资源简介

周末滚动融合卷1　三角函数与解三角形
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2025·湖南长沙三模)已知集合A＝{x∈N|x<5}，B＝{y|y＝sin x}，则A∩B＝(　　)
A． B．{0，1} C．[0，1] D．(0，1)
2．(2025·浙江温州二模)扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于(　　)
A．1 B． C．3 D．6
3．(2025·辽宁一模)若命题“ x∈R，sin xA．(－∞，1] B．(－∞，1) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
4．(2025·浙江宁波三模)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是(　　)
A．y＝cos x B．y＝|sin x| C．y＝tan x D．y＝sin
5．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3 B．4 C．6 D．8
6．[教材母题改编]若tan α＝2tan β，sin (α＋β)＝，则sin (α－β)＝(　　)
A．－ B． C． D．－
7．(2025·江西新余模拟)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a＝2，cos B＝，cos C＝，则b＝(　　)
A． B． C． D．
8．(2025·江西上饶模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝sin C，cos B＝，△ABC的面积为2，则△ABC的周长为(　　)
A．8＋2 B．11 C．8＋2 D．8＋4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．[教材母题改编]声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反(即相位差为π的奇数倍)的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是f(x)＝sin ，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有(　　)
A．g(x)＝－sin B．g(x)＝cos
C．g(x)＝cos D．g(x)＝cos
10．(2025·湖北武汉二模)函数f(x)＝sin2＋sin2，则下列关于f(x)的说法中正确的是(　　)
A．最小正周期是π B．最大值是2
C．在区间上单调递减 D．图象关于点中心对称
11．(2025·贵州毕节二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，(a＋b)(sinB－sin A)＝c(sin B－sin C)，则(　　)
A．A＝
B．△ABC的周长的最大值为3
C．当b最大时，△ABC的面积为
D．b－c的取值范围为(－)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2025·安徽江南十校一模)已知角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与圆O交于点A(1，2)．动点P以A为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点B，点P运动的轨迹长为，当角β的终边为射线OB时，tan β＝________．
13．[高考真题改编]函数f(x)＝sin2x＋4cosx，则f(x)的最小值为________．
14．[开放问题]将函数f(x)＝sin (2x＋φ)图象上的每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2025·辽宁辽阳二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin C＝c sin 2A．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的周长为3a，证明：△ABC为等边三角形．
16．(15分)(2025·湖南邵阳二模)已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，sin x)，设函数f(x)＝a·b．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)当x∈时，t2－t≤f(x)，求实数t的取值范围．
17．(15分)(2025·安徽安庆模拟)如图，在平面凸四边形ABCD中，tan ∠ABD＋tan ∠ADB＝．
(1)求∠ADB；
(2)若AD＝BD＝4，∠ACB＝∠BDC＝，求CD．
18．(17分)[教材与高考衍生题]在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1)b＝a＋2，c＝a＋4，是否存在正整数a，使得∈N*，且△ABC为钝角三角形？若存在，求出a；若不存在，说明理由．
(2)若a＝b＝c＝4，D为BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF＝90°，∠CDF＝θ(0°<θ<90°)，求△DEF面积S的最小值及此时对应的θ的值．
19．(17分)[知识交叉融合]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．
(1)求sin A．
(2)若△ABC的面积为．
①已知E为BC的中点，且b＋c＝8，求△ABC底边BC上中线AE的长；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
周末滚动融合卷1
1．B　[由题意得A＝{0，1，2，3，4}，B＝[－1，1]，所以A∩B＝{0，1}．故选B．]
2．C　[设圆心角为α，所以S＝α·R2＝2α＝6，所以α＝3．故选C．]
3．C　[因为“ x∈R，sin x即a要小于等于sin x的最小值，又当x∈R时，sin x∈[－1，1]，故a≤－1．故选C．]
4．B　[由y＝cos x的最小正周期为2π，y＝sin 的最小正周期为4π，知A，D错误；
由y＝tan x在上单调递增，知C错误；
y＝|sin x|以π为最小正周期，且在区间上单调递减，B正确．故选B．]
5．C　[因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，
函数y＝2sin的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点．
故选C．]
6．B　[由tan α＝2tan β，得，
即sin αcos β＝2cos αsin β，
由sin(α＋β)＝，得
sin αcos β＋cos αsin β＝，
