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第1课时　不等关系与不等式
【课程标准要求】　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步掌握用作差法比较两实数的大小.
知识归纳
知识点一　不等关系与不等式
常见的文字语言与符号语言之间的转换.
文字 语言 大于、高 于、超过 小于、低 于、少于 大于等于、 至少、不低于 小于等于、 至多、不超过
符号 语言 > < ≥ ≤
知识点二　实数大小比较的基本事实
依据 a>b a-b>0; a=b a-b=0; a结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与 0的大小
(1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
(2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小.
(3)对于某些问题,也可采用取中间值的方法比较大小.
知识点三　重要不等式
一般地, a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P40练习T1改编)下列说法错误的是(　　)
[A]a与b的和是非正数可表示为“a+b<0”
[B]甲的体重为x kg,乙的体重为y kg,则甲比乙重可表示为“x>y”
[C]某变量x至少为a可表示为“x≥a”
[D]某变量y不超过a可表示为“y≤a”
2.(x+1)(x-1)与x2的大小关系为(　　)
[A](x+1)(x-1)>x2
[B](x+1)(x-1)[C](x+1)(x-1)=x2
[D]不能确定
3.若A=a2+2ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是(　　)
[A]A≤B [B]A≥B
[C]AB [D]A>B
4.某商品包装上标有质量500±1 g,若用x(单位:g)表示商品的质量,则该商品的质量可用含绝对值的不等式表示为　　　 　　　　.
题型一　用不等式(组)表示不等关系
[例1] 某公司因发展需要,需购入一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买 6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
(1)仔细审题,注意同一个题目的单位是否一致.
(2)用适当的不等号连接,多个不等关系用不等式组表示.
(3)注意隐性不等关系,如由变量的实际意义限制的范围.
[变式训练] 在某校新生军训考核评比中,甲班的分数高于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用不等式组表示为(　　)
[A]
[B]
[C]
[D]
题型二　作差法比较大小
[例2] 设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.
所以m2+mn+n2=(m+)2+>0,所以x-y>0,所以x>y.
[典例迁移1] 比较(a-1)(a-3)与(a-2)2的大小.
[典例迁移2] 已知a,b>0,比较+与a+b的大小.
=(a-b)(-)==.因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0,
当a=b时,+-(a+b)==0,此时+=a+b;
当a≠b时,+-(a+b)=>0,此时+>a+b.
综上所述,当a=b时,+=a+b;当a≠b时,+>a+b.
作差法比较两个实数大小的基本步骤
题型三　作差法证明不等式
[例3] (北师大版必修第一册P25例2)试证明:若00,则 >.
因为a0,
又b>0,m>0,故>0.
因此>.
作差法是证明不等式的一种常用方法,一般要将不等式转化为两个式子差的形式,再通过恰当的等价变形来确定差的符号,从而证明原不等式成立.
[变式训练] 已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.某同学准备用自己存的零花钱买一套名著,他现在已存60元,计划从现在起以后每个月存30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要月数的x的不等式是(　　)
[A]30x-60≥400 [B]30x+60≥400
[C]30x-60≤400 [D]30x+60≤400
2.若a=x2+3x+5,b=3x+4,则(　　)
[A]a[B]a>b
[C]a=b
[D]a,b的大小关系无法确定
3.已知0[A]MN
[C]M=N [D]M≥N
所以M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0,
所以M>N.故选B.
4.已知a>b>c,则+的值是(　　)
[A]正数　 [B]负数
[C]非正数 [D]非负数
5.已知四个实数a,2a,a2,2a2,当0[A]a [B]2a2 [C]2a [D]a2
6.(多选)已知有学生若干人,住若干间宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,则学生人数可能为(　　)
[A]55 [B]59 [C]63 [D]67
因为x∈N*,所以x=10,11或12,学生人数分别为59,63,67.故选BCD.
7.(5分)已知a∈R,则a2+3a-1　　　　2a-2.(填“>”或“<”)
8.(5分)设a=+,b=+,则a与b的大小关系是　　　　　　.(用“>”连接)
9.(14分)(1)已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小;
(2)已知M=+与N=+,其中a>0,b>0,证明M≤N.
10.(15分)已知a>0且a≠1,比较 与 的大小.
11.两人共同参加一个游戏,游戏规则如下:其中一人在集合A={x3,x2y,xy2,y3}(x>0,y>0且x≠y)中任取2个元素并求和,剩下2个元素给另一个人并求和,和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜(　　)
[A]x3,x2y [B]x3,xy2
[C]x3,y3 [D]x2y,xy2
12.已知甲、乙两人均两次购买同一种学习用品,甲不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量固定;乙不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数固定.假设所购物品的价格发生波动,则(　　)
[A]两位中省钱小能手是甲
[B]两位中谁是省钱小能手与价格升降有关
[C]两位中省钱小能手是乙
[D]两位中谁是省钱小能手与购买数量有关
13.(15分)已知方程x2+4x+m=0的两个实根为x1,x2,将A=+与B=x1x2(x1+x2)表示为m的代数式,并比较A与B的大小.
