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微专题2　抛体运动规律的应用
[定位·学习目标]　1.通过应用实例,理解常见的多个物体的平抛运动问题、落点受约束的平抛运动问题、平抛运动的临界问题,并能熟练应用抛体运动规律解决问题。2.通过对类平抛运动进行分析,进一步巩固类比的思想方法在物理学习和探究解决物理问题中的应用,培养科学思维能力。
要点一　多个物体的平抛运动
要点归纳
1.若两物体同时从同一高度(或同一点)水平抛出,则两物体始终在同一高度,二者间距只取决于两物体的水平分运动。
2.若两物体同时从不同高度水平抛出,则两物体间高度差始终与抛出点间高度差相同,二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定。
3.若两物体从同一点先后水平抛出,两物体间竖直高度差随时间均匀增大,二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
4.两物体同时到达两条平抛运动轨迹的相交处时才是相遇。
典例研习
[例1] (多个物体的平抛运动)(多选)(2025·山东潍坊阶段练习)如图所示,距地面足够高的A、B两点高度差为h,水平距离为l。从A、B两点同时水平抛出两小球,初速度大小均为v0,方向相反,两小球的轨迹在同一竖直平面内,且经时间t相距最近,最近距离为x,不计空气阻力,则(　　)
[A]x=0 [B]x=h
[C]t= [D]t=
【答案】 BC
【解析】 两个小球竖直方向都是从静止开始做自由落体运动,竖直方向间距离始终不变,恒为h,根据几何关系,可知两个小球距离最近时其水平方向距离为零,即距离最近为x=h,水平方向做匀速直线运动,由几何关系有v0t+v0t=l,可得时间t=,故B、C正确。
(1)不同平抛运动的时间关系。
如图甲所示,物体从同一点以不同速度水平抛出,虽然落点不同,但水平位移x相同,其飞行时间与初速度大小成反比。
(2)某一平抛运动的落点参量的计算。
如图乙所示,若已知x和v0,则飞行时间t=,则竖直速度为vy=,下落高度为h=,速度大小v=,与水平方向的夹角关系 tan α=。
(3)同位置平抛运动的推论。
落点末速度的反向延长线,交于水平位移的中点,好像是从同一点沿直线发出来的一样,如图丙所示。
[例2] (平抛运动中的相遇问题)在地面上方,沿水平方向先后抛出两个小球,抛出点在同一竖直线上,两球相遇于空中的P点,其运动轨迹如图所示,不计空气阻力,最终两小球落在水平地面上。关于两个小球的运动,下列说法正确的是(　　)
[A]小球B比A先抛出
[B]小球A的初速度小于小球B的初速度
[C]小球A的初速度大于小球B的初速度
[D]两小球落地时的速度大小相等
【答案】 B
【解析】 由于两球从抛出到相遇过程中,水平位移相等,A的竖直位移大于B的竖直位移,根据h=gt2 得t=,小球A的运动时间大于小球B的运动时间,所以小球A比小球B先抛出,根据 x=v0t可知,小球A的初速度小于小球B的初速度,故B正确,A、C错误;两小球落地时速度大小v=,而vy=gt,tA>tB,则vyA>vyB,又vxA要点二　落点受约束的平抛运动
要点归纳
1.常见的两种情况
(1)斜面约束的平抛运动。
(2)圆弧面约束的平抛运动。
2.斜面约束的情形
已知 条件 情境说明 解答要点
已知 速度 方向 平抛物体垂直落在斜面上,即末速度方向垂直于斜面,如图所示 速度关系: tan θ==
平抛物体落在斜面上且末速度恰好沿斜面,如图所示 速度关系: tan θ==
续　表
已知 条件 情境说明 解答要点
已知 位移 方向 物体从同一斜面平抛又落到斜面上,即位移方向沿斜面向下,如图所示 位移关系: tan θ==
平抛物体落到斜面上的位移最小,即位移方向垂直于斜面,如图所示 位移关系: tan θ==
3.圆弧面约束情形
已知 条件 情境说明 解答要点
已知 速度 方向 平抛物体恰好沿圆弧切线进入圆弧形轨道,即落点速度方向沿该点圆弧的切线方向,如图所示 速度关系: tan θ==
利用 位移 关系 物体从圆弧轨道的圆心处抛出,落点在该圆弧上,位移大小等于半径R,如图所示 位移关系: x=v0t y=gt2 x2+y2=R2
物体从半圆的水平直径一端水平抛出且落到该圆上,如图所示 位移关系: x=R(1+cos θ) x=v0t y=Rsin θ y=gt2 (x-R)2+y2=R2
典例研习