故sin αcos β＝，cos αsin β＝，
则sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝．故选B．]
7．B　[在△ABC中，由cos B＝，cos C＝，得sin B＝，sin C＝，cos A＝－cos(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bcos C＝，
则sin A＝，得b＝．故选B．]
8．A　[由sin A＝sin C及正弦定理，得c＝3a，
因为cos B＝，且B∈(0，π)，所以sin B＝，所以△ABC的面积为，解得a＝2，所以c＝3a＝6，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋36－2×2×6×＝24，
所以b＝2，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋2．
故选A．]
9．AB　[由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为g(x)＝sin＝－sin，k∈Z，或g(x)＝sin＝sin＝sin＝cos，k∈Z，AB选项满足题意．故选AB．]
10．AC　[f(x)＝sin2＋sin2 ＝sin＋1，
则f(x)的最小正周期是＝π，故选项A正确；
由三角函数的性质可知f(x)≤＋1，即f(x)的最大值是＋1，故选项B错误；
当x∈时，2x－∈，
因为y＝sin z在z∈上单调递减，
故f(x)在区间上单调递减，故选项C正确；
令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，故f(x)的图象的对称中心为点，k∈Z，令得k＝ Z，
所以f(x)的图象不关于点中心对称，故选项D错误．故选AC．]
11．BCD　[对于A选项，因为(a＋b)(sin B－sin A)＝c(sin B－sin C)，
由正弦定理可得(a＋b)(b－a)＝c(b－c)，
整理可得b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理的推论可得cos A＝，
因为A∈(0，π)，故A＝，A错误；
对于B选项，因为a＝，由余弦定理和基本不等式可得a2＝3＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－，即b＋c≤2，
当且仅当b＝c＝时，等号成立，故△ABC的周长为a＋b＋c≤3，即△ABC的周长的最大值为3，B正确；
对于C选项，由正弦定理可得＝2，则b＝2sin B≤2，
当且仅当B＝时，b取最大值，此时，c＝＝1，S△ABC＝，C正确；
对于D选项，由正弦定理可得＝2，则b＝2sin B，c＝2sin C，所以b－c＝2sin B－2sin C＝2sin B－2sin(B＋A)＝2sin B－2＝sin B－cos B＝2sin ，因为A＝，则012．－　[由题得tan α＝，
且圆O的半径为r＝＝3，
所以∠AOB＝，
所以tan β＝tan
＝－．]
13．　[f(x)＝sin2x＋4cos x＝1－cos2x＋4cos x＝－(cos x－2)2＋5，因为x∈，所以cos x∈，cos x－2∈，所以f(x)＝－(cos x－2)2＋5∈，故最小值为．]
14．－(答案不唯一)　[将函数f(x)＝sin(2x＋φ)图象上的每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，
再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象对应的解析式为g(x)＝sin＝sin，
由题意g(x)的图象关于y轴对称，
所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，得φ＝－．]
15．解：(1)由asin C＝csin 2A及正弦定理，得sin Asin C＝sin Csin 2A．
因为sin C>0，所以sin A＝2sin Acos A，则cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝．
(2)证明：由余弦定理得b2＋c2－bc＝a2．
因为△ABC的周长为3a，即b＋c＝2a，
所以4b2＋4c2－4bc＝(b＋c)2，即(b－c)2＝0，
所以b＝c＝a，故△ABC为等边三角形．
16．解：(1)∵f(x)＝a·b＝sin2x＋sin 2x
＝sin．
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π．
由＋2kπ≤2x－＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z．
(2)∵当0≤x≤时，－，
∴结合y＝sin x的图象，当2x－时，f(x)min＝sin＝0．
∵当x∈时，t2－t≤f(x)，
∴t2－t≤0，解得0≤t≤．
∴实数t的取值范围为．
17．解：(1)由tan ∠ABD＋tan ∠ADB＝，
故
＝，
所以
＝．
因为sin(∠ABD＋∠ADB)＝sin(π－∠BAD)＝sin ∠BAD≠0，
故cos ∠ADB＝，又∠ADB∈(0，π)，
所以∠ADB＝．
(2)由AD＝BD＝4，∠ADB＝，故△ABD为边长为4的等边三角形，
在△ABC中，∠ACB＝，
由正弦定理得，故BC＝＝8sin ∠BAC，
由于∠BAC＋∠BCA＋∠ABD＋∠CBD＝π，又∠BCA＋∠ABD＝，
所以∠BAC＋∠CBD＝，
故BC＝8sin ∠BAC＝8cos ∠CBD，
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD×BC×cos ∠CBD，
即CD2＝42＋BC2－8×BC×cos ∠CBD＝16，得CD＝4．
18．解：(1)假设存在正整数a满足题设．
因为△ABC为钝角三角形，且a由余弦定理的推论cos C＝，
所以－1得解得2因为a∈N*，∈N*，所以a＝4．
(2)如图，因为∠EDF＝90°，∠CDF＝θ(0°<θ<90°)，所以∠BDE＝90°－θ．
在△CDF中，因为
，
所以DF＝，
在△BDE中，因为，
所以DE＝．
所以S＝，
设f(θ)＝sin(θ＋60°)sin(150°－θ)(0°<θ<90°)，
所以f(θ)＝
＝cos2θ＋cos θsin θ＋sin2θ．
即f(θ)＝sin 2θ，
所以S＝
＝．
当θ＝45°时，S取得最小值12－6．
19．解：(1)由正弦定理得，即c2＋b2－a2＝bc，
故cos A＝，
因为cos A>0，所以A∈，
所以sin A＝．
(2)①由(1)知sin A＝，因为△ABC的面积为，
所以，解得bc＝16，
且b＋c＝8，解得b＝c＝4，
由于)，
所以·)＝(c2＋b2＋2bccos A)＝(c2＋b2＋bc)
＝，
所以|，即|．
②因为AD为角A的角平分线，
所以sin ∠BAD＝sin ∠CAD＝sin ，
由于S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，