14.已知矩形ABCD的一组邻边长为a,b-c,矩形EFGH的一组邻边长为b,a-c(a>b>c>0),按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为S1,S2,则S1与S2的大小关系为(　　)
[A]S1>S2 [B]S1=S2
[C]S1【课程标准要求】　1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.
知识归纳
知识点一　等式性质
性质1:如果a=b,那么b=a.
性质2:如果a=b,b=c,那么a=c.
性质3:如果a=b,那么a±c=b±c.
性质4:如果a=b,那么ac=bc.
性质5:如果a=b,c≠0,那么=.
知识点二　不等式的基本性质
序号 性质 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b,b>c a>c
3 可加性 a>b a+c>b+c
4 可乘性 ac>bc c的符号
ac5 同向可 加性 a+c>b+d
6 同向同正 可乘性 ac>bd
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2) 同正
(1)倒数性质:若a>b>0,则0<<;若a>.
(2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算.
基础自测
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是(　　)
[A]a>b>-b>-a [B]a>-b>-a>b
[C]a>-b>b>-a [D]a>b>-a>-b
2.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,则下列选项正确的是(　　)
[A]a+d>b+c [B]a+c>b+d
[C]ad>bc [D]ac>bd
3.与a>b等价的不等式是(　　)
[A]|a|>|b| [B]a2>b2
[C]>1 [D]a3>b3
故选D.
4.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T5改编)已知3≤x≤7,1≤y≤2,则x+2y的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
题型一　利用不等式的基本性质判断命题真假
[例1] (多选)对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题为真命题的是(　　)
[A]若a>b,c≠0,则ac>bc
[B]若ac2>bc2,则a>b
[C]若aab>b2
[D]若a>b>0,c>d,则ac>bd
利用不等式的性质判断命题真假的两种方法
(1)直接法:对于真命题,利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明;对于假命题,只需举出一个反例即可.
(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则,一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.
[变式训练] (多选)下列说法正确的是(　　)
[A]若a>b,则<
[B]若b[C]若a>b>c,则(a-c)2>(b-c)2
[D]若<,则a题型二　利用不等式的基本性质证明不等式
[例2] (人教B版必修第一册P65例2)(1)已知a>b,cb-d.
(2)已知a>b,ab>0,求证:<.
(3)已知a>b>0,0.
所以a-c>b-d.
(2)因为ab>0,所以>0.
又a>b,所以a·>b·,
即>,因此<.
(3)因为0>0.
又a>b>0,所以a·>b·,即>.
(1)利用不等式的性质证明不等式,其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用性质时要注意性质适用的前提条件.
(2)这种利用不等式的性质证明的题目一般也可以使用作差法,但是作差法的变形有时比较复杂.
[变式训练] 已知c>a>b>0,求证:>.
法二　因为a>b>0,所以<,又c>0,所以<,所以-1<-1,即<,因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0,所以>.
法三　-===,因为c>a>b>0,所以a-b>0,c-a>0,c-b>0,所以>.
题型三　利用不等式的性质求代数式的取值范围
[例3] 已知-6因为2因为2综上,-10<2a+b<19,-9(1)根据不等式的性质求取值范围问题,首先要明确同向不等式具有可加性及正的同向不等式具有可乘性,但是不等式不能相减,要求a-b的取值范围,只能先求-b的取值范围,再与a的取值范围相加.同理,不等式也不能相除,欲求的取值范围,只能先求出的取值范围后再与a的取值范围相乘.
(2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变;同乘一个负数,不等号变为相反的方向.因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负.
(3)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.同向不等式的两边可以相加,但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
[变式训练] 已知实数a,b满足1≤a+b≤8,3≤a-b≤4.
(1)求实数a,b的取值范围;
(2)求2a-5b的取值范围.
所以4≤(a+b)+(a-b)≤12,
即4≤2a≤12,所以2≤a≤6.
b=[(a+b)-(a-b)]=[(a+b)+(b-a)],因为3≤a-b≤4,
所以-4≤b-a≤-3,又1≤a+b≤8,
所以-3≤(a+b)-(a-b)≤5,
所以-≤[(a+b)-(a-b)]≤,
即-≤b≤.
(2)设2a-5b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,则解得
所以2a-5b=-(a+b)+(a-b),
因为1≤a+b≤8,3≤a-b≤4,
所以-12≤-(a+b)≤-,≤(a-b)≤14,
所以-≤2a-5b≤.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知ab>bc,则下列不等式一定成立的是(　　)
[A]a>c [B]a[C]< [D]>
2.设a,b,c∈R,且a>b,则(　　)
[A]ac2>bc2 [B]a2|a|>b2|b|
[C]a(a-b)>b(a-b)　　 [D]>
3.一高中某班打算开展辩论赛活动,现有辩题A,B可供选择,每名学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备,已知该班的女生人数多于男生人数,经过统计,选辩题A的人数多于选辩题B的人数,则(　　)
[A]选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数
[B]选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数
[C]选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数
[D]选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数
4.已知实数a,b,c满足a>b>0>c,则下列不等式中成立的是(　　)
[A]a+
[C]< [D]>
5.(多选)下列是<<0成立的必要条件的有(　　)
[A]|a|<|b| [B]0<<1
[C]>0 [D]acba>0,得0<<1,由b0,因此>0是<<0成立的一个必要条件,C符合题意;对于D,由<<0,得bc6.设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值为(　　)
[A]27 [B]24 [C]12 [D]32
7.(5分)已知a,b,c∈R,命题p:若a>b>c,则ab2ab2≥cb2.所以对于任意a>b>c,命题p均为假命题,例如a=1,b=0,c=-1.
