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4　抛体运动的规律
[定位·学习目标]　1.能从运动的合成和分解角度认识抛体运动,具有与抛体运动相关的初步的物理观念。2.能在熟悉情境中运用抛体运动模型解决问题,进行分析推理,体会将复杂问题分解为简单问题的物理思想,提高科学思维能力。3.能用与抛体运动规律相关的证据说明结论并作出解释,从不同角度分析解决抛体运动问题,提高科学探究的能力。4.通过对抛体运动的学习,认识物理学是人们有意识探究而形成的对自然现象的描述与解释,体会物理学的技术应用对日常生活的影响,培养科学态度与责任。
知识点一　平抛运动的速度
探究新知
1.建立坐标系:以抛出点为原点,以初速度v0的方向为x轴方向,竖直向下的方向为y轴方向,建立平面直角坐标系,平抛运动的轨迹图如图所示。
2.平抛运动的速度
(1)水平速度:做平抛运动的物体,由于受到的重力是竖直向下的,在x方向的分力是0,则物体在x方向的加速度是0,故物体在x方向的速度将保持v0不变,即vx=v0。
(2)竖直速度:物体在y方向上受到重力等于mg,物体在竖直方向的加速度等于自由落体加速度,物体的初速度v0在y方向的分速度是0,所以,物体在y方向的分速度vy与时间t的关系是vy=gt。
(3)合速度:物体的速度矢量v和它的两个分矢量vx、vy的关系如图所示,则在时刻t的速度v==,其方向与v0间夹角θ满足tan θ==。
(4)结论:随着物体的下落,角θ越来越大,即物体运动的方向越来越接近竖直向下的方向。
正误辨析
(1)做平抛运动的物体初速度越大,下落得越快。(　×　)
(2)做平抛运动的物体,相等时间内速度的变化量越来越大。(　×　)
(3)若时间足够长,平抛运动物体的速度方向可变为竖直向下。(　×　)
(4)做平抛运动的物体,速度变化量的方向与初速度v0间的夹角逐渐变大。(　×　)
知识点二　平抛运动的位移与轨迹
探究新知
1.平抛运动的位移
(1)水平位移:做平抛运动的物体在x方向的分运动是匀速直线运动,所以物体的水平位移x=v0t。
(2)竖直位移:物体在y方向的分运动是从静止开始、加速度为g的匀加速运动,则在竖直方向的位移y=gt2。
(3)物体的位置:关系式x=v0t和y=gt2确定了物体在任意时刻t的位置和位移。
2.轨迹方程
物体的位置x、y间的关系方程为y=x2,根据数学知识可知,其轨迹图像是一条抛物线。
正误辨析
(1)平抛运动中速度与x轴间的夹角一定越来越小。(　×　)
(2)平抛运动是一种匀加速运动,所以每秒内位移增加量相等。(　×　)
(3)平抛运动的合位移的方向与合速度的方向一致。(　×　)
(4)平抛运动中坐标y与坐标x的二次方(x2)间的关系图像为一条抛物线。(　×　)
知识点三　一般的抛体运动
探究新知
1.斜抛运动:物体被抛出时的速度是斜向上方或斜向下方的运动。
2.受力情况:受力情况与平抛运动完全相同。
3.运动分解:如果斜抛运动的初速度v0与水平方向的夹角为θ,如图所示,则水平方向做匀速直线运动,速度v0x=v0cos θ;竖直方向做加速度为g的匀变速直线运动,初速度v0y=v0sin θ。
新知检测
　如图为铅球运动员比赛时的图片,运动员将铅球沿斜向上方抛出。
(1)铅球离开手后,如不考虑空气阻力,其受力、速度有何特点
(2)铅球在最高点的速度是零吗
【答案】 (1)不考虑空气阻力,铅球在水平方向不受力,在竖直方向只受重力,加速度为g,其初速度方向斜向上方。
(2)不是,由于铅球在水平方向做匀速运动,所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
要点一　对平抛运动的理解
情境探究
如图所示,一人正练习投掷飞镖。飞镖抛出点高度高于镖盘靶心且水平抛出,不计空气阻力。
探究:(1)飞镖投出后做什么运动,加速度的大小和方向如何
(2)飞镖的运动是一种怎样的运动
(3)飞镖的速度如何变化 飞镖射中镖盘时飞镖速度是水平的吗
【答案】 (1)飞镖做平抛运动,只受到重力作用,加速度等于重力加速度,方向竖直向下。
(2)因飞镖的加速度不变,可知飞镖的运动是匀变速曲线运动。
(3)水平速度不变,竖直速度均匀增大,合速度增大,而射中镖盘时合速度为倾斜向下,则飞镖速度不会水平。
要点归纳
　平抛运动的特点
特点 理解
理想化 特点 物理上的抛体运动是一种理想化的模型,即将物体看成质点且只受重力作用,忽略空气阻力
匀变速 特点 加速度始终等于重力加速度,速度时刻发生变化,平抛运动是匀变速曲线运动
速度变 化特点 任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同,方向竖直向下,如图所示
位移变 化特点 (1)任意相等时间间隔内,水平位移相等,即Δx=v0Δt。 (2)连续相等的时间间隔Δt内,竖直方向上的位移差不变,即Δy=g(Δt)2
典例研习
[例1] (2025·江苏淮安检测)关于平抛运动,下列说法正确的是(　　)
[A]做平抛运动的物体不受任何外力的作用
[B]平抛运动是曲线运动,不可能是匀变速运动
