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2　运动的合成与分解
1.通过实例的观察和分析,知道一个合运动可以看作两个分运动,知道合运动、分运动、运动的合成与分解等概念,形成物理观念。2.通过学习运动的合成与分解,初步掌握把复杂运动分解为简单运动的方法,提高科学思维能力。3.通过分析实际运动小船渡河问题中的合运动与分运动的关系,掌握用平行四边形定则求解合速度、合位移或分速度、分位移,提高解决实际问题的能力,培养科学态度与责任。
[定位·学习目标]　
探究·必备知识
知识点一　一个平面运动的实例
「探究新知」
1.实验:观察蜡块的运动
如图所示,蜡块在竖直玻璃管内向上匀速运动的同时,玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动,以黑板为背景观察到蜡块向 运动。
右上方
2.蜡块的位置
以竖直向上为y轴,水平向右为x轴,蜡块开始匀速运动的位置为原点O,建立平面直角坐标系,如图所示,设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为vy,随玻璃管向右匀速移动的速度为vx。从蜡块开始运动的时刻计时,则在时刻t,蜡块的位置P为x= ,y= 。
vxt
vyt
3.蜡块运动的轨迹
过原点的直线
4.蜡块运动的速度
由勾股定理可得速度大小v= ,v与x轴正方向间夹角的正切值为
tan θ= 。
(1)在观察蜡块运动的实验中,我们看到的蜡块沿右上方的运动为蜡块的实际运动。(　 　)
(2)若蜡块在竖直方向上匀速上升,水平方向上匀加速向右,则蜡块运动轨迹向y轴方向弯曲。(　 　)
(3)无论蜡块同时参与的两个方向的运动是匀速运动还是变速运动,其轨迹均为一条直线。(　 　)
正误辨析
×
√
×
知识点二　运动的合成与分解
「探究新知」
1.合运动与分运动
物体实际发生的运动叫作 ,看作同时参与的两个运动叫作 。
2.运动的合成与分解
(1)运动的合成:由分运动求 的过程。
(2)运动的分解:由合运动求 的过程。
(3)运算法则:运动的合成与分解遵从 运算法则。
合运动
分运动
合运动
分运动
矢量
(1)合运动与分运动是同时进行的,时间相等。(　 　)
(2)合运动的速度一定大于分运动的速度。(　 　)
(3)合速度就是两个分速度的代数和。(　 　)
(4)在竖直方向和水平方向的两个匀加速直线运动的合运动一定是匀加速曲线运动。(　 　)
正误辨析
√
×
×
×
突破·关键能力
要点一　一个平面运动的实例
「情境探究」
如图所示,在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水,水中放一个红蜡做的小圆柱体,将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧(如图甲所示)。把玻璃管倒置(如图乙所示),蜡块沿玻璃管匀速上升,经时间t运动到玻璃管顶部。
探究:(1)如果玻璃管沿水平方向做匀速运动,蜡块实际的运动会怎么样
【答案】 (1)蜡块参与了两个运动,分别是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动。蜡块实际上做匀速直线运动。
(2)改变玻璃管在水平方向运动的速度,蜡块从底部到顶端的运动时间会变化吗 玻璃管水平方向的运动会不会影响蜡块在竖直方向的运动
【答案】 (2)改变玻璃管水平方向的运动速度,蜡块在竖直方向的运动时间不变化,水平方向玻璃管的运动不影响蜡块在竖直方向的运动。
(3)如果玻璃管沿水平方向做加速运动,蜡块的运动又会怎么样
【答案】 (3)玻璃管沿水平方向做加速运动,蜡块也被迫在水平方向做加速运动,这样,蜡块运动到玻璃管顶部的过程不再是直线运动而是曲线运动。
(4)怎么求蜡块经过一段时间后的位移和速度
【答案】 (4)可以建立平面直角坐标系,分别求蜡块经过一段时间后在两个方向的位移和速度,再求合位移、合速度即可。
「要点归纳」
研究蜡块的运动
(1)建立坐标系。
在研究蜡块的运动时,我们以蜡块开始运动的位置为原点O,以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向,建立平面直角坐标系。
(2)定量分析。
①蜡块运动的轨迹。
根据蜡块沿x轴方向和y轴方向的运动性质,分别求出某一时刻t的位移,然后求出y与x的函数关系,判断蜡块的运动轨迹。
②求蜡块的运动量。
依据蜡块沿x轴方向和y轴方向的运动性质,分别求出某一时刻蜡块的位移或速度,然后由矢量运算法则求t时间内的位移和t时刻的速度。
[例1] (对红蜡块运动的研究)(2025·北京东城阶段检测)如图所示,将一蜡块置于注满清水的长玻璃管中,封闭管口后将玻璃管竖直倒置,在蜡块以速度v0匀速上浮的同时,使玻璃管以速度v水平向右匀速移动,蜡块由管口上升到顶端。如果玻璃管以2v的水平速度移动,当蜡块由管口上升到顶端时,下列说法正确的是(　　)