得到，
由于sin ≠0，所以|AD|(c＋b)＝2bccos ，
由二倍角公式得cos A＝2cos2－1，
则2cos2，解得cos ，
又bc＝16，
所以|AD|(c＋b)＝2bccos ，由于b＋c≥2＝8，当且仅当b＝c＝4时，等号成立，
故＝|AD|(c＋b)≥2|AD|＝8|AD|，故|AD|≤，即AD长的最大值为
1/5(共50张PPT)
专题一　
三角函数与解三角形
周末滚动融合卷1　三角函数与解三角形
题号
1
3
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2
4
6
8
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√
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2025·湖南长沙三模)已知集合A＝{x∈N|x<5}，B＝{y|y＝sin x}，则A∩B＝(　　)
A． B．{0，1}
C．[0，1] D．(0，1)
题号
1
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B　[由题意得A＝{0，1，2，3，4}，B＝[－1，1]，所以A∩B＝{0，1}．故选B．]
题号
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√
2．(2025·浙江温州二模)扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于(　　)
A．1 B． C．3 D．6
C　[设圆心角为α，所以S＝α·R2＝2α＝6，所以α＝3．故选C．]
题号
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3．(2025·辽宁一模)若命题“ x∈R，sin xA．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
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C　[因为“ x∈R，sin x即a要小于等于sin x的最小值，又当x∈R时，sin x∈[－1，1]，故a≤－1．
故选C．]
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4．(2025·浙江宁波三模)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是(　　)
A．y＝cos x B．y＝|sin x|
C．y＝tan x D．y＝sin
√
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B　[由y＝cos x的最小正周期为2π，y＝sin 的最小正周期为4π，知A，D错误；
由y＝tan x在上单调递增，知C错误；
y＝|sin x|以π为最小正周期，且在区间上单调递减，B正确．
故选B．]
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5．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝
2sin 的交点个数为(　　)
A．3 B．4 C．6 D．8
√
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C　[因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，
函数y＝2sin 的最小正周期为T＝，
所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点．故选C．]
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6．[教材母题改编]若tan α＝2tan β，sin (α＋β)＝，则sin (α－β)＝(　　)
A．－ B． C． D．－
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B　[由tan α＝2tan β，得＝，
即sin αcos β＝2cos αsin β，
由sin (α＋β)＝，得sin αcos β＋cos αsin β＝，
故sin αcos β＝，cos αsin β＝，
则sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝．
故选B．]
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7．(2025·江西新余模拟)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a＝2，cos B＝，cos C＝，则b＝(　　)
A． B．
C． D．
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B　[在△ABC中，由cos B＝，cos C＝，得sin B＝，sin C＝，cos A＝－cos (B＋C)＝sin B sin C－cos B cos C＝＝，则sin A＝＝，由正弦定理＝，得b＝＝＝．
故选B．]
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8．(2025·江西上饶模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝sin C，cos B＝，△ABC的面积为2，则△ABC的周长为(　　)
A．8＋2 B．11
C．8＋2 D．8＋4
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A　[由sin A＝sin C及正弦定理，得c＝3a，
因为cos B＝，且B∈(0，π)，所以sin B＝，
所以△ABC的面积为ac sin B＝a2×＝2，解得a＝2，所以c＝3a＝6，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋36－2×2×6×＝24，
所以b＝2，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋2．
故选A．]
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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．[教材母题改编]声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反(即相位差为π的奇数倍)的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是f (x)＝sin ，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有(　　)