[C]做平抛运动的物体在竖直方向做自由落体运动
[D]物体做平抛运动的落地时间与落地速度的大小无关
【答案】 C
【解析】 做平抛运动的物体只受重力的作用,加速度为g,是匀变速曲线运动,其水平方向为匀速直线运动,竖直方向为自由落体运动,故A、B错误,C正确;物体此时竖直速度vy=gt,水平速度为v0,则落地速度v=,可知t与v有关,故D错误。
要点二　平抛运动的规律及应用　　　　　　 　　　　　 　　　　　
情境探究
某次排球训练中,运动员从同一高度将排球以不同的水平速度击出,忽略空气阻力。
探究:(1)排球在空中的运动时间相同吗
(2)排球的落地速度相同吗
(3)如果运动员在近网处沿水平方向(垂直于网)击球,要使排球不被击出界外,排球的最大初速度为多大 (假设击球高度为h,排球场地长为L)
【答案】 (1)排球从同一高度水平击出,竖直方向做自由落体运动,排球在空中的运动时间相同。
(2)由于水平速度不同,故落地速度不同。
(3)排球恰不出界,则水平方向有=v0t,竖直方向有h=gt2,联立得排球不被击出界外的最大初速度v0=。
要点归纳
1.研究方法
2.运动规律
项目 速度 位移
水平 分运动 vx=v0 x=v0t
竖直 分运动 vy=gt y=gt2
合运动 大小v=, 方向与水平方向夹角θ满足tan θ== 大小l=, 方向与水平方向夹角α满足tan α==
图示
3.运动时间和水平位移
以初速度v0做平抛运动的物体,下落高度为h时,运动时间t=,只由高度决定,与初速度无关。水平位移(射程)x=v0,由初速度和高度共同决定。
4.两个推论
(1)平抛运动中某一位置的速度、位移与水平方向夹角为θ、α,则tan θ=2tan α。
因为tan θ==,tan α==,所以tan θ=2tan α。
(2)平抛运动中任意位置的速度的反向延长线一定通过其水平位移的中点。
如图所示,P点速度的反向延长线交OB于A点,则 =v0t,==gt2·=v0t,可见 =。
典例研习
[例2] (平抛运动的研究方法)(2025·河北邯郸期末)网球运动员将球沿水平方向击出,球离开球拍后划出一条曲线向对方场地飞去,如图所示。网球可视为质点,不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
[A]网球的初速度越大,在空中运动时间越长
[B]网球初位置越高,水平位移越大
[C]网球在空中的速度变化量仅由抛出时的高度决定
[D]网球的落地速度越大,说明抛出位置越高
【答案】 C
【解析】 网球运动中在竖直方向有h=gt2,解得t=,水平方向有x=v0t=v0,可知其飞行时间与初速度无关,水平位移与高度和初速度有关,初位置越高,水平位移不一定越大,故A、B错误;网球运动中加速度g在竖直方向,则速度变化量沿竖直方向,有Δv=vy=gt=g=,即网球在空中的速度变化量仅由抛出时的高度决定,故C正确;网球落地速度v=,而vx=v0,vy=,解得 v=,可知网球的落地速度由v0、h共同决定,即落地速度大抛出位置不一定高,故D错误。
[例3] (速度偏向角与位移偏向角的关系)(2025·山西大同阶段练习)如图所示,小明将一发光小球高举在水面上方的A位置,A位置离水面的高度为d。小明将小球向左水平抛出,入水点在B位置,A位置和B位置的水平距离为d,设整个过程中小球位移与水平方向夹角为α,入水前瞬间速度方向与水面夹角为θ,不计空气阻力。求:
(1)tan α的值;
(2)tan θ的值。
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)小球在整个过程中,水平位移x=d,
竖直方向的位移y=d,
则tan α==。
(2)根据平抛运动规律,小球在竖直方向上有
d=gt2,
vy=gt,
水平方向有d=vxt,
联立解得vy=,
vx=,
故tan θ==。
解答平抛运动问题的一般思路
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动,是求解平抛运动的基本方法。
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等,再合成得到平抛运动的速度、位移等。
(3)若在斜面上物体做平抛运动,初速度大小不同时落点不同,但其速度偏向角的正切值均等于斜面倾角正切值的2倍,可应用tan θ=(α是物体位移与水平方向的夹角)列式分析求解。
要点三　一般的抛体运动
情境探究
如图所示,喷水管斜向上以大小相等的速度喷水,出水口与接水盘在同一水平面上,不考虑空气阻力。
探究:(1)喷出的水做什么运动 在最高点时,速度沿什么方向
(2)沿不同方向喷出的水射程和射高是否相同
【答案】 (1)斜抛运动。在最高点时,速度沿水平方向。
(2)射程可能相同,射高不同。
要点归纳
1.斜抛运动的特点
(1)受力特点:物体仅受重力作用,其加速度为重力加速度g。
(2)运动特点:物体具有与水平方向存在夹角的初速度,是匀变速曲线运动,其轨迹为抛物线。
