道绕地半径r)和空间站绕地球做圆周运动的线速度,不能求得地球质量,故D错误。
2.(4分)在某科幻电影中,地球需借助木星的“引力弹弓”效应加速才能成功逃离太阳系。然而由于行星发动机发生故障使得地球一度逼近木星的“洛希极限”,险象环生。“洛希极限”是一个距离,可粗略认为当地球与木星的球心间距等于该值时,木星对地球上物体的引力约等于其在地球上的重力,地球将会倾向碎散。已知木星的“洛希极限”d≈R木,其中R木为木星的半径,约为地球半径R的11倍。则根据上述条件可估算出(　　)
[A]木星的第一宇宙速度约为7.9 km/s
[B]木星的第一宇宙速度约为16.7 km/s
[C]木星的质量约为地球质量的倍
[D]木星的密度约为地球密度的
【答案】 D
【解析】 由题目中的条件可知,地球到达木星的“洛希极限”时有G=mg,又有G=mg,其中d≈R木,R木=11R,联立解得==,又有ρ==,则有=·=·=,故C错误,D正确;由万有引力提供向心力有G=m,可知木星的第一宇宙速度为 v1=,由=,可得M木=M地,又有R木=11R,联立解得v1=≈39 km/s,故A、B错误。
3.(4分)一月球探测器绕月球做周期为T的圆周运动,轨道距月球表面的高度为H。已知月球半径为R,引力常量为G,则月球的平均密度为(　　)
[A](1+)3 [B](1+)3
[C](1+)3 [D](1+)3
【答案】 A
【解析】 月球探测器绕月球做匀速圆周运动,月球对探测器的引力提供向心力,
有G=m(R+H),解得M=,
月球的体积为V=πR3,
则月球的平均密度ρ===(1+)3,故选A。
4.(4分)卫星绕地球做匀速圆周运动,轨道离地球表面高度约为3R(R为地球半径),周期为T。卫星质量为m,引力常量为G,则有(　　)
[A]卫星线速度大小为
[B]卫星所受万有引力大小为
[C]地球质量为
[D]地球表面重力加速度为
【答案】 B
【解析】 轨道离地球表面高度约为3R(R为地球半径),周期为T,则轨道半径r=R+h=R+3R=4R,线速度v==,故A错误;卫星所受万有引力提供向心力,得F=m··r=,故B正确;根据G=m×4R,解得M=,故C错误;地球表面重力加速度g==,故D错误。
考点二　天体运动的分析
5.(4分)a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星,其中a、c的轨道相交于P点,b、d在同一个圆轨道上,b、c的轨道在同一平面上。某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图所示,下列说法正确的是(　　)
[A]a、c的加速度大小相等,且大于b的加速度
[B]b、c的角速度大小相等,且小于a的角速度
[C]a、c的线速度大小相等,且小于d的线速度
[D]a、c存在在P点相撞的危险
【答案】 A
【解析】 由G=m=mω2r=mr=man可知,A正确,B、C错误;因a、c轨道半径相同,周期相同,由题图可知当c运动到P点时不会与a相撞,以后也不可能相撞,D错误。
6.(4分)木星是太阳系中拥有最多卫星的行星,其中木卫一、木卫二、木卫三、木卫四是意大利天文学家伽利略在1610年用自制的望远镜发现的,这四颗卫星被后人称为伽利略卫星。木卫一、木卫四绕木星做匀速圆周运动的周期之比约为1∶9。则木卫一、木卫四绕木星做匀速圆周运动的线速度之比为(　　)
[A]∶1 [B]3∶1
[C]3∶1 [D]9∶1
【答案】 A
【解析】 由开普勒第三定律有=,整理得 ==,木卫一、木卫四均由木星的万有引力提供向心力做圆周运动,则有=m1,=m4,联立方程,可得===,故A正确,B、C、D错误。
7.(4分)2025年6月25日,嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域,从月球背面带回了1 935.3克的背面样品。已知地球质量为月球质量的k倍,地球半径R为月球半径的p倍,地球表面的重力加速度为g,则嫦娥六号探测器在近月圆形轨道的线速度大小约为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 嫦娥六号探测器在地球表面飞行时,万有引力提供向心力,有G= ,又G=mg,联立可得v== ,同理可得,嫦娥六号探测器在近月圆形轨道飞行时,其线速度为v月=
,由上述分析可知,嫦娥六号探测器在月球表面与地球表面运行时的线速度之比为=
= ,故v月=v=,故A、C、D错误,B正确。
8.(6分)(多选)如图所示,a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星,a和b的质量相等,且小于c的质量,则(　　)
[A]b所需向心力最小
[B]b、c的周期相同且大于a的周期
[C]b、c的向心加速度大小相等,且大于a的向心加速度
[D]b、c的线速度大小相等,且小于a的线速度
【答案】 ABD
【解析】 因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的,即Fn=,则b所需向心力最小,A正确;由=mr()2,得T=2π,即r越大,T越大,所以b、c的周期相同且大于a的周期,B正确;由=man,得an=,所以b、c的向心加速度大小相等,且小于a的向心加速度,C错误;由=,得v=,所以b、c的线速度大小相等,且小于a的线速度,D正确。
9.(6分)(多选)中国雪龙号南极科考船上的科研人员,在经过赤道时测量的重力加速度大小为g,到达南极后,在南极附近测得的重力加速度大小为g0,已知地球的自转周期为T,引力常量为G,假设地球是均匀球体,则下列说法正确的是(　　)
[A]地球的密度为
[B]地球的半径为
[C]若地球的自转角速度变为原来的,则地球赤道上的物体对地面的压力为零
[D]若地球的自转角速度变为原来的,则地球赤道上的物体对地面的压力为零
【答案】 BC
【解析】 设地球半径为R,因地球表面两极处自转速度为零,故物体重力等于万有引力,则有=mg0,在赤道处重力、向心力和万有引力方向已知,故由力的合成可得=mg+m()2R,
mg0=mg+m()2R,所以地球半径为R=,故B正确;地球质量M=,所以地球密度ρ==,故A错误;当放在地球赤道上的物体不再对地面有压力时,有mg0=mω′2R,结合mg0=mg+mω2R,解得ω′= ω,故C正确,D错误。