A．g(x)＝－sin
B．g(x)＝cos
C．g(x)＝cos
D．g(x)＝cos
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AB　[由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为g(x)＝sin ＝－sin ，k∈Z，
或g(x)＝sin
＝sin ＝sin
＝cos ，k∈Z，AB选项满足题意．故选AB．]
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10．(2025·湖北武汉二模)函数f (x)＝sin2＋sin2，则下列关于f (x)的说法中正确的是(　　)
A．最小正周期是π
B．最大值是2
C．在区间上单调递减
D．图象关于点中心对称
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AC　[f (x)＝sin2＋sin2＝
＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin ＋1，
则f (x)的最小正周期是＝π，故选项A正确；
由三角函数的性质可知f (x)≤＋1，即f (x)的最大值是＋1，故选项B错误；
当x∈时，2x－∈，
因为y＝sin z在z∈上单调递减，
故f (x)在区间上单调递减，故选项C正确；
令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，
故f (x)的图象的对称中心为点，k∈Z，令＝得k＝ Z，所以f (x)的图象不关于点中心对称，故选项D错误．故选AC．]
题号
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题号
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√
11．(2025·贵州毕节二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，(a＋b)(sin B－sin A)＝c(sin B－sin C)，则
(　　)
A．A＝
B．△ABC的周长的最大值为3
C．当b最大时，△ABC的面积为
D．b－c的取值范围为(－)
√
√
题号
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BCD　[对于A选项，因为(a＋b)(sin B－sin A)＝c(sin B－sin C)，
由正弦定理可得(a＋b)(b－a)＝c(b－c)，
整理可得b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理的推论可得cos A＝＝，
因为A∈(0，π)，故A＝，A错误；
对于B选项，因为a＝，由余弦定理和基本不等式可得a2＝3＝b2＋c2－
2bc cos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－＝，即b＋c≤2，
当且仅当b＝c＝时，等号成立，故△ABC的周长为a＋b＋c≤3，
即△ABC的周长的最大值为3，B正确；
对于C选项，由正弦定理可得＝＝＝2，则b＝2sin B≤2，
当且仅当B＝时，b取最大值，此时，c＝＝＝1，S△ABC＝ac＝，C正确；
对于D选项，由正弦定理可得＝＝＝＝2，则b＝2sin B，c＝2sin C，
题号
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所以b－c＝2sin B－2sin C＝2sin B－2sin (B＋A)＝2sin B－2
＝sin B－cos B＝2sin ，
因为A＝，则0题号
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2025·安徽江南十校一模)已知角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与圆O交于点A(1，2)．动点P以A为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点B，点P运动的轨迹长为，当角β的终边为射线OB时，tan β＝________．
－　
题号
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－　[由题得tan α＝＝2，且圆O的半径为r＝＝3，所以∠AOB＝＝，
所以tan β＝tan ＝＝＝－＝
－．]
题号
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13．[高考真题改编]函数f (x)＝sin2x＋4cosx，则f (x)的最小值为________．
　[f (x)＝sin2x＋4cosx＝1－cos2x＋4cosx＝－(cos x－2)2＋5，
因为x∈，所以cos x∈，cos x－2∈，
所以f (x)＝－(cos x－2)2＋5∈，故最小值为．]
　
题号
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14．[开放问题]将函数f (x)＝sin (2x＋φ)图象上的每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值________________．
－(答案不唯一)
题号
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－(答案不唯一)　[将函数f (x)＝sin (2x＋φ)图象上的每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象对应的解析式为g(x)＝sin ＝
sin ，
由题意g(x)的图象关于y轴对称，
所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，得φ＝－．]
题号
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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2025·辽宁辽阳二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin C＝c sin 2A．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的周长为3a，证明：△ABC为等边三角形．
题号
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[解]　(1)由a sin C＝c sin 2A及正弦定理，
得sin A sin C＝sin C sin 2A．