[A]蜡块速度变大 [B]蜡块速度不变
[C]蜡块位移减小 [D]蜡块位移不变
A
「典例研习」
[例2] (对物体运动轨迹的研究)(2025·安徽蚌埠期中)如图所示,在一端封闭的长玻璃管内注满水,水中放一个红色柱状小物块(可视为质点),小物块处于管口,现用橡胶塞把玻璃管的开口封闭,竖直倒置的同时玻璃管以v0=1 m/s 的速度沿水平方向向右匀速运动,同时小物块沿管以某一加速度a匀加速运动。若以初始时刻小物块所在位置为坐标原点,建立以沿玻璃管运动方向为x轴、沿玻璃管方向为y轴的平面直角坐标系,通过实验得到小物块的轨迹满足 y=0.5x2,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。
(1)求小物块沿玻璃管运动的加速度a的大小;
【答案】 (1)1 m/s2
(2)小物块运动多长时间其速度方向与x轴正方向的夹角为53°
要点二　运动的合成与分解　
「情境探究」
如图所示,起重机将货物沿竖直方向向上由静止开始以加速度a匀加速吊起的同时,又沿横梁以水平速度v0匀速向右运动。
探究:(1)怎样确定时间t内货物的位移和t时刻的速度
(2)货物的运动轨迹是直线还是曲线
(3)增大货物的水平速度,货物竖直方向的运动会不会受到影响 体现了分运动之间的什么特性
【答案】(3)增大货物的水平速度,竖直方向上货物仍然做由静止开始的加速度为a的匀加速直线运动,竖直方向运动不会受到影响,体现了分运动之间的独立性。
1.合运动与分运动的关系
「要点归纳」
独立性 各分运动之间互不相干,彼此独立,互不影响
等时性 各分运动与合运动同时发生和结束,时间相同
等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动
2.运动的合成与分解
(1)合运动与分运动中位移、速度、加速度由于都是矢量,其合成与分解都遵循平行四边形定则,如图所示。
(2)对速度v进行分解时,一般按运动的实际效果进行分解。例如“情境探究”中货物沿右上方的运动的实际效果是使货物升高和水平向右发生了移动,即该运动可以看作水平和竖直方向上的两个分运动。
3.不在一条直线上的两个直线运动合运动的性质
分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动, 一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的 匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的 匀变速直线运动 如果v合与a合共线,
为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线,
为匀变速曲线运动
[例3] (合运动与分运动的关系)(多选)(2025·云南玉溪阶段练习)雨滴由静止开始下落,遇到水平方向吹来的风,假设空气对雨滴的阻力保持不变,则下列说法正确的是(　 　)
[A]风速越大,雨滴下落时间越长
[B]风速越大,雨滴着地时速度越大
[C]雨滴下落时间与风速无关
[D]雨滴着地速度与风速无关
BC
「典例研习」
【解析】 将雨滴的运动看作沿水平方向和竖直方向的两个分运动,两个分运动相互独立。雨滴下落时间与竖直高度有关,与水平方向的风速无关,故A错误,C正确;风速越大,落地时,雨滴水平方向分速度越大,合速度也越大,故B正确,D错误。
[例4] (合运动性质的判断)(多选)(2025·湖南怀化阶段检测)在研究曲线运动时,小明同学手拿铅笔在桌面的白纸上朝一个方向画线,同时另一名同学水平向右加速抽动白纸,如图所示。白纸上的痕迹图样可能是(　 　)
BC
[A] [B] [C] [D]
【解析】 如果小明同学在桌面的白纸上按题图方向匀速画线,则笔尖除相对于白纸的匀速运动外还同时参与水平向左的匀加速运动,其轨迹向左弯曲,故B正确,A错误;同理,如果小明同学在桌面的白纸上按题图方向匀加速画线,两加速度的矢量和与合速度处于同一直线上,则轨迹为直线,故C正
确,D错误。
检测·学习效果
1.(2025·江苏常州检测)在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水,水中放一个红蜡做的小圆柱A,将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧(如图甲所示)。把玻璃管倒置(如图乙所示),蜡块A沿玻璃管匀速上升,经时间t运动到玻璃管顶部。若在玻璃管倒置的同时将玻璃管水平向右移动(如图丙所示),下列说法正确的是(　　)
[A]玻璃管匀速移动时,蜡块做直线运动,运动到顶部的时间大于t
[B]玻璃管匀速移动时,蜡块做曲线运动,运动到顶部的时间等于t
[C]玻璃管加速移动时,蜡块做直线运动,运动到顶部的时间大于t