[例3] (始、末点在斜面内)(多选)(2025·安徽合肥名校质检)如图所示,将一可视为质点的小球从倾角为α的斜面顶端A点以不同速度水平抛出,第一次落在B点,第二次落在斜面底端C点,已知AB∶BC = 1∶3。关于小球两次运动的情况,下列说法正确的是(　　)
[A]小球在空中运动的时间之比为1∶2
[B]小球水平抛出的初速度之比为1∶
[C]小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为1∶2
[D]小球与斜面的最大距离之比为1∶4
【答案】 AD
【解析】 将小球的运动分解为竖直方向和水平方向两个分运动,由AB∶BC=1∶3,得AB∶AC=1∶4,则竖直位移、水平位移之比分别为hB∶hC=1∶4,xB∶xC=1∶4,根据h=gt2,有t=∝,可得小球两次做平抛运动的时间之比为tB∶tC=1∶2,根据x=v0t,有v0=,可得两次初速度大小之比为v0B∶v0C=1∶2,故A正确,B错误;小球击中斜面时速度与水平方向的夹角θ满足tan θ=,则==1,所以θB=θC,其速度与斜面的夹角β=θ-α,可知两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为1∶1,故C错误;将小球的运动分解为垂直于斜面方向和平行于斜面方向的两个分运动,则有vy=v0sin α,ay=-gcos α,vx=v0cos α,ax=gsin α,设小球与斜面最远距离为ymax,根据运动规律有0-=2ay·ymax,解得ymax=∝,即两次小球与斜面的最大距离之比为1∶4,故D正确。
[例4] (对着斜面方向抛出)如图所示,小球以v0=15 m/s 的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出,飞行一段时间后,恰好垂直撞在斜面上。不计空气阻力,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,
cos 37°=0.8。求:
(1)小球在空中的飞行时间t;
(2)抛出点距撞击点的高度h。
【答案】 (1)2 s　(2)20 m
【解析】 (1)小球垂直撞在斜面上,如图所示,
由几何关系可知θ=37°,β=53°,
而tan β==,代入数据解得t=2 s。
(2)根据平抛运动的规律有h=gt2,
代入数值得h=20 m,
即抛出点到撞击点的高度为20 m。
[例5] (与圆弧面有关的平抛运动)如图所示,竖直面内有一半圆形槽,O为圆心,直径AB水平,甲、乙两小球分别从A点和O点以速度v1和v2水平抛出,在空中运动时间分别为t1和t2,甲球落在半圆形槽最低点P,乙球落在PB弧上的Q点,Q点与OP的中点等高。则(　　)
[A]t1>t2,v1>v2 [B]t1>t2,v1[C]t1v2 [D]t1【答案】 B
【解析】 甲、乙小球做平抛运动,其中x甲=R,y甲=R,x乙==R,y乙=,根据平抛运动的规律,x=v0t,y=gt2,解得t1=,t2=,故t1>t2;v1=,v2=>v1,故B正确,A、C、D错误。
要点三　抛体运动的临界问题
要点归纳
1.与平抛运动相关的临界情况
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在临界点。
(2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述过程中存在着“起止点”,而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述过程中存在着极值,这些极值也往往是临界点。
2.两种临界问题
平抛运动受到某种条件的限制时就构成了平抛运动的临界问题,其限制条件一般有水平位移和竖直高度两种。
(1)当受到水平位移限制时,其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线。
(2)当受到竖直高度限制时,其临界轨迹为自抛出点到竖直高度端点的一条抛物线。
3.处理方法
(1)确定临界状态及临界轨迹,并由此列出符合临界条件的物理方程。
(2)运用对应的数学知识分析求解临界与极值问题。
典例研习
[例6] (边界限制下平抛中的临界问题)如图所示,窗子上、下沿间的高度H=1.6 m,墙的厚度d=0.4 m,某人在与墙壁距离L=1.4 m、距窗子上沿h=0.2 m 处的P点,将可视为质点的小物件以速度v水平抛出,小物件直接穿过窗口并落在水平地面上,g取10 m/s2,不计空气阻力,则v的取值范围是(　　)
[A]v>7 m/s