(3)速度变化特点:在相等的时间内速度的变化量大小相等,方向均竖直向下,大小为Δv=gΔt。
2.处理方式
将斜抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。如图所示,沿v0y方向的运动又称竖直上抛运动(以该类运动为例)。
(1)速度与时间的关系。
vx=v0x=v0cos θ,vy=v0y-gt=v0sin θ-gt。
(2)位移与时间的关系。
x=v0cos θ·t,y=v0sin θ·t-gt2。
(3)当vy=0时,v=v0x=v0cos θ,物体到达最高点,hmax==。
3.斜上抛运动的对称性
(1)时间对称:相对于轨迹最高点,两侧对称位置的上升时间等于下降时间。
(2)速度对称:相对于轨迹最高点,两侧对称位置的两点速度大小相等。
(3)轨迹对称:相对于过最高点的竖直线两侧轨迹对称。
典例研习
[例4] (斜抛运动的规律)(2025·河南洛阳期末)如图是小球做斜抛运动的轨迹,C点是轨迹的最高点,A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述正确的是(不计空气阻力)(　　)
[A]该运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的匀速直线运动
[B]小球在A点的速度与小球在B点的速度相同
[C]整个运动过程中小球处于失重状态
[D]小球从A到C的时间小于从C到B的时间
【答案】 C
【解析】 该运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动,故A错误;根据对称性可知,小球在A点的速度与小球在B点的速度大小相等,但方向不同,故B错误;整个运动过程中,小球的加速度为重力加速度,处于失重状态,故C正确;根据对称性可知,小球从A到C的时间等于从C到B的时间,故D错误。
[例5] (斜抛规律的应用)(2025·山东泰安期末)如图所示,某消防队进行消防演练,消防水龙头的喷嘴位置O与模拟着火点A的连线与水平面的夹角为37°。已知水离开喷嘴时的速度大小为10 m/s,水柱在空中距离O点的最大竖直高度为20 m,忽略空气阻力,重力加速度g取
10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)水离开喷嘴时的速度与水平方向夹角的正切值;
(2)模拟着火点A距离O点的竖直高度。
【答案】 (1)2　(2)18.75 m
【解析】 (1)设水离开喷嘴时的速度v0与水平方向间夹角为θ,在O点的竖直分速度为vy,
则有=2ghmax,
解得vy=20 m/s,
又+=,
解得vx=10 m/s,
则水离开喷嘴时的速度与水平方向夹角的正切值
tan θ==2。
(2)水从O运动到A过程有x=vxt,y=vyt-gt2,
且tan 37°=,
解得t=2.5 s,y=18.75 m。
(1)斜抛运动的竖直最大位移及运动时间由竖直分速度决定,水平最大位移由抛出速度和抛射角决定。
(2)斜抛运动在最高点的速度为抛出时初速度的水平分速度。
(3)由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
“逆向思维”处理斜向上抛运动
核心归纳
1.逆向思维,又称反向思维,是相对于习惯性思维的另一种思维方式。基本特点是末状态信息较多,初始状态信息较少,我们就可以从已有的思路反方向去思考,逆用定理、公式,逆向推理,反向解决问题。
2.斜向上抛运动的逆向思维
典例研习
[例题] (2025·湖南郴州期末)小郴同学是一名篮球爱好者。他从同一水平高度的A、B两处先后将篮球投出,都恰好垂直打在篮板上的P点,如图所示。不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
[A]两次抛出时的初速度v0A=v0B
[B]两次抛出时初速度与水平方向的夹角θA=θB
[C]两次篮球在空中运动的时间tA=tB
[D]两次篮球打在篮板P点的速度vA=vB
【答案】 C
【解析】 利用逆向思维,将斜抛运动看成反向的平抛运动,根据h=gt2,解得t=,可知tA=tB,故C正确;在水平方向上有x=vt,得v=,由于A位置水平分位移小一些,则有vAθB,故B错误。
1.(2025·安徽池州期末)某次空军演习,一架轰炸机在高空匀速水平飞行时投掷炸弹(每隔相同时间投掷一颗),地面上的观察人员看到空中的飞机和炸弹所处的位置情景是下面四幅图中的(　　)
　　　　
[A] [B]
　　　　
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 炸弹离开轰炸机后做平抛运动,在水平方向上做匀速直线运动,与轰炸机的运动情况相同,可知这些炸弹落地前均在同一条竖直线上,故B正确。
2.(2025·内蒙古呼伦贝尔检测)投壶是中国传统的宴饮游戏,如图。若甲、乙两人在同一高度沿水平方向各投出一支箭,箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°;不计空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则甲、乙两人投出的箭入壶时的速度之比为(　　)