[D]玻璃管加速移动时,蜡块做曲线运动,运动到顶部的时间等于t
D
【解析】 玻璃管匀速移动时,蜡块在水平方向和竖直方向都做匀速运动,则合运动为直线运动,由于两个分运动互不影响,蜡块运动到顶部的时间仍等于t;玻璃管加速移动时,蜡块在水平方向做加速运动,竖直方向做匀速运动,合运动为曲线运动,虽然蜡块做曲线运动,但运动到顶部的时间仍等于t,选项A、B、C错误,D正确。
2.(多选)(2025·湖南永州期中)关于运动合成的说法正确的是(　 　)
[A]两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动
[B]两个匀速直线运动的合运动一定不是直线运动
[C]一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动
[D]两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等
AD
【解析】 两个匀速直线运动合成时,其合速度一定不变,则合运动一定是匀速直线运动,故A正确,B错误;一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动合成时,由于合加速度为一恒定值且不为0,当加速度方向与合运动的初速度方向在同一直线上时,合运动为匀变速直线运动,故C错误;合运动与分运动具有等效性、独立性与等时性,则两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等,故D正确。
3.(2025·山东菏泽期中)如图所示,在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水,水中放一个蜡块,蜡块在匀速上浮的同时,玻璃管沿水平方向做匀加速直线运动。以初始位置为坐标原点,蜡块的运动轨迹可能为(　　)
[A]直线Oa [B]曲线Ob
[C]曲线Oc [D]曲线Od
B
【解析】 蜡块在竖直方向做匀速运动,水平方向做匀加速直线运动,可知其轨迹图像为向右弯曲的曲线Ob,故B正确,A、C、D错误。
4.(2025·天津河西阶段检测)质量m=2 kg的物体在光滑水平面上运动,其分速度vx和vy随时间变化的图像如图所示。求:
(1)物体受到的合力和初速度;
【答案】 (1)1 N,方向沿y轴正方向　3 m/s,方向沿x轴正方向
【解析】 (1)物体在x轴方向,有ax=0,v0x=3 m/s;
y轴方向,有ay=0.5 m/s2,v0y=0,
根据牛顿第二定律,物体受到的合力F合=may=1 N,
方向沿y轴正方向;
而物体的初速度v0=v0x=3 m/s,
方向沿x轴正方向。
(2)t=8 s时物体的速度大小;
【答案】 (2)5 m/s
(3)t=4 s时物体的位移大小;
(4)物体的运动轨迹方程。
感谢观看2　运动的合成与分解
[定位·学习目标]　1.通过实例的观察和分析,知道一个合运动可以看作两个分运动,知道合运动、分运动、运动的合成与分解等概念,形成物理观念。2.通过学习运动的合成与分解,初步掌握把复杂运动分解为简单运动的方法,提高科学思维能力。3.通过分析实际运动小船渡河问题中的合运动与分运动的关系,掌握用平行四边形定则求解合速度、合位移或分速度、分位移,提高解决实际问题的能力,培养科学态度与责任。
知识点一　一个平面运动的实例
探究新知
1.实验:观察蜡块的运动
如图所示,蜡块在竖直玻璃管内向上匀速运动的同时,玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动,以黑板为背景观察到蜡块向右上方运动。
2.蜡块的位置
以竖直向上为y轴,水平向右为x轴,蜡块开始匀速运动的位置为原点O,建立平面直角坐标系,如图所示,设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为vy,随玻璃管向右匀速移动的速度为vx。从蜡块开始运动的时刻计时,则在时刻t,蜡块的位置P为x=vxt,y=vyt。
3.蜡块运动的轨迹
由t时刻蜡块的位置坐标得到y与x的关系式为 y=x,由于vx和vy都是常量,所以蜡块运动的轨迹是一条过原点的直线。
4.蜡块运动的速度
由勾股定理可得速度大小v=,v与x轴正方向间夹角的正切值为tan θ=。
正误辨析
(1)在观察蜡块运动的实验中,我们看到的蜡块沿右上方的运动为蜡块的实际运动。(　√　)
(2)若蜡块在竖直方向上匀速上升,水平方向上匀加速向右,则蜡块运动轨迹向y轴方向弯曲。(　×　)
(3)无论蜡块同时参与的两个方向的运动是匀速运动还是变速运动,其轨迹均为一条直线。(　×　)
知识点二　运动的合成与分解
探究新知
1.合运动与分运动
物体实际发生的运动叫作合运动,看作同时参与的两个运动叫作分运动。
2.运动的合成与分解
(1)运动的合成:由分运动求合运动的过程。
(2)运动的分解:由合运动求分运动的过程。