[B]v<2.3 m/s
[C]3 m/s≤v≤7 m/s
[D]2.3 m/s≤v≤3 m/s
【答案】 C
【解析】 若小物件恰好经过窗口上沿,则有h=g,L=v1t1,解得v1=7 m/s;若小物件恰好经过窗口下沿,则有h+H=g,L+d=v2t2,解得v2=3 m/s,所以3 m/s≤v≤7 m/s,故C正确。
[例7] (抛体运动的极值问题)如图为一游戏中某个环节的示意图。参与游戏的选手通过一个由塑性材料制成的人造山谷AOB,AO是高h=3 m的竖直峭壁,OB是以A点为圆心的弧形坡,∠OAB=60°,B点右侧是一段水平跑道。选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道,但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上水平跑道。选手可视为质点,忽略空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。
(1)若选手以速度v0从A点水平跳出后,能落到水平跑道上,求v0的最小值;
(2)若选手以速度v1=4 m/s在A点水平跳出,求该选手在空中的运动时间。
【答案】 (1) m/s　(2)0.6 s
【解析】 (1)选手从A点水平跳出,恰好落在B点,其水平速度最小,则水平方向有
hsin 60°=v0mint,
竖直方向有hcos 60°=gt2,
代入数值解得v0min= m/s,
故选手落在水平跑道上的速度v0的最小值为 m/s。
(2)当选手以速度v1=4 m/s在A点水平跳出时,因v1< m/s,选手将落在弧形坡上,设该选手在空中运动的时间为t1,
下降高度为h1=g,
水平前进距离x=v1t1,
又x2+=h2,
代入数值解得t1=0.6 s。
要点四　类平抛运动
要点归纳
类平抛运动的特点及处理方法
受力特点 物体无论受什么性质的力,其所受合力为恒力,且与初速度方向垂直
运动特点 沿初速度v0方向做匀速直线运动,沿垂直于初速度方向做初速度为零、加速度为a=的匀加速直线运动
处 理 方 法 常规 分解 一般分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动
特殊 分解 有些情形可以将运动分解为沿x轴的初速度为v0x、加速度为ax的匀变速直线运动和沿y轴的初速度为v0y、加速度为ay的匀变速直线运动
解答 思路 依据两个分运动的运动性质,选用对应的运动公式及动力学方程列式求解
典例研习
[例8] 如图所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ,一物块(可看成质点)从斜面左上方顶点P沿水平方向射入,恰好从底端右侧Q点离开斜面,已知重力加速度为g,不计空气阻力。求:
(1)物块加速度的大小a;
(2)物块由P运动到Q所用的时间t;
(3)物块由P点水平射入时初速度的大小v0。
【答案】 (1)gsin θ　(2)　(3)b
【解析】 (1)物块所受合力沿斜面向下,大小为mgsin θ,根据牛顿第二定律有mgsin θ=ma,
解得a=gsin θ。
(2)将物块的运动沿初速度方向和斜面方向分解,前者为匀速直线运动,后者为初速度为0、加速度为gsin θ的匀加速直线运动。
沿斜面方向有l=at2,
解得t=。
(3)对沿初速度方向的运动,
根据x=v0t得b=v0t,
解得v0=b。
1.(多选)(2025·贵州黔西期末)如图所示,在M点分别以不同的速度将两小球水平抛出,两小球分别落在水平地面上的P点、Q点。已知O点是M点在地面上的竖直投影,∶=1∶3,不考虑空气阻力的影响。下列说法正确的是(　　)
[A]两小球的下落时间之比为1∶1
[B]两小球的下落时间之比为1∶3
[C]两小球的初速度大小之比为1∶4
[D]两小球的初速度大小之比为1∶3
【答案】 AC
【解析】 小球在空中做平抛运动,竖直方向做自由落体运动,则有h=gt2,由于两小球下落高度相同,则两小球的下落时间之比为1∶1,故A正确,B错误;小球水平方向做匀速直线运动,则有x=v0t,可知两小球的初速度大小之比为v1∶v2=∶=1∶4,故C正确,D错误。
2.如图所示,小球以初速度v0正对倾角为θ的斜面水平抛出,重力加速度为g,若小球到达斜面的位移最小,则下列说法正确的是(　　)
[A]小球在空中运动的时间为
[B]小球的水平位移大小为
[C]由于不知道抛出点位置,位移大小无法求解
[D]小球的竖直位移大小为
【答案】 B