[A]4∶3 [B]3∶4
[C]5∶3 [D]3∶5
【答案】 B
【解析】 甲、乙两人在同一高度沿水平方向各投出一支箭,根据竖直方向的分运动为自由落体运动,有=2gh,可知两支箭入壶时在竖直方向的分速度大小相等,根据速度的分解知识有v甲=,v乙=,解得v甲∶v乙=3∶4,故B正确。
3.(多选)如图,某同学在家中对着竖直墙壁打乒乓球,将球从A点斜向上击出,球垂直撞在墙上的O点后,反向弹回正好落在A点正下方的B点。忽略球的旋转及空气阻力,则下列说法正确的是(　　)
[A]球在上升阶段和下降阶段的加速度相同
[B]球从A点到O点的运动时间等于从O点到B点的运动时间
[C]球刚离开A点时的水平速度大小大于刚到达B点时的水平速度大小
[D]球刚离开A点时的速度大小一定大于刚到达B点时的速度大小
【答案】 AC
【解析】 忽略空气阻力,球在上升阶段和下降阶段只受重力,所以加速度均为g,选项A正确;球从A点到O点的过程可以看成由O点到A点的平抛运动,根据h=gt2,可得t=,由于hOAvxB,根据v=无法确定vA与vB的大小关系,选项D错误。
4.将一可视为质点的小球从离地面20 m高处以20 m/s的速度水平抛出,g取10 m/s2。求:
(1)小球落地时的速度大小及速度偏向角;
(2)小球从抛出到落地时运动的位移大小。
【答案】 (1)20 m/s　45°　(2)20 m
【解析】 (1)设小球落地时速度方向与水平方向的夹角为θ,在竖直方向有=2gh,
而落地速度为v=,则tan θ=,
代入数值解得v=20 m/s,θ=45°。
(2)根据平抛运动的规律,在水平方向有x=v0t,
竖直方向有h=gt2,运动位移为l=,
代入数值解得l=20 m。
课时作业
(分值:70分)　　　　　　 　　　　　 　　　　　
考点一　对平抛运动的理解
1.(4分)(2025·四川内江阶段练习)以初速度v0水平抛出一个物体,经过时间t速度的大小为vt,则再经过时间t,速度大小是(　　)
[A] [B]
[C]v0+2gt [D]vt+gt
【答案】 B
【解析】 物体做平抛运动,根据运动的合成,经过时间t,有vt=,得=-g2t2,再经过时间t,其速度大小v===,故B正确。
2.(6分)(多选)平抛运动的规律可以用如图所示的实验现象描述。小球从坐标原点O水平抛出,做平抛运动。两束光分别沿着与坐标轴平行的方向照射小球,在两个坐标轴上观察到小球的两个影子的运动,则两个影子的位移x、y及对应的速度vx、vy描述了物体在x、y方向上的运动,若小球自O点抛出开始计时,下列图像中正确的是(　　)
　　　
[A] [B]
　　　
[C] [D]
【答案】 AD
【解析】 平抛运动在水平方向做匀速直线运动,所以影子1做匀速直线运动,xt图像为一条过原点的倾斜直线,vxt图像为一条与横轴平行的直线,故A正确,B错误;平抛运动在竖直方向做自由落体运动,所以影子2做自由落体运动,根据y=gt2,可知yt图像为开口向上的抛物线,vyt图像为一条过原点的倾斜直线,故C错误,D正确。
考点二　平抛运动的规律及应用
3.(4分)(2025·湖南株洲检测)“套圈圈”是小孩喜爱的一种游戏,游戏规则是:游戏者站在界线外从手中水平抛出一个圆形圈,落下后套中前方的物体,所套即所得。如图所示,小孩保持直立并抛出圆圈套取了前方一物体,若小孩还想套取后方的另一物体,忽略圆形圈运动过程中受到的空气阻力,则以下方法一定不可行的是(　　)
[A]小孩退后一步保持圆圈原高度并以较小的速度抛出
[B]小孩站在同样的位置并踮起脚尖,以较大的速度抛出圆圈
[C]小孩站在同样的位置并踮起脚尖,以较小的速度抛出圆圈
[D]小孩站在同样的位置保持圆圈原高度并以较大的速度抛出
【答案】 A
【解析】 圆圈做平抛运动,竖直方向有h=gt2,水平位移x=vt,联立解得x=v。若小孩退后一步保持原高度以更小的速度抛出圆圈,水平位移变小,圆圈将落在前一物体前方,即选项A不可行;若小孩踮起脚尖抛出圆圈,圆圈在空中飞行时间变长,以较大、相同或更小的速度抛出都有可能落在前一物体后方,即选项B、C可行;若小孩在同一位置保持圆圈原高度并以较大水平速度抛出,圆圈将落在前一物体后方,即选项D可行。
4.(4分)某同学在做平抛运动实验中得到了如图所示的物体运动轨迹,a、b、c三点在直角坐标系xOy中的位置坐标已标出,其中a在坐标原点。已知重力加速度g取10 m/s2,则由图中数据推算出抛出点的位置坐标为(　　)
[A](-20,-5) [B](0,0)
[C](-10,-10) [D](-40,-10)
【答案】 A
【解析】 由题图可知,a、b、c三点中相邻两点的水平距离相等,则时间间隔相等,设其时间间隔为T,沿y轴方向有ybc-yab=gT2,解得T= 0.2 s,则小球运动到b点时的竖直分速度大小为vby== m/s=3 m/s,小球从抛出点运动到b点所用的时间为t== s=0.3 s,而小球的初速度大小为v0== m/s=2 m/s,可知抛出点的横坐标为x=xb-v0t=-20 cm,纵坐标为y=yb-gt2=-5 cm,则抛出点的位置坐标为(-20,-5),选项A正确。