(3)运算法则:运动的合成与分解遵从矢量运算法则。
正误辨析
(1)合运动与分运动是同时进行的,时间相等。(　√　)
(2)合运动的速度一定大于分运动的速度。(　×　)
(3)合速度就是两个分速度的代数和。(　×　)
(4)在竖直方向和水平方向的两个匀加速直线运动的合运动一定是匀加速曲线运动。(　×　)
要点一　一个平面运动的实例
情境探究
　如图所示,在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水,水中放一个红蜡做的小圆柱体,将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧(如图甲所示)。把玻璃管倒置(如图乙所示),蜡块沿玻璃管匀速上升,经时间t运动到玻璃管顶部。
探究:(1)如果玻璃管沿水平方向做匀速运动,蜡块实际的运动会怎么样
(2)改变玻璃管在水平方向运动的速度,蜡块从底部到顶端的运动时间会变化吗 玻璃管水平方向的运动会不会影响蜡块在竖直方向的运动
(3)如果玻璃管沿水平方向做加速运动,蜡块的运动又会怎么样
(4)怎么求蜡块经过一段时间后的位移和速度
【答案】 (1)蜡块参与了两个运动,分别是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动。蜡块实际上做匀速直线运动。
(2)改变玻璃管水平方向的运动速度,蜡块在竖直方向的运动时间不变化,水平方向玻璃管的运动不影响蜡块在竖直方向的运动。
(3)玻璃管沿水平方向做加速运动,蜡块也被迫在水平方向做加速运动,这样,蜡块运动到玻璃管顶部的过程不再是直线运动而是曲线运动。
(4)可以建立平面直角坐标系,分别求蜡块经过一段时间后在两个方向的位移和速度,再求合位移、合速度即可。
要点归纳
研究蜡块的运动
(1)建立坐标系。
在研究蜡块的运动时,我们以蜡块开始运动的位置为原点O,以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向,建立平面直角坐标系。
(2)定量分析。
①蜡块运动的轨迹。
根据蜡块沿x轴方向和y轴方向的运动性质,分别求出某一时刻t的位移,然后求出y与x的函数关系,判断蜡块的运动轨迹。
②求蜡块的运动量。
依据蜡块沿x轴方向和y轴方向的运动性质,分别求出某一时刻蜡块的位移或速度,然后由矢量运算法则求t时间内的位移和t时刻的速度。
典例研习
[例1] (对红蜡块运动的研究)(2025·北京东城阶段检测)如图所示,将一蜡块置于注满清水的长玻璃管中,封闭管口后将玻璃管竖直倒置,在蜡块以速度v0匀速上浮的同时,使玻璃管以速度v水平向右匀速移动,蜡块由管口上升到顶端。如果玻璃管以2v的水平速度移动,当蜡块由管口上升到顶端时,下列说法正确的是(　　)
[A]蜡块速度变大 [B]蜡块速度不变
[C]蜡块位移减小 [D]蜡块位移不变
【答案】 A
【解析】 玻璃管以速度v水平向右运动时,蜡块在竖直方向做速度为v0的匀速运动,在水平方向随玻璃管以速度v做匀速运动,则合速度为v合=;当玻璃管的水平速度变为2v时,蜡块的竖直速度不变,则合速度变为v合'=,即蜡块的速度增大,选项A正确,B错误。因竖直速度不变,则蜡块运动的时间不变,水平速度增大时,水平位移变大,根据l=,可知蜡块的位移变大,选项C、D错误。
[例2] (对物体运动轨迹的研究)(2025·安徽蚌埠期中)如图所示,在一端封闭的长玻璃管内注满水,水中放一个红色柱状小物块(可视为质点),小物块处于管口,现用橡胶塞把玻璃管的开口封闭,竖直倒置的同时玻璃管以v0=1 m/s 的速度沿水平方向向右匀速运动,同时小物块沿管以某一加速度a匀加速运动。若以初始时刻小物块所在位置为坐标原点,建立以沿玻璃管运动方向为x轴、沿玻璃管方向为y轴的平面直角坐标系,通过实验得到小物块的轨迹满足 y=0.5x2,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。
(1)求小物块沿玻璃管运动的加速度a的大小;
(2)小物块运动多长时间其速度方向与x轴正方向的夹角为53°
【答案】 (1)1 m/s2　(2) s
【解析】 (1)以小物块为研究对象,
x轴方向有x=v0t,
y轴方向有y=at2,
解得y=x2;
由于小物块运动的轨迹方程为y=0.5x2,
则有=0.5,
而v0=1 m/s,解得a=1 m/s2。
(2)根据题意得tan 53°=,
vy=at,
代入数据解得t= s。
要点二　运动的合成与分解　　　　　　 　　　　　 　　　　　
情境探究　
如图所示,起重机将货物沿竖直方向向上由静止开始以加速度a匀加速吊起的同时,又沿横梁以水平速度v0匀速向右运动。
探究:(1)怎样确定时间t内货物的位移和t时刻的速度
(2)货物的运动轨迹是直线还是曲线
(3)增大货物的水平速度,货物竖直方向的运动会不会受到影响 体现了分运动之间的什么特性