8.(5分)若实数a,b满足-1即-39.(14分)已知实数a,b满足-1(1)求a+b和ab的取值范围;
(2)证明:1+ab>a+b.
所以-2当-10<-a<1,0<-b<1,此时0当-1此时0<-ab<1,得到-1当0此时0<-ab<1,得到-1当0当a=0或b=0时,ab=0.综上,-110.(15分)如果向一杯糖水里加糖,糖水变甜了,这其中蕴含着著名的糖水不等式:
<(x>y>0,m>0).若已知a,b,c是三角形的三边,试利用糖水不等式,求证:
1<++<2.
同理<,<,所以++<++==2,
又>,>,>,所以++>=1.所以原不等式成立.
11.已知a>b>c,2a+b+c=0,则(　　)
[A]-3<<-1 [B]-1<<-
[C]-2<<-1 [D]-1<<-
12.(5分)若二次函数y=ax2+bx+c满足以下条件:①该函数的图象过原点;②当 x=-1时,y的取值范围为大于等于1且小于等于2;③当x=1时,y的取值范围为大于等于3且小于等于4.则当x=-2时,y的取值范围是　 .
当x=-1时,1≤a-b≤2,①
当x=1时,3≤a+b≤4,②
当x=-2时,y=4a-2b.设存在实数m,n,使得4a-2b=m(a+b)+n(a-b),即4a-2b=(m+n)a+(m-n)b,所以解得所以4a-2b=(a+b)+3(a-b).由①②可知3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6,所以3+3≤4a-2b≤4+6,即6≤4a-2b≤10,故当x=-2时,y的取值范围是{y|6≤y≤10}.
13.(15分)设0所以x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)=1-y+y-xy=1-xy<1,即x(1-y)+y(1-x)<1.
法二　因为0所以x(1-y)+y(1-x)<1-y+y=1,即x(1-y)+y(1-x)<1.
法三　因为x(1-y)+y(1-x)+xy+(1-x)(1-y)=1,所以x(1-y)+y(1-x)=1-xy-(1-x)(1-y).
因为0法四　如图,作边长为1的正方形ABCD,分别在边AD,AB上取点E,F,使得AF=x(0AE=y(014.有外表一样、质量不同的四个小球,它们的质量分别是a,b,c,d.已知a+b=c+d,
a+d>b+c,a+c[A]d>b>a>c　 [B]b>c>d>a　
[C]d>b>c>a　 [D]c>a>d>b第2课时　等式性质与不等式性质
【课程标准要求】　1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.
知识归纳
知识点一　等式性质
性质1:如果a=b,那么b=a.
性质2:如果a=b,b=c,那么a=c.
性质3:如果a=b,那么a±c=b±c.
性质4:如果a=b,那么ac=bc.
性质5:如果a=b,c≠0,那么=.
知识点二　不等式的基本性质
序号 性质 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b,b>c a>c
3 可加性 a>b a+c>b+c
4 可乘性 ac>bc c的符号
ac5 同向可 加性 a+c>b+d
6 同向同正 可乘性 ac>bd
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2) 同正
(1)倒数性质:若a>b>0,则0<<;若a>.
(2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算.
基础自测
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是(　　)
[A]a>b>-b>-a [B]a>-b>-a>b
[C]a>-b>b>-a [D]a>b>-a>-b
【答案】 C
【解析】 因为a+b>0,b<0,所以a>-b>0,0>b>-a,所以a>-b>b>-a.故选C.
2.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,则下列选项正确的是(　　)
[A]a+d>b+c [B]a+c>b+d
[C]ad>bc [D]ac>bd
【答案】 B
【解析】 因为a>b,c>d,根据不等式的同向可加性得a+c>b+d,故B正确;其余选项都可以举反例说明是错误的.故选B.
3.与a>b等价的不等式是(　　)
[A]|a|>|b| [B]a2>b2
[C]>1 [D]a3>b3
【答案】 D
【解析】 可利用赋值法.令a=1,b=-2,满足a>b,但|a|<|b|,a2故选D.
4.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T5改编)已知3≤x≤7,1≤y≤2,则x+2y的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
【答案】 11　5
【解析】 因为3≤x≤7,1≤y≤2,则2≤2y≤4,所以5≤x+2y≤11,所以x+2y的最大值为11,最小值为5.
