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微专题4　
万有引力定律的应用
1.知道什么是填补法,能用填补法分析计算万有引力,体会物理方法在物理学习和科学探究中的重要性。2.理解万有引力定律的两个推论,并能应用于解决实际问题,通过对问题的处理,培养科学思维能力和构建物理模型的能力。建立不同情境中物理规律的运用方式,培养推理能力。3.通过对几种万有引力定律相关的综合性问题的分析,能够把各种相互作用相联系,建立清晰的物理情境及正确的物理模型,形成解题思路和方向,根据不同的运动规律,列出相关方程求解计算,以达到培养综合分析能力的目的。
[定位·学习目标]　
突破·关键能力
要点一　“填补法”计算物体间的万有引力
「要点归纳」
对于质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力,无法直接应用万有引力公式求得,解决该类问题常用“填补法”。
常见的类型:把非对称物体(挖空部分为球体)补成球体,即先把挖去的部分“填补”上,使其成为半径为R的完整球体,再根据万有引力公式,分别计算出半径为R的球体和“填补”上的球体对物体的万有引力,最后两引力相减即可得到答案。
「典例研习」
A
“填补法”适用的条件
(1)形状的要求:除大球内挖掉小球外,球形物体挖掉其他形状的物体不可用此法,如挖掉的是立方体或其他不规则形状的物体;非球形物体挖掉小球等情况也不适合用此法。
(2)三心的位置关系:若大球球心、小球球心、第三个球的球心(或质点)三心共线,则三力共线,遵循代数运算法则;若三心不共线,则三力不共线,遵循矢量运算法则。
·规律方法·
要点二　万有引力定律的两个重要推论
「要点归纳」
1.在匀质球层的空腔内任意位置处,质点受到壳层万有引力的合力为零,如图甲所示,质点a受到球壳的作用力为零。
[例2] (深井内万有引力问题分析)万有引力定律清楚地向人们揭示,复杂运动的后面可能隐藏着简洁的科学规律;它明确地向人们宣告,天上和地上的物体都遵循着完全相同的科学法则;它可以计算两个质点间的万有引力,或球体之间的万有引力。已知地球的质量为M(视为质量分布均匀的球体),半径为R,引力常量为G。
(1)不考虑地球的自转,求地球表面附近的重力加速度大小;
「典例研习」
(2)已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,求深度为d的矿井底部的重力加速度大小。
[例3] (球内、外万有引力分析)理论上已经证明:质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体,O为球心,以O为原点建立坐标轴Ox,如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的万有引力大小用F表示,则下列关于F随x变化的关系图像正确的是(　　)
[A] [B] [C] [D]
A
要点三　万有引力定律的综合问题
「要点归纳」
1.重力加速度的求法
(1)忽略地球自转的影响,在地球表面重力加速度g的求法。
(2)在地球上空距离表面h处重力加速度的求法。
注意:上面公式也适用于其他星球的情况。
2.黄金代换
(1)GM=gR2是在有关计算中常用到的一个替换关系式,被称为黄金代换公式。
(2)该式适用于任何天体,主要用于某星体的质量M未知的情况下,用该星体的半径R和表面的“重力加速度”g代换M。
3.物体在赤道上的失重问题
4.万有引力定律与其他运动的综合
由于在地球表面或其他星球表面物体都要受到万有引力作用,因此万有引力定律可与其他运动特别是抛体运动相结合构成综合问题,联系万有引力定律与其他运动的物理量是地球表面或星体表面的重力加速度。对于这类问题的解答思路如下:
(1)根据物理情境构建运动模型;
(2)根据运动模型列运动学方程;
(3)根据万有引力定律列计算重力加速度的方程;
(4)根据表达式代入数据计算。
「典例研习」
C
[例5] (万有引力定律的综合应用)天问一号火星探测器在火星表面着陆前的最后两个运动阶段分别为动力减速阶段和着陆缓冲阶段。在动力减速阶段,探测器发动机打开,经40 s速度由87 m/s减至7 m/s。将探测器在动力减速阶段的运动看成竖直方向的匀变速直线运动,已知探测器的质量约为5 t,火星半径约为地球半径的二分之一,为方便计算,火星质量约为地球质量的十分之
一,地球表面的重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)火星表面的重力加速度g火的大小;
【答案】 (1)4 m/s2
(2)动力减速阶段发动机提供的力的大小。
【答案】 (2)3×104 N
【解析】 (2)探测器在动力减速阶段,由运动学公式有v=v0-at,
根据牛顿第二定律可知F-m′g火=m′a,
联立解得F=3×104 N。
检测·学习效果
B
2.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)
A
3.假设地球可视为质量分布均匀的球体,已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0,在赤道处的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G,则地球的密度为(　　)