【答案】 (1)以货物运动的起点为坐标原点,以水平向右的方向为x轴正方向,以竖直向上的方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系。t时间内货物的水平位移x=v0t,竖直位移y=at2,货物的合位移 l==;t时刻货物的水平速度vx=v0,竖直速度vy=at,则速度v=。
(2)由x=v0t与y=at2消去t得货物的运动轨迹表达式y=,可知货物的运动轨迹是一条曲线。
(3)增大货物的水平速度,竖直方向上货物仍然做由静止开始的加速度为a的匀加速直线运动,竖直方向运动不会受到影响,体现了分运动之间的独立性。
要点归纳
1.合运动与分运动的关系
独立性 各分运动之间互不相干,彼此独立,互不影响
等时性 各分运动与合运动同时发生和结束,时间相同
等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动
2.运动的合成与分解
(1)合运动与分运动中位移、速度、加速度由于都是矢量,其合成与分解都遵循平行四边形定则,如图所示。
(2)对速度v进行分解时,一般按运动的实际效果进行分解。例如“情境探究”中货物沿右上方的运动的实际效果是使货物升高和水平向右发生了移动,即该运动可以看作水平和竖直方向上的两个分运动。
3.不在一条直线上的两个直线运动合运动的性质
分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动, 一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的 匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的 匀变速直线运动 如果v合与a合共线, 为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线, 为匀变速曲线运动
典例研习
[例3] (合运动与分运动的关系)(多选)(2025·云南玉溪阶段练习)雨滴由静止开始下落,遇到水平方向吹来的风,假设空气对雨滴的阻力保持不变,则下列说法正确的是(　　)
[A]风速越大,雨滴下落时间越长
[B]风速越大,雨滴着地时速度越大
[C]雨滴下落时间与风速无关
[D]雨滴着地速度与风速无关
【答案】 BC
【解析】 将雨滴的运动看作沿水平方向和竖直方向的两个分运动,两个分运动相互独立。雨滴下落时间与竖直高度有关,与水平方向的风速无关,故A错误,C正确;风速越大,落地时,雨滴水平方向分速度越大,合速度也越大,故B正确,D错误。
[例4] (合运动性质的判断)(多选)(2025·湖南怀化阶段检测)在研究曲线运动时,小明同学手拿铅笔在桌面的白纸上朝一个方向画线,同时另一名同学水平向右加速抽动白纸,如图所示。白纸上的痕迹图样可能是(　　)
　　　　
[A] [B]
　　　　
[C] [D]
【答案】 BC
【解析】 如果小明同学在桌面的白纸上按题图方向匀速画线,则笔尖除相对于白纸的匀速运动外还同时参与水平向左的匀加速运动,其轨迹向左弯曲,故B正确,A错误;同理,如果小明同学在桌面的白纸上按题图方向匀加速画线,两加速度的矢量和与合速度处于同一直线上,则轨迹为直线,故C正确,D错误。
1.(2025·江苏常州检测)在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水,水中放一个红蜡做的小圆柱A,将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧(如图甲所示)。把玻璃管倒置(如图乙所示),蜡块A沿玻璃管匀速上升,经时间t运动到玻璃管顶部。若在玻璃管倒置的同时将玻璃管水平向右移动(如图丙所示),下列说法正确的是(　　)
[A]玻璃管匀速移动时,蜡块做直线运动,运动到顶部的时间大于t
[B]玻璃管匀速移动时,蜡块做曲线运动,运动到顶部的时间等于t
[C]玻璃管加速移动时,蜡块做直线运动,运动到顶部的时间大于t
[D]玻璃管加速移动时,蜡块做曲线运动,运动到顶部的时间等于t
【答案】 D
【解析】 玻璃管匀速移动时,蜡块在水平方向和竖直方向都做匀速运动,则合运动为直线运动,由于两个分运动互不影响,蜡块运动到顶部的时间仍等于t;玻璃管加速移动时,蜡块在水平方向做加速运动,竖直方向做匀速运动,合运动为曲线运动,虽然蜡块做曲线运动,但运动到顶部的时间仍等于t,选项A、B、C错误,D正确。
2.(多选)(2025·湖南永州期中)关于运动合成的说法正确的是(　　)
[A]两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动
[B]两个匀速直线运动的合运动一定不是直线运动
[C]一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动