题型一　利用不等式的基本性质判断命题真假
[例1] (多选)对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题为真命题的是(　　)
[A]若a>b,c≠0,则ac>bc
[B]若ac2>bc2,则a>b
[C]若aab>b2
[D]若a>b>0,c>d,则ac>bd
【答案】 BC
【解析】 对于A,当a>b,c<0时,acbc2,可得c2>0,则a>b,即B正确;对于C,由ab·a,即a2>ab,由ab·b,即ab>b2,因此a2>ab>b2,即C正确;对于D,若a=2>b=1>0,c=-1>d=-2,则ac=bd=-2,即D错误.故选BC.
利用不等式的性质判断命题真假的两种方法
(1)直接法:对于真命题,利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明;对于假命题,只需举出一个反例即可.
(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则,一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.
[变式训练] (多选)下列说法正确的是(　　)
[A]若a>b,则<
[B]若b[C]若a>b>c,则(a-c)2>(b-c)2
[D]若<,则a【答案】 CD
【解析】 对于A,当a=1,b=-1时,=1>-1=,故A错误;对于B,当a=1,b=-1时,a2=b2=1,故B错误;对于C,若a>b>c,则a-c>b-c>0,所以(a-c)2>(b-c)2,故C正确;对于D,若<,则a题型二　利用不等式的基本性质证明不等式
[例2] (人教B版必修第一册P65例2)(1)已知a>b,cb-d.
(2)已知a>b,ab>0,求证:<.
(3)已知a>b>0,0.
【证明】 (1)因为a>b,cb,-c>-d,
所以a-c>b-d.
(2)因为ab>0,所以>0.
又a>b,所以a·>b·,
即>,因此<.
(3)因为0>0.
又a>b>0,所以a·>b·,即>.
(1)利用不等式的性质证明不等式,其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用性质时要注意性质适用的前提条件.
(2)这种利用不等式的性质证明的题目一般也可以使用作差法,但是作差法的变形有时比较复杂.
[变式训练] 已知c>a>b>0,求证:>.
【证明】 法一　因为c>a>b>0,所以0>0,又a>b>0,所以>.
法二　因为a>b>0,所以<,又c>0,所以<,所以-1<-1,即<,因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0,所以>.
法三　-===,因为c>a>b>0,所以a-b>0,c-a>0,c-b>0,所以>.
题型三　利用不等式的性质求代数式的取值范围
[例3] 已知-6【解】 因为-6因为2因为2综上,-10<2a+b<19,-9(1)根据不等式的性质求取值范围问题,首先要明确同向不等式具有可加性及正的同向不等式具有可乘性,但是不等式不能相减,要求a-b的取值范围,只能先求-b的取值范围,再与a的取值范围相加.同理,不等式也不能相除,欲求的取值范围,只能先求出的取值范围后再与a的取值范围相乘.
(2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变;同乘一个负数,不等号变为相反的方向.因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负.
(3)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.同向不等式的两边可以相加,但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
[变式训练] 已知实数a,b满足1≤a+b≤8,3≤a-b≤4.
(1)求实数a,b的取值范围;
(2)求2a-5b的取值范围.
【解】 (1)因为1≤a+b≤8,3≤a-b≤4,
所以4≤(a+b)+(a-b)≤12,
即4≤2a≤12,所以2≤a≤6.
b=[(a+b)-(a-b)]=[(a+b)+(b-a)],因为3≤a-b≤4,
所以-4≤b-a≤-3,又1≤a+b≤8,
所以-3≤(a+b)-(a-b)≤5,
所以-≤[(a+b)-(a-b)]≤,
即-≤b≤.
(2)设2a-5b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,则解得
所以2a-5b=-(a+b)+(a-b),
因为1≤a+b≤8,3≤a-b≤4,
所以-12≤-(a+b)≤-,≤(a-b)≤14,
所以-≤2a-5b≤.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知ab>bc,则下列不等式一定成立的是(　　)
[A]a>c [B]a[C]< [D]>
【答案】 D
【解析】 由ab>bc,得b≠0,对于A,B,当b>0时,a>c,当b<0时,abc,b2>0,得>,则C错误,D正确.故选D.
2.设a,b,c∈R,且a>b,则(　　)
[A]ac2>bc2 [B]a2|a|>b2|b|
[C]a(a-b)>b(a-b)　　 [D]>
【答案】 C
【解析】 对于A,当c=0时,ac2=bc2,故A错误;对于B,当a=-1,b=-2时,满足a>b,此时a2|a|=1,b2|b|=8,a2|a|b,可得a-b>0,所以a(a-b)>b(a-b),故C正确;对于D,当c=0时,=,故D错误.故选C.
3.一高中某班打算开展辩论赛活动,现有辩题A,B可供选择,每名学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备,已知该班的女生人数多于男生人数,经过统计,选辩题A的人数多于选辩题B的人数,则(　　)
[A]选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数
[B]选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数
[C]选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数
[D]选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数
【答案】 A
【解析】 设选辩题A的男生有x人,选辩题A的女生有y人,选辩题B的男生有m人,选辩题B的女生有n人.已知该班女生人数多于男生人数,所以y+n>x+m,又选辩题A的人数多于选辩题B的人数,所以x+y>m+n.将这两个不等式相加得到2y+x+n>2m+x+n,两边同时消去x+n,得到2y>2m,即y>m,则选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数.故选A.