B
(1)在火星上该航天员所受的重力为多少 (结果保留一位小数)
【答案】 (1)266.7 N
(2)该航天员在地球上可跳1.5 m高,他以相同初速度在火星上可跳多高
【答案】 (2)3.375 m
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[定位·学习目标]　1.知道什么是填补法,能用填补法分析计算万有引力,体会物理方法在物理学习和科学探究中的重要性。2.理解万有引力定律的两个推论,并能应用于解决实际问题,通过对问题的处理,培养科学思维能力和构建物理模型的能力。建立不同情境中物理规律的运用方式,培养推理能力。3.通过对几种万有引力定律相关的综合性问题的分析,能够把各种相互作用相联系,建立清晰的物理情境及正确的物理模型,形成解题思路和方向,根据不同的运动规律,列出相关方程求解计算,以达到培养综合分析能力的目的。
要点一　“填补法”计算物体间的万有引力
要点归纳
　对于质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力,无法直接应用万有引力公式求得,解决该类问题常用“填补法”。
常见的类型:把非对称物体(挖空部分为球体)补成球体,即先把挖去的部分“填补”上,使其成为半径为R的完整球体,再根据万有引力公式,分别计算出半径为R的球体和“填补”上的球体对物体的万有引力,最后两引力相减即可得到答案。
典例研习
[例1] 有一个质量为m、半径为R、密度均匀的球体,在距离球心O为2R的地方有一质量为m′的质点。现从球中挖去半径为的球体,如图所示,则剩余部分对m′的万有引力为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 设挖去球体的质量为m″,利用“填补法”可知,剩余部分对m′的万有引力为F=-,==,联立可得 F=,故选A。
“填补法”适用的条件
(1)形状的要求:除大球内挖掉小球外,球形物体挖掉其他形状的物体不可用此法,如挖掉的是立方体或其他不规则形状的物体;非球形物体挖掉小球等情况也不适合用此法。
(2)三心的位置关系:若大球球心、小球球心、第三个球的球心(或质点)三心共线,则三力共线,遵循代数运算法则;若三心不共线,则三力不共线,遵循矢量运算法则。
要点二　万有引力定律的两个重要推论
要点归纳
1.在匀质球层的空腔内任意位置处,质点受到壳层万有引力的合力为零,如图甲所示,质点a受到球壳的作用力为零。
2.在匀质球体内部距离球心r处,质点受到的万有引力就等于半径为r的球体的引力,如图乙所示,质点P受到的万有引力大小为F=G。
典例研习
[例2] (深井内万有引力问题分析)万有引力定律清楚地向人们揭示,复杂运动的后面可能隐藏着简洁的科学规律;它明确地向人们宣告,天上和地上的物体都遵循着完全相同的科学法则;它可以计算两个质点间的万有引力,或球体之间的万有引力。已知地球的质量为M(视为质量分布均匀的球体),半径为R,引力常量为G。
(1)不考虑地球的自转,求地球表面附近的重力加速度大小;
(2)已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,求深度为d的矿井底部的重力加速度
大小。
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)不考虑地球的自转,有G=mg,
可得在地球表面附近的重力加速度大小为g=。
(2)设地球的平均密度为ρ,则地球的质量为M=ρ·πR3,
在矿井底部有G=mg′,
而M1=ρ·π(R-d)3,
可得深度为d的矿井底部的重力加速度大小为g′=。
[例3] (球内、外万有引力分析)理论上已经证明:质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体,O为球心,以O为原点建立坐标轴Ox,如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的万有引力大小用F表示,则下列关于F随x变化的关系图像正确的是(　　)
　
[A] [B]
　
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 设地球的密度为ρ,小物体质量为m,当 x≥R时,地球可被看成在球心处的质点,物体所受的万有引力大小为F=G=G。当xG=Gπρmx,故A正确。
要点三　万有引力定律的综合问题
要点归纳
1.重力加速度的求法
(1)忽略地球自转的影响,在地球表面重力加速度g的求法。
方法一:根据万有引力定律,有mg=G,g=G。
方法二:利用与地球的平均密度的关系,得g=G=G=GπρR。
(2)在地球上空距离表面h处重力加速度的求法。
根据万有引力定律,得g1=G∝,=()2=()2,则g1=g。
注意:上面公式也适用于其他星球的情况。
2.黄金代换
(1)GM=gR2是在有关计算中常用到的一个替换关系式,被称为黄金代换公式。
(2)该式适用于任何天体,主要用于某星体的质量M未知的情况下,用该星体的半径R和表面的“重力加速度”g代换M。