[D]两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等
【答案】 AD
【解析】 两个匀速直线运动合成时,其合速度一定不变,则合运动一定是匀速直线运动,故A正确,B错误;一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动合成时,由于合加速度为一恒定值且不为0,当加速度方向与合运动的初速度方向在同一直线上时,合运动为匀变速直线运动,故C错误;合运动与分运动具有等效性、独立性与等时性,则两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等,故D正确。
3.(2025·山东菏泽期中)如图所示,在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水,水中放一个蜡块,蜡块在匀速上浮的同时,玻璃管沿水平方向做匀加速直线运动。以初始位置为坐标原点,蜡块的运动轨迹可能为(　　)
[A]直线Oa [B]曲线Ob
[C]曲线Oc [D]曲线Od
【答案】 B
【解析】 蜡块在竖直方向做匀速运动,水平方向做匀加速直线运动,可知其轨迹图像为向右弯曲的曲线Ob,故B正确,A、C、D错误。
4.(2025·天津河西阶段检测)质量m=2 kg的物体在光滑水平面上运动,其分速度vx和vy随时间变化的图像如图所示。求:
(1)物体受到的合力和初速度;
(2)t=8 s时物体的速度大小;
(3)t=4 s时物体的位移大小;
(4)物体的运动轨迹方程。
【答案】 (1)1 N,方向沿y轴正方向　3 m/s,方向沿x轴正方向　(2)5 m/s　(3)4 m
(4)y=
【解析】 (1)物体在x轴方向,有ax=0,v0x=3 m/s;
y轴方向,有ay=0.5 m/s2,v0y=0,
根据牛顿第二定律,物体受到的合力F合=may=1 N,
方向沿y轴正方向;
而物体的初速度v0=v0x=3 m/s,
方向沿x轴正方向。
(2)当t=8 s时,
vx=3 m/s,
vy=4 m/s,
所以v==5 m/s。
(3)当t=4 s时,
x=v0xt=12 m,
y=ayt2=4 m,
物体的位移
l==4 m。
(4)由x=v0xt=3t,
y=ayt2=t2,
消去t得y=。
课时作业
(分值:70分)　　
考点一　一个平面运动的实例
1.(6分)(多选)(2025·辽宁阶段练习)某同学进行了如下实验:在长约0.8 m的一端封闭的玻璃管中注满清水,水中放一个适当的圆柱红蜡块,将玻璃管的开口端用胶塞塞紧并竖直倒置时,红蜡块匀加速上升。将此玻璃管快速倒置并安装在从A位置开始的由静止做匀加速直线运动的小车上,用频闪照相机(频率固定)记录蜡块的运动轨迹。根据所学知识,请你推断该同学在照片上看到的蜡块轨迹不可能的是(　　)
　　　
[A] [B] [C] [D]
【答案】 ACD
【解析】 由题意可知,红蜡块在水平和竖直方向的分运动均为由静止开始的匀加速直线运动,其合运动为匀加速直线运动,所以频闪照片上相邻两蜡块位置间的距离应逐渐增大,且在一条直线上,故B可能,A、C、D不可能。
2.(6分)(多选)(2025·山东淄博期中)如图所示,在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水,水中放一个红蜡块做成的小圆柱R(R视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合,蜡块从坐标原点O以速度v0=3 cm/s匀速上浮的同时,玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。测出某时刻蜡块的坐标为P(4 cm,6 cm),则此时(　　)
[A]蜡块的加速度大小为2 cm/s2
[B]蜡块的加速度大小为4 cm/s2
[C]蜡块的合速度大小为4 cm/s
[D]蜡块的合速度大小为5 cm/s
【答案】 AD
【解析】 设蜡块到P点的时间为t,有v0t=6 cm,at2=4 cm,解得t=2 s,a=2 cm/s2,故A正确,B错误;x轴方向上,蜡块的速度大小为 vx=at=4 cm/s,蜡块的合速度大小为v==5 cm/s,故C错误,D正确。
3.(14分)(2025·河北邢台阶段检测)如图甲所示,在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水,水中放一个蜡块,将玻璃管的开口端用胶塞塞紧,然后将这个玻璃管倒置的同时玻璃管水平向右移动。假设从某时刻开始计时,蜡块在玻璃管内每1 s上升的距离都是10 cm,玻璃管向右匀加速平移,每 1 s通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 cm、12.5 cm、17.5 cm。图乙中,y表示蜡块竖直方向的位移,x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移,t=0时蜡块位于坐标原点。