5.(6分)(多选)(2025·陕西西安期末)飞镖比赛中,某选手先后将三支飞镖a、b、c由同一位置水平投出,三支飞镖插在竖直靶上的状态如图所示。不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
[A]飞镖a在空中运动的时间最短
[B]飞镖c投出的初速度最大
[C]三支飞镖镖身所在直线交于同一点
[D]飞镖b插在靶上的位置一定在飞镖a、c插在靶上的位置的正中间
【答案】 BC
【解析】 根据h=gt2,得t=,由于飞镖c竖直方向下落高度最小,故在空中运动的时间最短,选项A错误;根据x=v0t,得v0=,可知飞镖c投出的初速度最大,选项B正确;设飞镖镖身与竖直靶夹角为θ,则有tan θ==,即三支镖身所在直线交于同一点处,选项C正确;飞镖b插在靶上的位置不一定在飞镖a、c插在靶上位置的正中间,选项D错误。
考点三　一般的抛体运动
6.(4分)(2025·安徽铜陵阶段检测)李明在一高台上的M点抛出两颗石子1和2,1做平抛运动,2做斜上抛运动,其在同一竖直平面内运动的轨迹如图所示,N为轨迹的交点。不计空气阻力,从M到N,两石子(　　)
[A]加速度相同 [B]路程相同
[C]运动时间相同 [D]平均速度相同
【答案】 A
【解析】 两石子在空中运动过程中均只受重力作用,则加速度均为重力加速度,故A正确;从M到N,两石子的轨迹长度不同,所以两石子的路程不同,位移相同,而石子2的运动时间大于石子1的运动时间,根据平均速度的定义,可知两石子的平均速度不相同,故B、C、D错误。
7.(4分)(2025·吉林白城期末)如图所示,甲、乙两只猫从同一位置以相同速率同时跳出,速度方向与水平方向夹角均为45°,一段时间后落至水平地面。不计空气阻力,则(　　)
[A]两只猫落地时的速度方向不同
[B]两只猫在空中运动过程中相距越来越远
[C]起跳点越高,两只猫落地点间距离越大
[D]只改变两只猫起跳速度大小,两只猫可能在空中相遇
【答案】 B
【解析】 根据斜抛运动的对称性可知,甲猫运动到与起跳位置同一高度时的速度方向与乙猫的初速度方向相同,此后甲猫的运动情况与乙猫从跳出点开始的运动情况完全相同,所以两只猫落地时的速度方向相同,且两只猫落地点间距离始终等于甲猫运动到与乙猫起跳点同一高度时的水平位移,与起跳点高度无关,故A、C错误;两只猫在空中运动过程中,由于在水平方向上的分速度大小相等,所以水平距离始终为零,设两只猫的初速度大小均为v,从跳出开始经过的时间为t,则两只猫在竖直方向的距离为Δy=vsin 45°·t+gt2-(-vsin 45°·t+gt2)=vt,所以两只猫在空中运动过程中相距越来越远,即使改变v,二者在空中运动过程中的竖直距离也不可能在某一时刻变为零,即两只猫不可能在空中相遇,故B正确,D错误。
8.(12分)某人在离地面1.4 m的高度,将质量 0.4 kg 的小球以v0=10 m/s的速度斜向上抛出,小球的初速度方向与水平方向之间的夹角为37°,不计空气阻力,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。求:
(1)小球从抛出点上升的最大高度;
(2)小球在空中运动的时间;
(3)小球落地点与抛出点的水平距离。
【答案】 (1)1.8 m　(2)1.4 s　(3)11.2 m
【解析】 (1)小球做斜抛运动,小球从抛出点上升的最大高度为
hm==1.8 m。
(2)小球从抛出点上升到最大高度所用的时间为t1==0.6 s,
小球从最高点到落地的过程,有hm+h=g,
解得t2=0.8 s,
小球在空中运动的时间为t=t1+t2=1.4 s。
(3)小球落地点与抛出点的水平距离为x=v0tcos 37°=11.2 m。
9.(4分)(2025·湖南衡阳月考)如图所示,乒乓球的发球器安装在足够大的水平桌面上,可绕竖直转轴OO'转动,发球器OA部分水平且与桌面之间的距离为h,OA部分的长度也为h,重力加速度为g。打开开关后,发球器可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去,且≤v0≤2,设发射出去的所有乒乓球都能落到桌面上,乒乓球可视为质点,空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO'在90°的范围内来回缓慢地水平转动,持续发射足够长时间后,乒乓球第一次与桌面碰撞区域的面积S是(　　)
[A]2πh2 [B]3πh2 [C]4πh2 [D]8πh2
【答案】 C
【解析】 乒乓球发射后在竖直方向有h=gt2,解得运动时间为t=;在水平方向,当射出速度最小时,水平位移为xmin=v0小·t=×=2h;当射出速度最大时,水平位移为xmax=v0大·t=