10.(8分)航天员在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把质量为m的物体P轻放在弹簧上端由静止向下运动,物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图所示。已知引力常量为G,星球M的半径为R。求:
(1)弹簧的劲度系数;
(2)星球M的密度。
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)由题图可知,当弹簧压缩量为0时,得星球M表面上的重力加速度g=3a0,
当弹簧的压缩量为x0时,物体的加速度为0,则弹簧的弹力为F=mg,所以弹簧的劲度系数
k==。
(2)对星球M表面的物体,有=mg,
解得星球的质量M==,
又M=ρ·,
联立解得星球的密度ρ=。
11.(12分)2023年7月12日,中国载人航天办公室公布了中国载人登月初步方案,计划2030年前实现登月开展科学探索。一名勤于思考的同学为探月航天员设计了如下实验:在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体,然后测量该平抛物体的水平位移为x。通过查阅资料知道月球的半径为R,引力常量为G。若物体只受月球引力的作用,求:
(1)月球表面的重力加速度g月;
(2)月球的质量M;
(3)环绕月球表面飞行的宇宙飞船的速率v。
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)取水平抛出的物体为研究对象,
h=g月t2,x=v0t,联立解得g月=。
(2)取月球表面质量为m的物体为研究对象,它受到的重力与万有引力相等,即mg月=,
得M==。
(3)环绕月球表面的宇宙飞船做匀速圆周运动的半径为R,万有引力提供向心力,
故有=(m′为飞船质量),
所以v===。(共43张PPT)
3　万有引力理论的成就
1.通过阅读教材,理解“称量地球质量”的基本思路,了解万有引力定律在天文学上的重要应用,形成物理观念。2.通过理解计算太阳质量的基本思路,能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解,形成科学探究思维。3.通过认识万有引力定律的科学成就,体会科学的迷人魅力,进一步认识运动与相互作用的观念,体会科学理论在指导实践过程中的作用。
[定位·学习目标]　
探究·必备知识
知识点一　“称量”地球的质量
「探究新知」
1.理论:若不考虑地球自转的影响,地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的 。
引力
重力加速度g
半径R
正误辨析
(1)地球表面的物体所受重力必然等于地球对它的万有引力。(　 　)
(2)牛顿被称作第一个称出地球质量的人。(　 　)
(3)已知月球表面的重力加速度和月球绕地球转动的轨道半径,可以求出月球的质量。(　 　)
×
×
×
知识点二　计算天体的质量
「探究新知」
万有引力
1.原理:质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时,行星与太阳间的
充当向心力。
正误辨析
(1)绕行星匀速转动的卫星,万有引力提供向心力。(　 　)
(2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径,则可以求出太阳的质量。(　 　)
(3)利用月球绕地球转动,可求出地球的质量。(　 　)
√
×
√
知识点三　发现未知天体及预言哈雷彗星回归
「探究新知」
1.海王星的发现
英国剑桥大学的学生 和法国年轻的天文学家 根据天王星的观测资料,各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年 9月23日晚,德国的 在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
亚当斯
勒维耶
伽勒
2.其他天体的发现
近100年来,人们在海王星的轨道之外又发现了 、阋神星等几个较大的天体。
3.预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷从1337年到1698年的彗星记录中挑选了24颗彗星,依据
,计算了它们的轨道,并发现1531年、1607年和1682年出现的这三颗彗星的轨道看起来如出一辙,他大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星,周期约为 年。
冥王星
万有引力定律
76
正误辨析
(1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。(　 　)
(2)海王星的发现和彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
(　 　)
(3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。(　 　)
×
√
×
突破·关键能力
要点一　天体质量和密度的计算
「情境探究」
卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值,他把自己的实验说成是“称量地球的重量”。
探究:(1)他“称量”的依据是什么
【答案】 (1)若忽略地球自转的影响,在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。
(2) 若已知地球表面重力加速度g、地球半径R、引力常量G,求地球的质量和密度。
「要点归纳」
1.“自力更生”法(g-R):利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
2.“借助外援”法(T-r):测出行星(或卫星)绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。