【解析】 如图所示,过抛出点A作斜面的垂线,当小球落在斜面上的B点时,位移最小。设运动的时间为t,则在水平方向上有x=v0t,在竖直方向上有y=gt2,根据几何关系知tan θ=,联立解得t=,小球的水平位移大小为x=v0t=,竖直位移大小为y=gt2=,由水平位移和竖直位移的合成可求出小球的位移大小,故B正确,A、C、D错误。
3.如图所示,B为竖直圆轨道的左端点,它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛,恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g,则A、B之间的水平距离为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 如图所示,对速度进行分解,小球运动的时间t==,则A、B间的水平距离x=v0t=,故A正确,B、C、D错误。
4.(2025·江苏镇江阶段练习)正在公路上行驶的汽车,只需按下一个键,就能轻松切换到飞行模式,变身飞机跃入天空,这就是飞行汽车!假设一辆飞行汽车在平直的公路上以30 m/s的速度行驶,某时刻司机启动飞行模式,汽车保持水平速度不变,沿竖直方向开始匀加速爬升,经过一段时间爬升到200 m高处。用x表示水平位移,y表示竖直位移,这一过程的yx图像如图乙所示。g取 10 m/s2,求汽车飞行时:
(1)从启动飞行模式到离地200 m高处需要多长时间;
(2)到达200 m高处时竖直速度和瞬时速度的大小(可用根式表示)。
【答案】 (1)20 s　(2)20 m/s　10 m/s
【解析】 (1)汽车在水平方向做匀速直线运动,根据yx图像可知,到离地200 m高处时的水平位移 x=600 m,则从启动飞行模式到离地200 m高处的时间为t== s=20 s。
(2)汽车在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动,有y=t,
则到达200 m高处时竖直速度的大小为vy== m/s=20 m/s,
此时瞬时速度的大小为v==10 m/s。
课时作业
(分值:60分)　　　　　　 　　　　　 　　　　　
考点一　多个物体的平抛运动
1.(4分)如图所示,某同学为了找出平抛运动的物体初速度之间的关系,用一个小球在O点对准前方一块竖直挡板上的A点三次抛出。O与A在同一高度,小球的水平初速度分别为v1、v2、v3,不计空气阻力,打在挡板上的相应位置分别是B、C、D,且AB∶AC∶AD=1∶4∶9,则v1、v2、v3之间的正确关系是(　　)
[A]v1∶v2∶v3=3∶2∶1
[B]v1∶v2∶v3=9∶4∶1
[C]v1∶v2∶v3=5∶3∶1
[D]v1∶v2∶v3=6∶3∶2
【答案】 D
【解析】 小球三次被抛出后均做平抛运动,竖直方向上的下落高度h=gt2,则t=,由于小球三次下落的高度之比为 h1∶h2∶h3=AB∶AC∶AD=1∶4∶9,所以小球三次运动的时间比 t1∶t2∶t3=1∶2∶3,而水平位移相等,由x=vt得v1∶v2∶v3=∶∶=6∶3∶2,故D正确,A、B、C错误。
2.(6分)(多选)(2025·山东枣庄阶段练习)如图所示,自A点水平向右抛出小球甲,自B点水平向左抛出小球乙,两小球先后经过C点时速度大小相等。甲经过C点时,速度与竖直方向夹角为60°,乙经过C点时,速度与竖直方向夹角为30°。A、C两点的高度差为h,不计阻力。由以上条件可知(　　)
[A]A、B两点的高度差为3h
[B]A、B两点的高度差为2h
[C]A、B两点的水平距离为2h
[D]A、B两点的水平距离为4h
【答案】 BD
【解析】 设小球经过C点时的速度大小为vC,由运动的分解可知v甲y=vCcos 60°,v甲0=vCsin 60°,v乙y=vCcos 30°,v乙0=vCsin 30°,根据竖直方向的运动规律有=2gh,=2gh',hAB=h'-h,解得hAB=2h,故A错误,B正确;根据水平方向的运动规律可知x甲=v甲0t甲,x乙=v乙0t乙,其中h=g,h'=g,则xAB=x甲+x乙,解得xAB=4h,故C错误,D正确。
考点二　落点受约束的平抛运动
3.(4分)如图所示,倾角为θ的斜面体固定在水平面上,两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出,甲的抛出点为斜面体的顶点,乙的抛出点在空中某点。已知两球的初速度大小相等,小球乙落在斜面瞬间的速度与斜面垂直。忽略空气的阻力,重力加速度为g。下列结论正确的是(　　)