2×=4h,圆半径为r=h+x,即圆环半径的范围为3h≤r≤5h,发球器在90°的范围内来回水平转动,持续发射足够长时间,则乒乓球第一次与桌面碰撞区域的面积为S=π(5h)2-π(3h)2=
4πh2,故C正确。
10.(6分)(多选)(2025·河北邢台期中)图甲为一城墙的入城通道,通道宽度L=6.6 m,一名跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动,加速到M点时斜向上跃起,经0.4 s到达右墙壁P点时,竖直方向的速度恰好为零,然后立即蹬右墙壁,使水平方向的速度反向,大小变为原来的,并获得一竖直方向的速度,之后跃到左墙壁上的Q点,Q点距地面高 h2=1.35 m,飞跃过程中人距地面的最大高度为H=2.6 m,重力加速度g取 10 m/s2,不计空气阻力,整个过程中人的姿态可认为保持不变,如图乙所示,则下列说法正确的是(　　)
[A]P点距离地面高h1=1 m
[B]人助跑的距离为3.4 m
[C]人刚离开P点时的速度大小为6 m/s
[D]人刚到Q点的速度方向与竖直方向夹角的正切值为
【答案】 BD
【解析】 人到达右墙壁P点时,竖直方向的速度恰好为零,根据逆向思维,可知从M点到P点的逆过程为平抛运动,则h1=g,而t1=0.4 s,解得h1=0.8 m;从P点到N点的过程H-h1=g,从N点到Q点的过程H-h2=g,从P点到Q点的过程水平方向有L=v1(t2+t3),代入数值解得t2=0.6 s,t3=0.5 s,v1=6 m/s,人助跑的距离为x=L-v1t1,解得x=3.4 m,故A错误,B正确。人刚离开P点时竖直方向的速度大小为vy=gt2=6 m/s,则此时的合速度大小为 v==6 m/s,故C错误。人刚到Q点时的竖直速度为vy'=gt3=5 m/s,速度方向与竖直方向夹角的正切值为tan θ==,故D正确。
11.(16分)如图为在真空环境内探测微粒在重力场中运动情况的简化装置。P是一个微粒源,能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h的探测屏AB竖直放置,离P的水平距离为L,上端A与P的高度差为h。
(1)若微粒打在探测屏AB的中点,求微粒在空中飞行的时间;
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围;
(3)若打在探测屏A、B两点的微粒的速率相等,求L与h的关系。
【答案】 (1)　(2)L ≤ v ≤ L (3)L=2h
【解析】 (1)对打在探测屏中点的微粒,在竖直方向上有h=gt2,解得t=。
(2)对打在B点的微粒,水平方向有L=v1t1,
竖直方向有2h=g,解得v1=L;
同理,打在A点的微粒初速度v2=L,
即微粒初速度范围为L ≤ v ≤ L。
(3)打在A点的微粒在竖直方向的速度为vyA=,
打在B点的微粒在竖直方向的速度为vyB=,
由于打在探测屏A、B两点的微粒的速率相等,则有=,
结合(2)中v1、v2的值,联立解得L=2h。(共60张PPT)
4　抛体运动的规律
1.能从运动的合成和分解角度认识抛体运动,具有与抛体运动相关的初步的物理观念。2.能在熟悉情境中运用抛体运动模型解决问题,进行分析推理,体会将复杂问题分解为简单问题的物理思想,提高科学思维能力。3.能用与抛体运动规律相关的证据说明结论并作出解释,从不同角度分析解决抛体运动问题,提高科学探究的能力。4.通过对抛体运动的学习,认识物理学是人们有意识探究而形成的对自然现象的描述与解释,体会物理学的技术应用对日常生活的影响,培养科学态度与责任。
[定位·学习目标]　
探究·必备知识
知识点一　平抛运动的速度
「探究新知」
1.建立坐标系:以抛出点为原点,以 的方向为x轴方向,
的方向为y轴方向,建立平面直角坐标系,平抛运动的轨迹图如图所示。
初速度v0
竖直向下
2.平抛运动的速度
(1)水平速度:做平抛运动的物体,由于受到的 是竖直向下的,在x方向的分力是0,则物体在x方向的 是0,故物体在x方向的速度将保持
不变,即vx=v0。
(2)竖直速度:物体在y方向上受到重力等于mg,物体在竖直方向的加速度等于 ,物体的 在y方向的分速度是0,所以,物体在y方向的分速度vy与时间t的关系是vy= 。
重力
加速度
v0
自由落体加速度
初速度v0
gt
(4)结论:随着物体的下落,角θ ,即物体运动的方向越来越接近 的方向。
越来越大
竖直向下
(1)做平抛运动的物体初速度越大,下落得越快。(　 　)
(2)做平抛运动的物体,相等时间内速度的变化量越来越大。(　 　)
(3)若时间足够长,平抛运动物体的速度方向可变为竖直向下。(　 　)
(4)做平抛运动的物体,速度变化量的方向与初速度v0间的夹角逐渐变大。
(　 　)
正误辨析
×
×
×
×
知识点二　平抛运动的位移与轨迹
「探究新知」
1.平抛运动的位移
(1)水平位移:做平抛运动的物体在x方向的分运动是匀速直线运动,所以物体的水平位移x= 。
(2)竖直位移:物体在y方向的分运动是从静止开始、加速度为g的匀加速运动,则在竖直方向的位移y= 。
v0t
位置
位移
2.轨迹方程