4.已知实数a,b,c满足a>b>0>c,则下列不等式中成立的是(　　)
[A]a+
[C]< [D]>
【答案】 D
【解析】 对于A,a+-(b+)=a-b+(-),因为a>b>0,所以a-b>0,->0,所以a-b+(-)>0,即a+>b+,故A错误;对于B,令a=2,b=1,则=<=2,故B错误;对于C,因为a>b>0>c,所以>,所以>,故C错误;对于D,-==,因为a>b>0>c,所以c-a<0,c-b<0,(c-a)(c-b)>0,a2-b2>0,c(b-a)>0,所以>0,即>,故D正确.故选D.
5.(多选)下列是<<0成立的必要条件的有(　　)
[A]|a|<|b| [B]0<<1
[C]>0 [D]ac【答案】 ABC
【解析】 由<<0,得c≠0,所以<<0,则<<0.对于A,<<0,当c<0时,b>a>0,当c>0时,
ba>0,得0<<1,由b0,因此>0是<<0成立的一个必要条件,C符合题意;对于D,由<<0,得bc6.设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值为(　　)
[A]27 [B]24 [C]12 [D]32
【答案】 A
【解析】 由3≤xy2≤8,得≤≤,又4≤≤9,所以16≤≤81,所以×16≤·≤×81,即2≤≤27,所以的最大值为27.故选A.
7.(5分)已知a,b,c∈R,命题p:若a>b>c,则ab2【答案】 1　0　-1(答案不唯一,满足a>b>c即可)
【解析】 因为a>b>c,b2≥0,若b=0,则ab2=cb2=0;若b≠0,则b2>0,可得ab2>cb2.综上所述,
ab2≥cb2.所以对于任意a>b>c,命题p均为假命题,例如a=1,b=0,c=-1.
8.(5分)若实数a,b满足-1【答案】 {x|-3【解析】 依题意,-1即-39.(14分)已知实数a,b满足-1(1)求a+b和ab的取值范围;
(2)证明:1+ab>a+b.
(1)【解】 因为-1所以-2当-10<-a<1,0<-b<1,此时0当-1此时0<-ab<1,得到-1当0此时0<-ab<1,得到-1当0当a=0或b=0时,ab=0.综上,-1(2)【证明】 因为1+ab-(a+b)=(1-a)(1-b),又-10,得到1+ab>a+b.
10.(15分)如果向一杯糖水里加糖,糖水变甜了,这其中蕴含着著名的糖水不等式:
<(x>y>0,m>0).若已知a,b,c是三角形的三边,试利用糖水不等式,求证:
1<++<2.
【证明】 因为a,b,c是三角形的三边,所以b+c>a>0,由题知<=,
同理<,<,所以++<++==2,
又>,>,>,所以++>=1.所以原不等式成立.
11.已知a>b>c,2a+b+c=0,则(　　)
[A]-3<<-1 [B]-1<<-
[C]-2<<-1 [D]-1<<-
【答案】 A
【解析】 因为a>b>c,2a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-2a-c.因为a>b,所以a>-2a-c,即3a>-c,解得>-3;又b>c,所以-2a-c>c,即a<-c,得<-1,所以-3<<-1.故选A.
12.(5分)若二次函数y=ax2+bx+c满足以下条件:①该函数的图象过原点;②当 x=-1时,y的取值范围为大于等于1且小于等于2;③当x=1时,y的取值范围为大于等于3且小于等于4.则当x=-2时,y的取值范围是　 .
【答案】 {y|6≤y≤10}
【解析】 因为二次函数y=ax2+bx+c的图象过原点,所以c=0,所以y=ax2+bx.
当x=-1时,1≤a-b≤2,①
当x=1时,3≤a+b≤4,②
当x=-2时,y=4a-2b.设存在实数m,n,使得4a-2b=m(a+b)+n(a-b),即4a-2b=(m+n)a+(m-n)b,所以解得所以4a-2b=(a+b)+3(a-b).由①②可知3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6,所以3+3≤4a-2b≤4+6,即6≤4a-2b≤10,故当x=-2时,y的取值范围是{y|6≤y≤10}.
13.(15分)设0【证明】 法一　因为0所以x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)=1-y+y-xy=1-xy<1,即x(1-y)+y(1-x)<1.
法二　因为0所以x(1-y)+y(1-x)<1-y+y=1,即x(1-y)+y(1-x)<1.
法三　因为x(1-y)+y(1-x)+xy+(1-x)(1-y)=1,所以x(1-y)+y(1-x)=1-xy-(1-x)(1-y).