(1)在图乙中画出蜡块4 s内的轨迹;
(2)求玻璃管向右平移的加速度大小;
(3)求t=2 s时蜡块速度v的大小及方向。
【答案】 (1)图见解析　(2)5×10-2 m/s2
(3) m/s,方向与水平方向成45°角斜向上
【解析】 (1)由题意可知,蜡块在1 s、2 s、3 s、4 s的位移坐标分别为(2.5,10)、(10,20)、(22.5,30)和(40,40),在坐标系中描点并作平滑曲线,如图所示即为蜡块的轨迹。
(2)根据匀变速直线运动规律Δx=at2,
得a==5×10-2 m/s2。
(3)t=2 s时,蜡块竖直方向匀速运动的速度为vy==0.1 m/s,
水平方向的速度为vx=at=0.1 m/s,
则合速度v== m/s,
设v与水平方向夹角为θ,则tan θ==1,
得θ=45°,
即2 s末蜡块的速度v与水平方向成45°角斜向上。
考点二　运动的合成与分解
4.(4分)(2025·云南昆明阶段练习)对于两个分运动的合运动,下列说法正确的是(　　)
[A]合运动的速度一定大于两个分运动的速度
[B]合运动的速度大小等于两分运动速度大小的和
[C]由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
[D]互成角度的两个匀加速直线运动的合运动可能是匀变速直线运动
【答案】 D
【解析】 合速度是两个分速度的矢量和,可能大于、小于或等于某个分速度,故A、B错误;求合速度时,不仅要知道两个分速度的大小,还要知道两个分速度的方向,故C错误;互成角度的两个匀加速直线运动,如果合加速度与合初速度在同一直线上,则合运动就是匀变速直线运动,故D正确。
5.(4分)(2025·辽宁辽阳期中)如图所示,在浩瀚的大海上,帆板在海面上以大小为v的速度朝正东方向航行,帆船以大小为 v的速度朝正北方向航行。若以帆船为参考系,则下列说法正确的是(　　)
[A]帆板朝正南方向航行,速度大小为v
[B]帆板朝正东方向航行,速度大小为v
[C]帆板朝南偏东30°方向航行,速度大小为2v
[D]帆板朝北偏东30°方向航行,速度大小为2v
【答案】 C
【解析】 以帆船为参考系,帆板具有向东的速度v和向南的速度v,二者的合速度为v合=
=2v,设与向南方向夹角为α,满足tan α==,则α=30°,即帆板速度大小为2v,方向南偏东30°。故C正确。
6.(4分)(2025·江苏徐州期中)如图所示,在行驶的列车上,一个小朋友在水平桌板上玩玩具火车,小朋友让玩具火车相对于列车以恒定的速率沿直线从A点运动到B点,再以相同的速率从B点运动到A点,A、B连线和列车运动方向垂直,玩具火车从A点运动到B点期间列车匀速行驶,从B点运动到A点期间列车匀加速行驶。下列说法正确的是(　　)
[A]玩具火车从B到A相对地面做匀变速曲线运动
[B]玩具火车从A到B相对地面做匀变速直线运动
[C]玩具火车从A到B的时间小于从B到A的时间
[D]玩具火车从A到B的时间大于从B到A的时间
【答案】 A
【解析】 以地面为参考系,玩具火车从B到A运动时,在BA方向上做匀速运动,同时沿火车运动方向做匀加速运动,两方向垂直,可得两个分运动的合运动为匀变速曲线运动;玩具火车从A到B运动时,在AB方向上做匀速运动,此时火车匀速运动,可知两个匀速运动的合运动为匀速直线运动,故A正确,B错误。玩具火车相对于列车以恒定的速率沿直线从A点运动到B点,再以相同的速率从B点运动到A点,可知两次运动的时间相同,故C、D错误。
7.(4分)(2025·广东东莞阶段检测)各种大型的货运站中少不了悬臂式起重机。如图甲所示,某起重机的悬臂保持不动,可沿悬臂行走的天车有两个功能,一是吊着货物沿竖直方向运动,二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为100 kg的货物在水平x方向的位移—时间图像和竖直 y方向的速度—时间图像分别如图乙、丙所示,下列说法正确的是(　　)
[A]2 s末货物的速度大小为3 m/s
[B]货物做直线运动
[C]货物所受的合力大小为150 N
[D]0～2 s内,货物的合位移大小为11 m
【答案】 C
【解析】 由题图乙可知,货物沿水平方向做匀速直线运动,速度大小为vx= m/s=4 m/s,由题图丙可知,货物沿竖直方向做匀加速直线运动,加速度大小为a= m/s2=1.5 m/s2,方向竖直向上,货物加速度、速度方向不在一条直线上而做匀变速曲线运动,所受的合力大小为F合=ma=
100×1.5 N=150 N,故B错误,C正确;2 s末货物的速度大小为v2== m/s=
5 m/s,故A错误;0～2 s内,货物的水平分位移大小为 8 m,竖直分位移大小为y=×2×3 m=3 m,则货物的合位移大小为l= m= m,故D错误。