物体的位置x、y间的关系方程为y= ,根据数学知识可知,其轨迹图像是一条 。
抛物线
(1)平抛运动中速度与x轴间的夹角一定越来越小。(　 　)
(2)平抛运动是一种匀加速运动,所以每秒内位移增加量相等。(　 　)
(3)平抛运动的合位移的方向与合速度的方向一致。(　 　)
(4)平抛运动中坐标y与坐标x的二次方(x2)间的关系图像为一条抛物线。
(　 　)
正误辨析
×
×
×
×
知识点三　一般的抛体运动
「探究新知」
1.斜抛运动:物体被抛出时的速度是斜向 或斜向 的运动。
2.受力情况:受力情况与 完全相同。
3.运动分解:如果斜抛运动的初速度v0与水平方向的夹角为θ,如图所示,则水平方向做匀速直线运动,速度v0x= ;竖直方向做加速度为g的匀变速直线运动,初速度v0y= 。
上方
下方
平抛运动
v0cos θ
v0sin θ
「新知检测」
如图为铅球运动员比赛时的图片,运动员将铅球沿斜向上方抛出。
(1)铅球离开手后,如不考虑空气阻力,其受力、速度有何特点
【答案】 (1)不考虑空气阻力,铅球在水平方向不受力,在竖直方向只受重力,加速度为g,其初速度方向斜向上方。
(2)铅球在最高点的速度是零吗
【答案】 (2)不是,由于铅球在水平方向做匀速运动,所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
突破·关键能力
要点一　对平抛运动的理解
「情境探究」
如图所示,一人正练习投掷飞镖。飞镖抛出点高度高于镖盘靶心且水平抛出,不计空气阻力。
探究:(1)飞镖投出后做什么运动,加速度的大小和方向如何
【答案】 (1)飞镖做平抛运动,只受到重力作用,加速度等于重力加速度,方向竖直向下。
(2)飞镖的运动是一种怎样的运动
【答案】 (2)因飞镖的加速度不变,可知飞镖的运动是匀变速曲线运动。
(3)飞镖的速度如何变化 飞镖射中镖盘时飞镖速度是水平的吗
【答案】 (3)水平速度不变,竖直速度均匀增大,合速度增大,而射中镖盘时合速度为倾斜向下,则飞镖速度不会水平。
「要点归纳」
平抛运动的特点
特点 理解
理想化 特点 物理上的抛体运动是一种理想化的模型,即将物体看成质点且只受重力作用,忽略空气阻力
匀变速 特点 加速度始终等于重力加速度,速度时刻发生变化,平抛运动是匀变速曲线运动
速度变 化特点 任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同,方向竖直向下,如图所示
位移变 化特点 (1)任意相等时间间隔内,水平位移相等,即Δx=v0Δt。
(2)连续相等的时间间隔Δt内,竖直方向上的位移差不变,即Δy=g(Δt)2
[例1] (2025·江苏淮安检测)关于平抛运动,下列说法正确的是(　　)
[A]做平抛运动的物体不受任何外力的作用
[B]平抛运动是曲线运动,不可能是匀变速运动
[C]做平抛运动的物体在竖直方向做自由落体运动
[D]物体做平抛运动的落地时间与落地速度的大小无关
C
「典例研习」
要点二　平抛运动的规律及应用　　　
「情境探究」
某次排球训练中,运动员从同一高度将排球以不同的水平速度击出,忽略空气阻力。
探究:(1)排球在空中的运动时间相同吗
【答案】 (1)排球从同一高度水平击出,竖直方向做自由落体运动,排球在空中的运动时间相同。
(2)排球的落地速度相同吗
【答案】(2)由于水平速度不同,故落地速度不同。
(3)如果运动员在近网处沿水平方向(垂直于网)击球,要使排球不被击出界外,排球的最大初速度为多大 (假设击球高度为h,排球场地长为L)
1.研究方法
「要点归纳」
2.运动规律
图示
4.两个推论
[例2] (平抛运动的研究方法)(2025·河北邯郸期末)网球运动员将球沿水平方向击出,球离开球拍后划出一条曲线向对方场地飞去,如图所示。网球可视为质点,不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
[A]网球的初速度越大,在空中运动时间越长
[B]网球初位置越高,水平位移越大
[C]网球在空中的速度变化量仅由抛出时的高度决定
[D]网球的落地速度越大,说明抛出位置越高
C
「典例研习」
(1)tan α的值;
(2)tan θ的值。
·规律方法·
解答平抛运动问题的一般思路
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动,是求解平抛运动的基本方法。
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等,再合成得到平抛运动的速度、位移等。
·规律方法·
要点三　一般的抛体运动
「情境探究」
如图所示,喷水管斜向上以大小相等的速度喷水,出水口与接水盘在同一水平面上,不考虑空气阻力。
探究:(1)喷出的水做什么运动 在最高点时,速度沿什么方向
【答案】 (1)斜抛运动。在最高点时,速度沿水平方向。
(2)沿不同方向喷出的水射程和射高是否相同
【答案】 (2)射程可能相同,射高不同。
1.斜抛运动的特点
(1)受力特点:物体仅受重力作用,其加速度为重力加速度g。