3.物体在赤道上的失重问题
(1)物体在两极处,视重等于万有引力,即F=G。
(2)物体在赤道上随地球转动,部分万有引力提供其做圆周运动的向心力,视重小于万有引力,相对于两极处可认为处于失重状态。根据牛顿第二定律和万有引力定律得G-F=mω2R,即F=G-mω2R。
(3)在赤道上的物体完全失重的条件:万有引力完全提供物体做圆周运动的向心力,即G=m,利用黄金代换公式GM=gR2,联立得v==。
4.万有引力定律与其他运动的综合
由于在地球表面或其他星球表面物体都要受到万有引力作用,因此万有引力定律可与其他运动特别是抛体运动相结合构成综合问题,联系万有引力定律与其他运动的物理量是地球表面或星体表面的重力加速度。对于这类问题的解答思路如下:
(1)根据物理情境构建运动模型;
(2)根据运动模型列运动学方程;
(3)根据万有引力定律列计算重力加速度的方程;
(4)根据表达式代入数据计算。
典例研习
[例4] (万有引力定律与重力的关系)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体,它们在水平方向运动的距离之比为2∶,已知该行星质量约为地球的7倍,地球的半径为R。由此可知,该行星的半径约为(　　)
[A]R [B]R
[C]2R [D]R
【答案】 C
【解析】 设物体做平抛运动的高度为h,初速度为v0,运动时间为t,水平位移为x,在该行星和地球上的重力加速度分别为g′和g。由平抛运动规律知,竖直方向h=gt2,水平方向x=v0t,由天体表面附近物体受到的万有引力近似等于物体受到的重力得G=mg。由以上三式得R=。设该行星的半径为R′,则==×=2,即R′=2R,选项C正确。
[例5] (万有引力定律的综合应用)天问一号火星探测器在火星表面着陆前的最后两个运动阶段分别为动力减速阶段和着陆缓冲阶段。在动力减速阶段,探测器发动机打开,经40 s速度由87 m/s减至7 m/s。将探测器在动力减速阶段的运动看成竖直方向的匀变速直线运动,已知探测器的质量约为5 t,火星半径约为地球半径的二分之一,为方便计算,火星质量约为地球质量的十分之一,地球表面的重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)火星表面的重力加速度g火的大小;
(2)动力减速阶段发动机提供的力的大小。
【答案】 (1)4 m/s2　(2)3×104 N
【解析】 (1)在地球表面,重力近似等于万有引力mg=,
在火星表面,重力近似等于万有引力mg火=,
代入数据联立解得g火=4 m/s2。
(2)探测器在动力减速阶段,由运动学公式有v=v0-at,
根据牛顿第二定律可知F-m′g火=m′a,
联立解得F=3×104 N。
1.如图所示,三个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环和完整圆环的圆心,圆环、半圆环分别是由与图丙中相同的完整圆环截去和一半所得,环的粗细忽略不计,若图甲中环对球的万有引力大小为F,则图乙、图丙中环对球的万有引力大小分别为(　　)
[A]F,2F [B]F,0
[C]F,0 [D]F,F
【答案】 B
【解析】 将题图甲中的圆环分成等长的3份,则与球相对称的两份对球的引力相互抵消,则剩下的份对球的引力大小为F;将题图乙同样分成相等的2份,则这2份分别对球的引力大小均为F,互成90°角,则合力大小为 F;题图丙中将环分成相等的4份,则这4份对球的引力的合力为零,故选B。
2.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)
[A]1- [B]1+
[C]()2 [D]()2
【答案】 A
【解析】 设地球的密度为ρ,地球的质量为m地,根据万有引力定律可知,地球表面的重力加速度g=。地球质量可表示为m地=πR3ρ。因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零,所以矿井下以(R-d)为半径的地球的质量为m地′=π(R-d)3ρ,解得m地′=()3m地,则矿井底部处的重力加速度g′=,矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为=1-,A正确,B、C、D错误。
3.假设地球可视为质量分布均匀的球体,已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0,在赤道处的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G,则地球的密度为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 在地球的两极处,有G=mg0,在赤道处,有G-mg=m()2R,又因为地球质量与地球半径的关系为M=πR3ρ,联立三式可得ρ=,故B正确。
4.火星半径约为地球半径的一半,火星质量约为地球质量的。一名航天员连同航天服在地球上的质量为60 kg。地球表面的重力加速度g取10 m/s2。
(1)在火星上该航天员所受的重力为多少 (结果保留一位小数)
(2)该航天员在地球上可跳1.5 m高,他以相同初速度在火星上可跳多高