因为0法四　如图,作边长为1的正方形ABCD,分别在边AD,AB上取点E,F,使得AF=x(0AE=y(014.有外表一样、质量不同的四个小球,它们的质量分别是a,b,c,d.已知a+b=c+d,
a+d>b+c,a+c[A]d>b>a>c　 [B]b>c>d>a　
[C]d>b>c>a　 [D]c>a>d>b
【答案】 A
【解析】 因为a+b=c+d,a+d>b+c,所以a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即a>c,所以bb>a>c.故选A.第1课时　不等关系与不等式
【课程标准要求】　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步掌握用作差法比较两实数的大小.
知识归纳
知识点一　不等关系与不等式
常见的文字语言与符号语言之间的转换.
文字 语言 大于、高 于、超过 小于、低 于、少于 大于等于、 至少、不低于 小于等于、 至多、不超过
符号 语言 > < ≥ ≤
知识点二　实数大小比较的基本事实
依据 a>b a-b>0; a=b a-b=0; a结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与 0的大小
(1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
(2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小.
(3)对于某些问题,也可采用取中间值的方法比较大小.
知识点三　重要不等式
一般地, a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P40练习T1改编)下列说法错误的是(　　)
[A]a与b的和是非正数可表示为“a+b<0”
[B]甲的体重为x kg,乙的体重为y kg,则甲比乙重可表示为“x>y”
[C]某变量x至少为a可表示为“x≥a”
[D]某变量y不超过a可表示为“y≤a”
【答案】 A
【解析】 因为非正数小于等于0,所以不等式应为a+b≤0,故A错误,其余选项都正确.
故选A.
2.(x+1)(x-1)与x2的大小关系为(　　)
[A](x+1)(x-1)>x2
[B](x+1)(x-1)[C](x+1)(x-1)=x2
[D]不能确定
【答案】 B
【解析】 由x2-(x+1)(x-1)=x2-(x2-1)=1>0,得x2>(x+1)(x-1).故选B.
3.若A=a2+2ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是(　　)
[A]A≤B [B]A≥B
[C]AB [D]A>B
【答案】 B
【解析】 由A=a2+2ab,B=4ab-b2,得A-B=a2+2ab-(4ab-b2)=(a-b)2≥0,所以A≥B.故选B.
4.某商品包装上标有质量500±1 g,若用x(单位:g)表示商品的质量,则该商品的质量可用含绝对值的不等式表示为　　　 　　　　.
【答案】 |x-500|≤1
【解析】 根据题意知该商品的质量与500 g作差的绝对值小于等于1.
故不等式为|x-500|≤1.
题型一　用不等式(组)表示不等关系
[例1] 某公司因发展需要,需购入一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买 6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
【解】 设分别购买A型汽车和B型汽车x辆、y辆,则
(1)仔细审题,注意同一个题目的单位是否一致.
(2)用适当的不等号连接,多个不等关系用不等式组表示.
(3)注意隐性不等关系,如由变量的实际意义限制的范围.
[变式训练] 在某校新生军训考核评比中,甲班的分数高于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用不等式组表示为(　　)
[A]
[B]
[C]
[D]
【答案】 D
【解析】 由题意得故选D.
题型二　作差法比较大小
[例2] 设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.
【解】 x-y=(m-n)m3-(m-n)n3=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2),因为m≠n,所以(m-n)2>0,又m2+mn+n2=(m+)2+≥0,当且仅当m+=n=0,即m=n=0时,等号成立,但m≠n,
所以m2+mn+n2=(m+)2+>0,所以x-y>0,所以x>y.
[典例迁移1] 比较(a-1)(a-3)与(a-2)2的大小.
【解】 因为(a-1)(a-3)-(a-2)2=a2-4a+3-(a2-4a+4)=-1<0,所以(a-1)(a-3)<(a-2)2.
[典例迁移2] 已知a,b>0,比较+与a+b的大小.
【解】 +-(a+b)=(-a)+(-b)=+=-
=(a-b)(-)==.因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0,
当a=b时,+-(a+b)==0,此时+=a+b;
当a≠b时,+-(a+b)=>0,此时+>a+b.
综上所述,当a=b时,+=a+b;当a≠b时,+>a+b.
作差法比较两个实数大小的基本步骤
题型三　作差法证明不等式
[例3] (北师大版必修第一册P25例2)试证明:若00,则 >.
【证明】 -==.
因为a0,
又b>0,m>0,故>0.
因此>.
作差法是证明不等式的一种常用方法,一般要将不等式转化为两个式子差的形式,再通过恰当的等价变形来确定差的符号,从而证明原不等式成立.
[变式训练] 已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.
【证明】 x2+2y2-(2xy+2y-1)=x2+2y2-2xy-2y+1=(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1)=(x-y)2+(y-1)2≥0,当且仅当x=y=1时,等号成立,所以x2+2y2≥2xy+2y-1.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.某同学准备用自己存的零花钱买一套名著,他现在已存60元,计划从现在起以后每个月存30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要月数的x的不等式是(　　)
[A]30x-60≥400 [B]30x+60≥400
[C]30x-60≤400 [D]30x+60≤400
【答案】 B
【解析】 x个月后他至少有400元,可表示成30x+60≥400.故选B.