(2)运动特点:物体具有与水平方向存在夹角的初速度,是匀变速曲线运动,其轨迹为抛物线。
(3)速度变化特点:在相等的时间内速度的变化量大小相等,方向均竖直向下,大小为Δv=gΔt。
「要点归纳」
2.处理方式
将斜抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。如图所示,沿v0y方向的运动又称竖直上抛运动(以该类运动为例)。
(1)速度与时间的关系。
vx=v0x=v0cos θ,vy=v0y-gt=v0sin θ-gt。
3.斜上抛运动的对称性
(1)时间对称:相对于轨迹最高点,两侧对称位置的上升时间等于下降时间。
(2)速度对称:相对于轨迹最高点,两侧对称位置的两点速度大小相等。
(3)轨迹对称:相对于过最高点的竖直线两侧轨迹对称。
[例4] (斜抛运动的规律)(2025·河南洛阳期末)如图是小球做斜抛运动的轨迹,
C点是轨迹的最高点,A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述正确的是(不计空气阻力)(　　)
[A]该运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的匀速直线
运动
[B]小球在A点的速度与小球在B点的速度相同
[C]整个运动过程中小球处于失重状态
[D]小球从A到C的时间小于从C到B的时间
C
「典例研习」
【解析】 该运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动,故A错误;根据对称性可知,小球在A点的速度与小球在B点的速度大小相等,但方向不同,故B错误;整个运动过程中,小球的加速度为重力加速度,处于失重状态,故C正确;根据对称性可知,小球从A到C的时间等于从C到B的时间,故D错误。
(1)水离开喷嘴时的速度与水平方向夹角的正切值;
【答案】 (1)2
(2)模拟着火点A距离O点的竖直高度。
【答案】 (2)18.75 m
·规律方法·
(1)斜抛运动的竖直最大位移及运动时间由竖直分速度决定,水平最大位移由抛出速度和抛射角决定。
(2)斜抛运动在最高点的速度为抛出时初速度的水平分速度。
(3)由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
提升·核心素养
“逆向思维”处理斜向上抛运动
「核心归纳」
1.逆向思维,又称反向思维,是相对于习惯性思维的另一种思维方式。基本特点是末状态信息较多,初始状态信息较少,我们就可以从已有的思路反方向去思考,逆用定理、公式,逆向推理,反向解决问题。
2.斜向上抛运动的逆向思维
「典例研习」
[例题] (2025·湖南郴州期末)小郴同学是一名篮球爱好者。他从同一水平高度的A、B两处先后将篮球投出,都恰好垂直打在篮板上的P点,如图所示。不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
[A]两次抛出时的初速度v0A=v0B
[B]两次抛出时初速度与水平方向的夹角θA=θB
[C]两次篮球在空中运动的时间tA=tB
[D]两次篮球打在篮板P点的速度vA=vB
C
检测·学习效果
1.(2025·安徽池州期末)某次空军演习,一架轰炸机在高空匀速水平飞行时投掷炸弹(每隔相同时间投掷一颗),地面上的观察人员看到空中的飞机和炸弹所处的位置情景是下面四幅图中的(　　)
B
[A] [B] [C] [D]
【解析】 炸弹离开轰炸机后做平抛运动,在水平方向上做匀速直线运动,与轰炸机的运动情况相同,可知这些炸弹落地前均在同一条竖直线上,故B正确。
2.(2025·内蒙古呼伦贝尔检测)投壶是中国传统的宴饮游戏,如图。若甲、乙
两人在同一高度沿水平方向各投出一支箭,箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°;不计空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响,取sin 37°=
0.6,cos 37°=0.8,则甲、乙两人投出的箭入壶时的速度之比为(　　)
[A]4∶3 [B]3∶4
[C]5∶3 [D]3∶5
B
3.(多选)如图,某同学在家中对着竖直墙壁打乒乓球,将球从A点斜向上击出,球垂直撞在墙上的O点后,反向弹回正好落在A点正下方的B点。忽略球的旋转及空气阻力,则下列说法正确的是(　 　)
[A]球在上升阶段和下降阶段的加速度相同
[B]球从A点到O点的运动时间等于从O点到B点的运动时间
[C]球刚离开A点时的水平速度大小大于刚到达B点时的水平速度大小
[D]球刚离开A点时的速度大小一定大于刚到达B点时的速度大小
AC
4.将一可视为质点的小球从离地面20 m高处以20 m/s的速度水平抛出,g取10 m/s2。求:
(1)小球落地时的速度大小及速度偏向角;
(2)小球从抛出到落地时运动的位移大小。
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