因为sin C>0，所以sin A＝2sin A cos A，则cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝．
题号
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(2)证明：由余弦定理得b2＋c2－bc＝a2．
因为△ABC的周长为3a，
即b＋c＝2a，
所以4b2＋4c2－4bc＝(b＋c)2，
即(b－c)2＝0，
所以b＝c＝a，故△ABC为等边三角形．
题号
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16．(15分)(2025·湖南邵阳二模)已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，sin x)，设函数f (x)＝a·b．
(1)求函数f (x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)当x∈时，t2－t≤f (x)，求实数t的取值范围．
题号
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[解]　(1)∵f (x)＝a·b＝sin2x＋sinx cos x＝sin 2x＝
sin ．
∴函数f (x)的最小正周期T＝＝π．
由＋2kπ≤2x－＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴f (x)的单调递减区间为，k∈Z．
(2)∵当0≤x≤时，－≤2x－，
∴结合y＝sin x的图象，当2x－＝－时，f (x)min＝sin ＝0．
∵当x∈时，t2－t≤f (x)，
∴t2－t≤0，解得0≤t≤．
∴实数t的取值范围为．
题号
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17．(15分)(2025·安徽安庆模拟)如图，在平面凸四边形ABCD中，tan ∠ABD＋tan ∠ADB＝．
(1)求∠ADB；
(2)若AD＝BD＝4，∠ACB＝∠BDC＝，求CD．
题号
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[解]　(1)由tan ∠ABD＋tan ∠ADB
＝得＝，
故＝，
所以＝．
因为sin (∠ABD＋∠ADB)＝sin (π－∠BAD)＝sin ∠BAD≠0，
故cos ∠ADB＝，又∠ADB∈(0，π)，
所以∠ADB＝．
(2)由AD＝BD＝4，∠ADB＝，故△ABD为边长为4的等边三角形，在△ABC中，∠ACB＝，由正弦定理得＝，故BC＝＝8sin ∠BAC，由于∠BAC＋∠BCA＋∠ABD＋∠CBD＝π，
又∠BCA＋∠ABD＝，所以∠BAC＋∠CBD＝，故BC＝8sin ∠BAC＝8cos ∠CBD，在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD×BC×cos ∠CBD，即CD2＝42＋BC2－8×BC×cos ∠CBD＝16，
得CD＝4．
题号
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18．(17分)[教材与高考衍生题]在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1)b＝a＋2，c＝a＋4，是否存在正整数a，使得∈N*，且△ABC为钝角三角形？若存在，求出a；若不存在，说明理由．
(2)若a＝b＝c＝4，D为BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF＝90°，∠CDF＝θ(0°<θ<90°)，求△DEF面积S的最小值及此时对应的θ的值．
题号
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[解]　(1)假设存在正整数a满足题设．
因为△ABC为钝角三角形，且a所以－1得解得2因为a∈N*，∈N*，所以a＝4．
(2)如图，因为∠EDF＝90°，∠CDF＝θ(0°<θ<90°)，所以∠BDE＝90°－θ．
在△CDF中，因为＝，所以DF＝，
在△BDE中，因为＝，所以DE＝．
所以S＝，
题号
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设f (θ)＝sin (θ＋60°)sin (150°－θ)(0°<θ<90°)，
所以f (θ)＝
＝cos2θ＋cosθsin θ＋sin2θ．
即f (θ)＝sin2θ，
所以S＝＝≥12－6．
当θ＝45°时，S取得最小值12－6．
题号
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题号
19．(17分)[知识交叉融合]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．
(1)求sin A．
(2)若△ABC的面积为．
①已知E为BC的中点，且b＋c＝8，求△ABC底边BC上中线AE的长；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
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题号
[解]　(1)由正弦定理得＝，即c2＋b2－a2＝bc，
故cos A＝＝＝，
因为cos A>0，
所以A∈，
所以sin A＝＝＝．
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题号
(2)①由(1)知sinA＝，因为△ABC的面积为，
所以bc sin A＝，解得bc＝16，且b＋c＝8，解得b＝c＝4，
由于＝)，所以＝＋＋2·)＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝(c2＋b2＋bc)
＝＝，
所以||2＝，即||＝．
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题号
②因为AD为角A的角平分线，
所以sin ∠BAD＝sin ∠CAD＝sin ，
由于S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，
得到|AD|c sin |AD|b sin ＝bc sin A＝bc sin cos ，
由于sin ≠0，所以|AD|(c＋b)＝2bc cos ，
由二倍角公式得cos A＝2cos2－1，
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题号
则2cos2－1＝，解得cos＝，
又bc＝16，
所以|AD|(c＋b)＝2bc cos ＝2×16×＝，由于b＋c≥2＝8，当且仅当b＝c＝4时，等号成立，
故＝|AD|(c＋b)≥2|AD|＝8|AD|，故|AD|≤，即AD长的最大值为．
谢 谢！

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