【答案】 (1)266.7 N　(2)3.375 m
【解析】 (1)由mg=G,
得g=,
在地球上有g=,
在火星上有g′=,
所以g′= m/s2,
那么该航天员在火星上所受的重力mg′=60× N≈266.7 N。
(2)在地球上,该航天员跳起的高度为h=,
在火星上,该航天员跳起的高度为h′=,
联立以上两式得h′=3.375 m。
课时作业
(分值:50分)
考点一　填补法计算天体间的万有引力
1.(4分)如图所示,将一个半径为R、质量为M的均匀大球,沿直径挖去两个半径分别为大球半径一半的小球,把一个与挖出的小球相同的小球放在球外与大球靠在一起。若挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上,则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 由题意知,所挖出小球的半径为,质量为,若将挖出的两个小球填在原位置,均匀大球对球外小球的万有引力大小为F=,将所挖出的其中一个小球填在原位置,则填入左侧原位置的小球对球外小球的万有引力大小为F1=,填入右侧原位置的小球对球外小球的万有引力大小为F2=,大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3=F-F1-F2≈,故选项D正确。
2.(4分)(2025·四川遂宁阶段练习)如图甲所示,两个半径均为R、质量均为M的均匀球体靠在一起,与两球心相距均为2R的质点m受到两球对它的万有引力的合力为F1。现紧贴球的边缘各挖去一个半径为的小球,如图乙所示,挖去后,质点m受到的合力为F2,则(　　)
[A]F2=F1 [B]F2=F1
[C]F2=F1 [D]F2=F1
【答案】 A
【解析】 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球和剩余部分对质点的引力之和。两个完整的匀质球体对球外质点m的引力F1=2Gcos 30°=,此力可以看成是挖去小球后的剩余部分对质点的引力F2与两个半径为的小球对m质点的引力F′之和,即F1=F2+F′,根据M=ρV=ρπR3,半径为的小球质量为M′=ρV′=ρπ()3=,两个半径为的小球对m质点的引力为F′=2Gcos 30°=,挖去小球后的剩余部分对球外质点m的引力为F2=F1-F′=
=F1,故选A。
考点二　万有引力定律的两个重要推论
3.(4分)(2025·黑龙江齐齐哈尔阶段练习)人类对自然的探索远至遥远的太空,深至地球内部。若地球半径为R,把地球看作质量分布均匀的球体。某地下探测器P的质量为m,深入地面以下h处,假设h以上的地球球壳物质对探测器P的引力为零;另一太空探测器Q质量也为m,围绕地球做圆周运动,轨道距离地面高度为d,则地球对太空探测器Q和地下探测器P的引力之比为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 设地球的密度为ρ,地球的质量为M=ρ·πR3,所以地球对太空探测器Q的引力F==,根据题意有,质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,则深入地下为h处探测器P受到地球的万有引力即为半径等于(R-h)的球体在其表面产生的万有引力,此时 M′=ρ·π(R-h)3,故探测器P受到的引力F′=πρGm(R-h),所以有=,故B正确,A、C、D错误。
4.(4分)(2025·山西一模)近几年来我国在深海与太空探测方面有了重大的发展。2024年2月“蛟龙号”载人潜水器在南大西洋顺利完成23次下潜科考任务,2016年8月,我国将世界首颗量子科学实验卫星(简称“量子卫星”)发射升空。把地球看作质量分布均匀的球体且质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。若地球半径为R,“蛟龙号”下潜深度为d,量子卫星轨道距离地面高度为h,“蛟龙号”所在处与“量子卫星”所处的加速度之比为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 设地球的密度为ρ,地球的质量M=ρ·πR3,根据黄金公式得g===GρπR,由题意知,质量分布均匀的球体且质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,在深度为d的地球内部,受到地球的万有引力即为半径等于(R-d)的球体在其表面产生的万有引力,所以海底的重力加速度g′=Gρπ(R-d),所以=,根据万有引力提供向心力=ma,联立可得=,C正确。
5.(4分)(2025·湖北模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度记录,最大下潜深度超过了10 000米。若把地球看成质量分布均匀的球体,且球壳对球内任一质点的万有引力为零,忽略地球的自转,则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是(　　)
　
[A] [B]
　