2.若a=x2+3x+5,b=3x+4,则(　　)
[A]a[B]a>b
[C]a=b
[D]a,b的大小关系无法确定
【答案】 B
【解析】 因为a-b=x2+3x+5-3x-4=x2+1>0,所以a>b.故选B.
3.已知0[A]MN
[C]M=N [D]M≥N
【答案】 B
【解析】 因为0所以M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0,
所以M>N.故选B.
4.已知a>b>c,则+的值是(　　)
[A]正数　 [B]负数
[C]非正数 [D]非负数
【答案】 A
【解析】 +==.因为a>b>c,所以b-a<0,b-c>0,c-a<0,所以>0.故选A.
5.已知四个实数a,2a,a2,2a2,当0[A]a [B]2a2 [C]2a [D]a2
【答案】 C
【解析】 由00,则2a>a;2a-a2=a(2-a)>0,则2a>a2;2a-2a2=2a(1-a)>0,则2a>2a2,所以这四个实数中最大的是2a.故选C.
6.(多选)已知有学生若干人,住若干间宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,则学生人数可能为(　　)
[A]55 [B]59 [C]63 [D]67
【答案】 BCD
【解析】 设宿舍有x间,则学生有(4x+19)人,依题意,得解得因为x∈N*,所以x=10,11或12,学生人数分别为59,63,67.故选BCD.
7.(5分)已知a∈R,则a2+3a-1　　　　2a-2.(填“>”或“<”)
【答案】 >
【解析】 因为a2+3a-1-(2a-2)=a2+a+1=(a+)2+>0,所以a2+3a-1>2a-2.
8.(5分)设a=+,b=+,则a与b的大小关系是　　　　　　.(用“>”连接)
【答案】 a>b
【解析】 =7+10+2=17+2,=3+14+2=17+2,
因为17+2>17+2,所以>,又 +>0,+>0,
所以+>+,即a>b.
9.(14分)(1)已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小;
(2)已知M=+与N=+,其中a>0,b>0,证明M≤N.
(1)【解】 3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1),因为x≤1,所以x-1≤0,又3x2+1>0,所以(3x2+1)·(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1.
(2)【证明】 M-N=(+)-(+)=(-)-(-)=-=(a-b)(-)=-,
因为a>0,b>0,所以(1+a)(1+b)>0,-(a-b)2≤0,所以M-N≤0,即M≤N.
10.(15分)已知a>0且a≠1,比较 与 的大小.
【解】 因为-==,
所以当a>1时,-2a<0,a+1>0,a-1>0,
所以<0,所以<;
当00,a-1<0,
所以>0,所以>.
综上,当a>1时,<;
当0.
11.两人共同参加一个游戏,游戏规则如下:其中一人在集合A={x3,x2y,xy2,y3}(x>0,y>0且x≠y)中任取2个元素并求和,剩下2个元素给另一个人并求和,和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜(　　)
[A]x3,x2y [B]x3,xy2
[C]x3,y3 [D]x2y,xy2
【答案】 C
【解析】 若先取者取x3和x2y,则(x3+x2y)-(xy2+y3)=x2(x+y)-y2(x+y)=(x+y)·(x2-y2)=
(x+y)2(x-y),根据x>0,y>0且x≠y,不能确定大小关系,A错误;若先取者取x3和xy2,则(x3+xy2)-(x2y+y3)=x(x2+y2)-y(x2+y2)=(x2+y2)(x-y),根据x>0,y>0且x≠y,不能确定大小关系,B错误;若先取者取x3和y3,则(x3+y3)-(x2y+xy2)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),因为x>0,y>0且x≠y,所以上式大于0,C正确,D错误.故选C.
12.已知甲、乙两人均两次购买同一种学习用品,甲不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量固定;乙不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数固定.假设所购物品的价格发生波动,则(　　)
[A]两位中省钱小能手是甲
[B]两位中谁是省钱小能手与价格升降有关
[C]两位中省钱小能手是乙
[D]两位中谁是省钱小能手与购买数量有关
【答案】 C
【解析】 设第一次所购物品的单价为p1,第二次所购物品的单价为p2,甲单次购买物品的数量为n,则甲两次所购物品的平均价格为=.设乙单次购买物品所花的钱数为m,则第一次购买物品的数量为,第二次购买物品的数量为,则乙两次所购物品的平均价格为=.因为-=-==≥0,但 p1≠p2,故等号不能取到,所以甲两次所购物品的平均价格大于乙两次所购物品的平均价格,故乙是省钱小能手.故选C.
13.(15分)已知方程x2+4x+m=0的两个实根为x1,x2,将A=+与B=x1x2(x1+x2)表示为m的代数式,并比较A与B的大小.