[A]甲、乙两球下落的高度之比为2tan2 θ∶1
[B]甲、乙两球的水平位移之比为tan θ∶1
[C]甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度与水平面夹角的正切值之比为tan2 θ∶1
[D]如果斜面倾角合适,则两球落到斜面上的速度大小可能相等
【答案】 D
【解析】 对甲球有tan θ=,对乙球有tan θ=,而竖直方向的下落高度h=gt2,则两球下落高度之比为h甲∶h乙=4tan4 θ∶1,根据x=v0t得x甲∶x乙=2tan2 θ∶1,故A、B错误;甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度与水平面夹角的正切值分别为tan α甲=2tan θ,tan α乙=,解得tan α甲∶tan α乙=2tan 2θ∶1,故C错误;增大斜面倾角θ,当乙球落到斜面偏上,甲球落到斜面偏下,两球竖直位移相等时,两球落到斜面上的速度等大,故D正确。
4.(10分)(2025·河北保定期中)如图所示,某人从平台上水平抛出一弹性球,与平台右侧固定的四分之一圆形轨道的A点发生碰撞恰能原路返回至此人手中。已知圆形轨道半径为5R,圆心O与A点连线与竖直方向夹角为37°,弹性球抛出时离地高度为R,忽略空气阻力,重力加速度为g,取 sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)弹性球运动到A点所用的时间;
(2)弹性球运动到A点过程的位移。
【答案】 (1)　(2)R
【解析】 (1)碰撞后弹性球恰能原路返回至此人手中,说明到达A点时速度方向沿半径方向,其竖直方向的位移为y=R-5Rcos 37°=R,
根据运动规律,解得在A点时的竖直速度为vy==,
则所用时间为t==。
(2)弹性球水平抛出时的速度大小
v0=vytan37°=,
其水平位移x=v0t=4R,
而竖直位移y=R,
则此过程的位移l==R。
考点三　抛体运动的临界问题
5.(4分)(2025·黑龙江绥化检测)一住宅阳台失火,消防员用处于同一位置的两支水枪喷水灭火,如图所示,甲水柱射向水平阳台外侧着火点A,乙水柱射向水平阳台里边着火点B,两水柱最高点在同一水平线上,不计空气阻力,甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2,甲、乙水柱在空中运动的时间分别为t1、t2。以下判断正确的是(　　)
[A]v1>v2,t1=t2 [B]v1[C]v1>v2,t1t2
【答案】 B
【解析】 甲、乙水柱竖直方向上升的高度相同,从最高点到着火点的高度也相同,可知甲、乙水柱竖直方向的运动情况相同,所以甲、乙水柱在空中运动的时间相等,即有t1=t2;而水平方向甲水柱的水平位移小于乙水柱的水平位移,根据x=vxt,得 vx甲6.(4分)(2025·山东滨州期末)如图,水平地面上有一截面为正方形的建筑物,边长为a。在地面上某一确定高度斜向上抛出一小球,要使小球恰好能够抛过该建筑物的初速度最小,空气阻力不计,重力加速度为g,则小球运动过程中(　　)
[A]距地面最大高度为a
[B]由于抛出点未知,故小球运动过程中距地面的最大高度不能确定
[C]小球在水平方向的分速度大小为2
[D]小球在水平方向的分速度大小为
【答案】 D
【解析】 小球运动过程中,在竖直方向上为竖直上抛运动,在水平方向上为匀速直线运动,所以要使小球恰好能够抛过该建筑物的初速度最小,则小球刚好上升经过建筑物时速度最小,设小球上升经过建筑物边缘时的速度大小为v,与水平方向的夹角为θ,则小球在竖直方向的分速度大小为vy=vsin θ,所以,小球经过建筑物的时间为t=,而在水平方向上有a=vxt,其中vx=vcos θ,整理可得v=,所以,当θ=45°时v最小,其大小为vmin=,此时小球上升到距地面最大高度hm=a+=a,小球在水平方向的分速度为vx=vmincos θ=,故D正确。
考点四　类平抛运动
7.(6分)(多选)(2025·江西吉安阶段练习)如图所示,风洞实验室中可以产生竖直向上、大小恒定的风力,一个质量为m的小球在O点以水平初速度v0抛出,恰好能沿水平方向运动到P点,O、P间的距离为L。将风力调大,小球仍由O点以水平初速度v0抛出,结果恰好经过P点正上方的Q点,P、Q间的距离为L,重力加速度为g,则(　　)
[A]调节前的风力大小为0
[B]调节前的风力大小为mg
[C]调节后的风力大小为mg+m
[D]调节后的风力大小为m