8.(4分)(2025·河南安阳阶段检测)两个相同的正方形铁丝框按图所示放置,它们沿对角线方向分别以速度v和2v向两边运动,则两线框的交点M的运动速度大小为(　　)
[A]v [B]v [C]v [D]v
【答案】 B
【解析】 若右框不动,左框以速度v向左运动,则交点M沿框边向左下方滑行的速度为v1=
vcos 45°=v;若左框不动,右框以速度2v向右运动,则交点M沿框边向右下方滑行的速度为v2=2vcos 45°=v;当左右两框同时运动时,相当于交点同时参加上述两种运动,如图所示,因此其速度为vM===v,故B正确。
9.(6分)(多选)(2025·河南郑州期中)如图所示,AB是与水平方向成30°角的斜面,一个小铜块用细线悬挂于O点,用圆珠笔尖靠着线的左侧,沿斜面向右上方以速率v= m/s 匀速运动,运动中始终保持悬线竖直,下列说法正确的是(　　)
[A]铜块的速度大小为2 m/s
[B]铜块的速度大小为 m/s
[C]铜块的速度与水平方向成60°角
[D]悬线的拉力大小等于铜块所受的重力
【答案】 BCD
【解析】 铜块参与了平行于斜面方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动,两个分速度大小相等,都为v,根据平行四边形定则知,v合=2vcos 30°=v= m/s,合速度的方向与水平方向的夹角为60°,故B、C正确,A错误;由于铜块做匀速直线运动,则悬线的拉力大小等于铜块受到的重力,故D正确。
10.(4分)(2025·辽宁铁岭检测)物体在直角坐标系xOy所在平面内由O点开始运动,其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图像如图甲、乙所示,则对该物体运动过程的描述正确的是(　　)
[A]物体在0～3 s做匀变速直线运动
[B]物体在0～3 s做匀变速曲线运动
[C]物体在3～4 s做变加速直线运动
[D]物体在3～4 s做匀变速曲线运动
【答案】 B
【解析】 由题图可知,在0～3 s内,物体在x方向做匀速直线运动,速度为vx=4 m/s,在y方向做初速度为零的匀加速直线运动,其加速度ay'=1 m/s2,合初速度v0=vx=4 m/s,合加速度a'=ay'=
1 m/s2,物体的合初速度与合加速度不在同一直线上,所以物体的合运动为匀变速曲线运动,故A错误,B正确;在3～4 s内,物体在x方向做匀减速直线运动,初速度vx=4 m/s,加速度ax=
-4 m/s2,在y方向也做匀减速直线运动,初速度vy=3 m/s,加速度ay=-3 m/s2,合初速度大小v=
=5 m/s,设合速度的方向与x轴夹角为θ,则有tan θ==,合加速度大小a=
=5 m/s2,设合加速度的方向与x轴夹角为β,则有tan β==,即v、a在同一直线上,但方向相反,所以物体的合运动为匀减速直线运动,C、D错误。
11.(14分)(2025·内蒙古鄂尔多斯阶段练习)如图所示,在水平面内的直角坐标系中,质量 m=
2.0 kg 的物体沿y轴方向运动的同时,还在某智能系统控制下的水平外力作用下沿x轴方向运动,物体运动过程中的坐标与时间的关系为 x=0.2t2 m,y=3.0t m,物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.05,g取 10 m/s2,根据以上条件,求:
(1)t=10 s时刻物体的位置坐标;
(2)t=10 s时刻物体的速度和加速度的大小;
(3)t=10 s时刻水平外力的大小。(结果可用根式表示)
【答案】 (1)(20 m,30 m)
(2)5.0 m/s　0.4 m/s2　(3) N
【解析】 (1)物体运动过程中的坐标与时间的关系为x=0.2t2 m,y=3.0t m,
将t=10 s代入得x=20 m,y=30 m,
故t=10 s时刻物体的位置坐标为(20 m,30 m)。
(2)根据y=3.0t m=vyt,
可知物体在y方向做匀速直线运动,且vy=3.0 m/s,
沿x轴正方向,根据x=v0t+at2,
对比x=0.2t2 m,
可知v0=0,且0.2t2 m=axt2,
解得ax=0.4 m/s2,
则t=10 s时刻物体在x方向的速度为vx=axt=4.0 m/s,
此时物体的速度大小为v==5.0 m/s。
(3)设t=10 s时刻物体的速度与水平方向的夹角为α,则sin α==0.6,
解得α=37°,
因为摩擦力方向总与物体相对运动的方向相反,故滑动摩擦力方向与x轴负方向成37°角,此时物体所受的滑动摩擦力大小为Ff=μmg=1 N,
根据运动和力的关系,有Fy-Ffsin 37°=0,
Fx-Ffcos 37°=max,
解得Fx=1.6 N,Fy=0.6 N,
即t=10 s时水平外力的大小
F== N。

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