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 设地球的质量为M,地球的半径为R,“海斗一号”下潜h深度后,以地心为球心、以(R-h)为半径的地球的质量为M′,则根据密度相等有=,由于球壳对球内任一质点的万有引力为零,根据万有引力定律有=mg,联立以上两式并整理可得g=(R-h),故D正确,A、B、C错误。
考点三　万有引力定律综合问题
6.(4分)火星的半径是地球半径的一半,其质量是地球质量的,一航天员在地球上最多能举起80 kg的物体,那么他在火星上最多能举起的物体质量为(　　)
[A]180 kg [B]150 kg
[C]120 kg [D]90 kg
【答案】 A
【解析】 根据G=mg,可得g=,火星的半径是地球半径的一半,其质量是地球质量的,可得火星的重力加速度g火=g,根据平衡条件F=m′g火=mg,可得m′=180 kg,故选A。
7.(4分)由于地球自转的影响,地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同,已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0,在赤道处的重力加速度大小为g,地球自转的周期为T,引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体,下列说法正确的是(　　)
[A]质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
[B]质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0
[C]地球的半径为
[D]地球的质量为
【答案】 B
【解析】 质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0,故A错误;质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小等于在地球北极受到的万有引力大小,即质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0,故B正确;设地球的质量为M,半径为R,在赤道处随地球做圆周运动物体的质量为m,物体在赤道处随地球自转做圆周运动的周期等于地球自转的周期,轨道半径等于地球半径,对在赤道上随地球自转而做圆周运动的物体,由牛顿第二定律得G-mg=mR,在地球两极处的物体受到的重力等于万有引力,则G=mg0,代入得地球半径为R=,故C错误;因为G=mg0,所以质量为M==,故D错误。
8.(4分)一火箭从地面由静止开始以5 m/s2的加速度竖直向上匀加速运动,火箭中有一质量为1.6 kg的科考仪器,在上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为9 N,则此时火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面处的重力加速度g取10 m/s2,忽略地球的自转)(　　)
[A] [B]2倍 [C]3倍 [D]4倍
【答案】 C
【解析】 在上升到距地面某一高度时,根据牛顿第二定律可得FN-mg′=ma,解得g′= m/s2=,因为G=g′,GM=gR2,可得r=4R,则此时火箭离地球表面的距离为地球半径R的3倍,故选C。
9.(4分)(2025·辽宁葫芦岛阶段练习)已知物体放在质量分布均匀的球壳内部的时候受到球壳的万有引力为零。假设沿地球的直径打一个孔,如图所示,在不考虑地球自转的情况下,从一端释放一个可看成质点的小球,小球将沿直径运动到另一端,则下列关于小球运动的速度—时间图像正确的是(　　)
　
[A] [B]
　
[C] [D]
【答案】 A
【解析】如图所示,当小球运动至A处,由题意可知,A处以外的地球部分对小球作用力为零,A处以内的地球部分对小球作用力产生加速度,满足 G=ma,又有M=ρ·πr3,联立解得a=Gρπr,小球靠近地球球心过程,r减小,a减小,做加速度减小的加速运动,到球心另一侧时,由对称性可知,小球做加速度增大的减速运动,A正确。
10. (14分)如图所示,一个质量为M且分布均匀、半径为R的球体,挖去直径为R的两个球,把挖去的其中一个球放在大球球心正右边,左、右球心间的距离为L=R。已知引力常量为G,质量均匀分布的球壳对壳内物体引力为零,球的体积V=πR3,求它们之间的万有引力大小。(结果可以用分式和根号表示)
【答案】 (-)
【解析】 根据题意,由公式ρ=可得,
球体的密度为ρ=,
挖去小球的体积为V1=π()3=,
挖去小球的质量为m=ρV1=,
将挖去的小球再填入空穴中,根据万有引力定律F=可得,
大球和小球间的万有引力大小为F1==,
根据几何关系可知,每个挖去的小球与右侧小球球心间的距离为r==,
每个挖去的小球与右侧小球间的引力大小为F2==,
设小球间圆心连线与水平方向的夹角为θ,
由几何关系可得cos θ==,
则右侧小球与挖去小球后的大球间的万有引力大小为F=F1-2F2cos θ=(-)。

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