【答案】 BC
【解析】 调节风力之前,小球恰好能沿水平方向运动到P点,表明小球做匀速直线运动,调节前风力大小为mg,故A错误,B正确;调节风力之后,小球恰好能沿水平方向运动到Q点,表明小球做类平抛运动,则有L=v0t,=at2,根据牛顿第二定律有F-mg=ma,解得F=mg+m,故C正确,D错误。
8.(4分)(2025·广东深圳检测)如图所示,阳光垂直照射到倾角为θ的斜面草坪上,在斜面草坪顶端把一个小球以v0的速度水平击出,小球刚好落在斜面底端。B点是小球距离斜面的最远处,草坪上A点是在阳光照射下小球经过B点时的投影点,草坪上D点在B点的正下方。不计空气阻力,则(　　)
[A]AB的长度为
[B]小球在空中的飞行时间为
[C]OA与AC长度之比为1∶3
[D]OD与DC长度之比为1∶3
【答案】 A
【解析】 将小球的运动分解为沿斜面和垂直于斜面两个分运动,可知小球在垂直于斜面方向做初速度为v0sin θ、加速度大小为gcos θ的匀减速直线运动,B点是小球运动过程中距离斜面的最远处,则此时小球垂直于斜面方向的分速度刚好为0,则有lAB==,从O点到B点运动的时间为t1=,根据对称性原理,小球从B点运动到C点的时间为t2=t1=,故小球在空中的飞行时间为t=t1+t2=,故A正确,B错误;小球沿斜面方向做初速度为v0cos θ、加速度为 gsin θ 的匀加速直线运动,虽然t1=t2,但初速度vx0≠0,可知OA∶AC≠1∶3,故C错误;若将小球的运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动,如图所示,小球从O到B有xOB=v0t1,从O到C有xOC=v0·2t1=2xOB,根据几何关系,可知D点是OC的中点,则OD与DC长度之比为1∶1,故D错误。
9.(6分)(多选)(2025·黑龙江双鸭山阶段练习)如图所示,a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平拋出。已知半圆轨道的半径R与斜面竖直高度相等,斜面底边长是其竖直高度的2倍。若小球a能落到半圆轨道上,小球b能落到斜面上,a、b均可视为质点,重力加速度为g,则(　　)
[A]如果a球落在半圆轨道最低点,则其速度方向竖直向下
[B]b球落在斜面上时,其速度方向与水平面夹角的正切值为0.5
[C]a、b两球如果同时落在半圆轨道和斜面上,则其初速度v0=2
[D]无论a球初速度v0多大,a球均不可能垂直落在半圆轨道上
【答案】 CD
【解析】 a、b两球均做平抛运动,a球落在半圆轨道上时水平方向有分速度,可知合速度不可能竖直向下,A错误;b球落在斜面上时,水平位移和竖直位移分别为x=v0t,y=gt2,又=,得v0=gt,vy=gt,即速度方向与水平面夹角θ满足tan θ==1,故B错误;若两球同时落在半圆轨道和斜面上,则竖直位移相等,水平方向和竖直方向速度大小也相等,根据圆中几何关系有(x-R)2+y2=R2,其中有x=v0t=v0·=,y=gt2=g·()2=,代入解得v0=2,故C正确;若a球垂直落在半圆轨道上,根据几何知识可知速度反向延长线必过圆心,根据平抛运动规律可知此时速度反向延长线也必过水平位移中点,故此时水平位移等于直径,而实际中小球的水平位移一定小于直径,可知a球不可能垂直落在半圆轨道上,故D正确。
10.(12分)某班设置的有奖趣味活动可简化为如图所示的模型。参与者从抛掷线正上方距地面H=1.8 m处将小球(视为质点)水平抛出,小球必须在与水平地面碰撞反弹一次后打中右侧奖板才能得奖。奖板从低到高依次为一等奖区、二等奖区与三等奖区,每一奖区的高度均为h=0.4 m,抛掷线到奖板的水平距离x=1.55 m。小张抛掷时,将小球水平抛出,小球落地反弹后,在上升过程中恰好击中三等奖区的正中央,轨迹如图所示。已知小球与地面碰撞(碰撞时间极短)前后水平方向的速度不变,竖直方向的速度大小不变而方向相反,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。
(1)求小张抛掷时,小球从被抛出到击中奖板所用的时间t;
(2)若小李抛掷时,小球与地面碰撞一次后恰好击中二等奖区的上边界,求小球被抛出时可能的速度大小v0。
【答案】 (1)0.8 s
(2) m/s或 m/s
【解析】 (1)小张抛掷时击中三等奖区正中央,如图甲所示,设小球从抛出到落地的时间为t1,有H=g,
小球反弹后到击中奖板的时间为t2,
结合对称性有
H-2.5h=g(t1-t2)2,
代入数据解得