[例1] (天体质量的计算)我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索,其后将探索建造月球科研试验站,这极大地提高了同学们对月球的关注程度。以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题。
(1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动的周期为T,且把月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动。试求出月球绕地球运动的轨道半径。
「典例研习」
(2)若航天员随登月飞船登陆月球后,在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球,经过时间t,小球落回到抛出点。已知月球半径为R′,引力常量为G。试求出月球的质量M′。
[例2] (天体密度的计算)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星,已知引力常量为G,忽略该天体自转。
(1)若卫星距该天体表面的高度为h,测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1,则该天体的密度是多少
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2,则该天体的密度是多少
要点二　应用万有引力定律分析计算天体运动的问题
「情境探究」
2025年1月16日,火星、地球和太阳处于一条直线上,上演“火星冲日”的天象奇观。此次“火星冲日”,火星与地球之间的距离约9 600万千米,为人类研究火星提供了很好的时机。
探究:(1)该时刻火星和地球谁的速度大
(2)再经过一年时间,火星是否又回到了原位置
【答案】 (2)再经过一年,地球回到原来位置,由于火星的周期大于地球的周期,则再经过一年,火星还没有回到原位置。
「要点归纳」
1.解决天体圆周运动问题的思路
2.解决天体运动问题的方法
(1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。
(2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。
(3)利用黄金代换式——用“gR2”代换“GM”,简化记忆和解题。
3.行星(或卫星)绕恒星(或行星)做匀速圆周运动各物理量与半径的关系
「典例研习」
[例3] a、b两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动,a为近地卫星,b卫星离地面高度为3R,已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,求:
(忽略地球自转的影响)
(1)a、b两颗卫星的周期;
(2)a、b两颗卫星的线速度之比。
【答案】 (2)2∶1
检测·学习效果
1.万有引力定律的成就之一是发现未知天体。下列说法正确的是(　　)
[A]海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
[B]天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
[C]海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
[D]天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差,其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此人们发现了海王星
D
【解析】 由行星的发现历史可知,天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的;海王星不是通过观测发现,也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的,而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道,从而发现了海王星。由此可知,A、B、C错误,D正确。
2.若月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动,并且已知月球绕地球运动的轨道半径r、绕地球运动的周期T,引力常量为G,由此可以知道(　　)
B
3.如图所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该行星带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
[A]太阳对各小行星的引力相同
[B]各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
[C]小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
[D]小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
C
4.我国航天员在空间站用古筝弹奏了《茉莉花》,乐声记录下东方大国的奋进姿态,更激荡起中华文化的自信昂扬。若空间站在离地面高度h=400 km 的圆周轨道绕地球做匀速圆周运动,一天(24 h)内可以绕地球转动16圈。已知地球半径R=6 400 km,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,取π≈3.14。求:(结果均保留两位小数)
(1)空间站绕地球做匀速圆周运动的周期T和角速度ω;
【答案】 (1)5.40×103 s　1.16×10-3 rad/s　
(2)若古筝的质量m=20 kg,古筝在空间站受到地球对它的万有引力大小F;
【答案】 (2)1.83×102 N
【解析】 (2)古筝围绕地球做匀速圆周运动,
由地球对它的万有引力提供向心力,即F=Fn=mω2(R+h),
代入数据解得F≈1.83×102 N。
(3)地球的质量M。
【答案】 (3)6.34×1024 kg
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