t1=0.6 s,t2=0.2 s,
所以总时间为
t=t1+t2=0.8 s。
(2)小李抛掷时,假设小球从被抛出点直接运动至二等奖上边界所在水平面所用的时间为t3,有
H-2h=g,
解得t3= s。
小球落地后反弹击中二等奖区上边界有两种情况,如图乙中Ⅰ、Ⅱ所示,
若在上升过程中恰好击中二等奖区的上边界,则小球在空中运动的时间
t'=2t1-t3,
又x=v0t',
解得v0= m/s;
若小球落地后反弹,在下降过程中恰好击中二等奖区的上边界,则小球在空中运动的时间
t'=2t1+t3,
又x=v0t',
解得v0= m/s。(共49张PPT)
微专题2　抛体运动规律的应用
1.通过应用实例,理解常见的多个物体的平抛运动问题、落点受约束的平抛运动问题、平抛运动的临界问题,并能熟练应用抛体运动规律解决问题。2.通过对类平抛运动进行分析,进一步巩固类比的思想方法在物理学习和探究解决物理问题中的应用,培养科学思维能力。
[定位·学习目标]　
突破·关键能力
要点一　多个物体的平抛运动
「要点归纳」
1.若两物体同时从同一高度(或同一点)水平抛出,则两物体始终在同一高度,二者间距只取决于两物体的水平分运动。
2.若两物体同时从不同高度水平抛出,则两物体间高度差始终与抛出点间高度差相同,二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定。
3.若两物体从同一点先后水平抛出,两物体间竖直高度差随时间均匀增大,二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
4.两物体同时到达两条平抛运动轨迹的相交处时才是相遇。
[例1] (多个物体的平抛运动)(多选)(2025·山东潍坊阶段练习)如图所示,距地面足够高的A、B两点高度差为h,水平距离为l。从A、B两点同时水平抛出两小球,初速度大小均为v0,方向相反,两小球的轨迹在同一竖直平面内,且经时间t相距最近,最近距离为x,不计空气阻力,则(　 　)
BC
「典例研习」
·规律方法·
(1)不同平抛运动的时间关系。
如图甲所示,物体从同一点以不同速度水平抛出,虽然落点不同,但水平位移x相同,其飞行时间与初速度大小成反比。
·规律方法·
(2)某一平抛运动的落点参量的计算。
·规律方法·
(3)同位置平抛运动的推论。
落点末速度的反向延长线,交于水平位移的中点,好像是从同一点沿直线发出来的一样,如图丙所示。
[例2] (平抛运动中的相遇问题)在地面上方,沿水平方向先后抛出两个小球,抛出点在同一竖直线上,两球相遇于空中的P点,其运动轨迹如图所示,不计空气阻力,最终两小球落在水平地面上。关于两个小球的运动,下列说法正确的是(　　)
[A]小球B比A先抛出
[B]小球A的初速度小于小球B的初速度
[C]小球A的初速度大于小球B的初速度
[D]两小球落地时的速度大小相等
B
要点二　落点受约束的平抛运动
「要点归纳」
1.常见的两种情况
(1)斜面约束的平抛运动。
(2)圆弧面约束的平抛运动。
2.斜面约束的情形
3.圆弧面约束情形
[例3] (始、末点在斜面内)(多选)(2025·安徽合肥名校质检)如图所示,将一可视为质点的小球从倾角为α的斜面顶端A点以不同速度水平抛出,第一次落在B点,第二次落在斜面底端C点,已知AB∶BC = 1∶3。关于小球两次运动的情况,下列说法正确的是(　 　)
AD
「典例研习」
[例4] (对着斜面方向抛出)如图所示,小球以v0=15 m/s 的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出,飞行一段时间后,恰好垂直撞在斜面上。不计空气阻力,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)小球在空中的飞行时间t;
【答案】 (1)2 s
(2)抛出点距撞击点的高度h。
【答案】 (2)20 m
[例5] (与圆弧面有关的平抛运动)如图所示,竖直面内有一半圆形槽,O为圆心,直径AB水平,甲、乙两小球分别从A点和O点以速度v1和v2水平抛出,在空中运动时间分别为t1和t2,甲球落在半圆形槽最低点P,乙球落在PB弧上的Q点,Q点与OP的中点等高。则(　　)
[A]t1>t2,v1>v2 [B]t1>t2,v1[C]t1v2 [D]t1B
要点三　抛体运动的临界问题
「要点归纳」
1.与平抛运动相关的临界情况
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在临界点。
(2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述过程中存在着“起止点”,而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述过程中存在着极值,这些极值也往往是临界点。
2.两种临界问题
平抛运动受到某种条件的限制时就构成了平抛运动的临界问题,其限制条件一般有水平位移和竖直高度两种。
(1)当受到水平位移限制时,其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线。
(2)当受到竖直高度限制时,其临界轨迹为自抛出点到竖直高度端点的一条抛物线。
3.处理方法
(1)确定临界状态及临界轨迹,并由此列出符合临界条件的物理方程。
(2)运用对应的数学知识分析求解临界与极值问题。
[例6] (边界限制下平抛中的临界问题)如图所示,窗子上、下沿间的高度H=1.6 m,墙的厚度d=0.4 m,某人在与墙壁距离L=1.4 m、距窗子上沿h=
0.2 m 处的P点,将可视为质点的小物件以速度v水平抛出,小物件直接穿过窗口并落在水平地面上,g取10 m/s2,不计空气阻力,则v的取值范围是(　　)
[A]v>7 m/s
[B]v<2.3 m/s
[C]3 m/s≤v≤7 m/s
[D]2.3 m/s≤v≤3 m/s
C
「典例研习」
[例7] (抛体运动的极值问题)如图为一游戏中某个环节的示意图。参与游戏的选手通过一个由塑性材料制成的人造山谷AOB,AO是高h=3 m的竖直峭壁,OB是以A点为圆心的弧形坡,∠OAB=60°,B点右侧是一段水平跑道。选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道,但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上水平跑道。选手可视为质点,忽略空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。
(1)若选手以速度v0从A点水平跳出后,能落到水平跑道上,求v0的最小值;
(2)若选手以速度v1=4 m/s在A点水平跳出,求该选手在空中的运动时间。
【答案】 (2)0.6 s
要点四　类平抛运动
「要点归纳」
类平抛运动的特点及处理方法
处 理 方 法 常规 分解 一般分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动
特殊 分解 有些情形可以将运动分解为沿x轴的初速度为v0x、加速度为ax的匀变速直线运动和沿y轴的初速度为v0y、加速度为ay的匀变速直线运动
解答 思路 依据两个分运动的运动性质,选用对应的运动公式及动力学方程列式求解
[例8] 如图所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ,一物块(可看成质点)从斜面左上方顶点P沿水平方向射入,恰好从底端右侧Q点离开斜面,已知重力加速度为g,不计空气阻力。求:
「典例研习」
(1)物块加速度的大小a;
【答案】 (1)gsin θ
【解析】 (1)物块所受合力沿斜面向下,大小为mgsin θ,根据牛顿第二定律有mgsin θ=ma,
解得a=gsin θ。
(2)物块由P运动到Q所用的时间t;
(3)物块由P点水平射入时初速度的大小v0。
检测·学习效果
AC
[A]两小球的下落时间之比为1∶1
[B]两小球的下落时间之比为1∶3
[C]两小球的初速度大小之比为1∶4
[D]两小球的初速度大小之比为1∶3
2.如图所示,小球以初速度v0正对倾角为θ的斜面水平抛出,重力加速度为g,若小球到达斜面的位移最小,则下列说法正确的是(　　)
B
A
4.(2025·江苏镇江阶段练习)正在公路上行驶的汽车,只需按下一个键,就能轻松切换到飞行模式,变身飞机跃入天空,这就是飞行汽车!假设一辆飞行汽车在平直的公路上以30 m/s的速度行驶,某时刻司机启动飞行模式,汽车保持水平速度不变,沿竖直方向开始匀加速爬升,经过一段时间爬升到
200 m高处。用x表示水平位移,y表示竖直位移,这一过程的y-x图像如图乙所示。g取 10 m/s2,求汽车飞行时:
(1)从启动飞行模式到离地200 m高处需要多长时间;
【答案】 (1)20 s
(2)到达200 m高处时竖直速度和瞬时速度的大小(可用根式表示)。
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