【解】 由题意得x1+x2=-4,x1x2=m,且Δ=16-4m≥0,解得m≤4,所以A=+=(x1+x2)2-2x1x2=
16-2m,B=x1·x2(x1+x2)=-4m,所以A-B=16-2m-(-4m)=16+2m.当-80,即A>B;当m=-8时,16+2m=0,即A=B;当m<-8时,16+2m<0,即A综上,当-8B;当m=-8时,A=B;当m<-8时,A14.已知矩形ABCD的一组邻边长为a,b-c,矩形EFGH的一组邻边长为b,a-c(a>b>c>0),按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为S1,S2,则S1与S2的大小关系为(　　)
[A]S1>S2 [B]S1=S2
[C]S1【答案】 C
【解析】 设空白处面积为S,则S1=a(b-c)-S,S2=b(a-c)-S,
所以S1-S2=a(b-c)-S-b(a-c)+S=ab-ac-ab+bc=c(b-a),
又c>0,且b-a<0,所以S1-S2<0,所以S1第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质
第 1课时　不等关系与不等式
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步掌握用作差法比较两实数的大小.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　不等关系与不等式
知识归纳
常见的文字语言与符号语言之间的转换.
文字 语言 大于、高 于、超过 小于、低 于、少于 大于等于、 至少、不低于 小于等于、
至多、不超过
符号 语言 >
<
≥
≤
知识点二　实数大小比较的基本事实
依据 a>b ;
a=b a-b=0;
a结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的 与 的大小
a-b>0
a-b<0
差
0
·疑难解惑·
(1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
(2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小.
(3)对于某些问题,也可采用取中间值的方法比较大小.
知识点三　重要不等式
一般地, a,b∈R,有a2+b2 2ab,当且仅当 时,等号成立.
≥
a=b
基础自测
1.(人教A版必修第一册P40练习T1改编)下列说法错误的是(　　)
[A]a与b的和是非正数可表示为“a+b<0”
[B]甲的体重为x kg,乙的体重为y kg,则甲比乙重可表示为“x>y”
[C]某变量x至少为a可表示为“x≥a”
[D]某变量y不超过a可表示为“y≤a”
A
【解析】 因为非正数小于等于0,所以不等式应为a+b≤0,故A错误,其余选项都正确.故选A.
2.(x+1)(x-1)与x2的大小关系为(　　)
[A](x+1)(x-1)>x2
[B](x+1)(x-1)[C](x+1)(x-1)=x2
[D]不能确定
B
【解析】 由x2-(x+1)(x-1)=x2-(x2-1)=1>0,得x2>(x+1)(x-1).故选B.
3.若A=a2+2ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是(　　)
[A]A≤B [B]A≥B
[C]AB [D]A>B
B
【解析】 由A=a2+2ab,B=4ab-b2,得A-B=a2+2ab-(4ab-b2)=(a-b)2≥0,所以A≥B.故选B.
4.某商品包装上标有质量500±1 g,若用x(单位:g)表示商品的质量,则该商品的质量可用含绝对值的不等式表示为　　　 　　　　.
|x-500|≤1
【解析】 根据题意知该商品的质量与500 g作差的绝对值小于等于1.故不等式为|x-500|≤1.
关键能力·素养培优
[例1] 某公司因发展需要,需购入一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买 6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
题型一　用不等式(组)表示不等关系
·解题策略·
(1)仔细审题,注意同一个题目的单位是否一致.
(2)用适当的不等号连接,多个不等关系用不等式组表示.
(3)注意隐性不等关系,如由变量的实际意义限制的范围.
[变式训练] 在某校新生军训考核评比中,甲班的分数高于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用不等式组表示为(　　)
D
题型二　作差法比较大小
[例2] 设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.
[典例迁移1] 比较(a-1)(a-3)与(a-2)2的大小.
【解】 因为(a-1)(a-3)-(a-2)2=a2-4a+3-(a2-4a+4)=-1<0,
所以(a-1)(a-3)<(a-2)2.
·解题策略·
作差法比较两个实数大小的基本步骤
题型三　作差法证明不等式
·解题策略·
作差法是证明不等式的一种常用方法,一般要将不等式转化为两个式子差的形式,再通过恰当的等价变形来确定差的符号,从而证明原不等式成立.
[变式训练] 已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.
【证明】 x2+2y2-(2xy+2y-1)
=x2+2y2-2xy-2y+1
=(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1)
=(x-y)2+(y-1)2≥0,
当且仅当x=y=1时,等号成立,所以x2+2y2≥2xy+2y-1.
感谢观看(共29张PPT)
第2课时　等式性质与
不等式性质
1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　等式性质
知识归纳
性质1:如果a=b,那么b=a.
性质2:如果a=b,b=c,那么a=c.
性质3:如果a=b,那么a±c=b±c.
性质4:如果a=b,那么ac=bc.
知识点二　不等式的基本性质
序号 性质 性质内容 注意
1 对称性 a>b
2 传递性 a>b,b>c
3 可加性 a>b a+c b+c
ba>c
>
>
<
>
>
an>bn
·疑难解惑·
(2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算.
基础自测
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是(　　)
[A]a>b>-b>-a [B]a>-b>-a>b
[C]a>-b>b>-a [D]a>b>-a>-b
C
【解析】 因为a+b>0,b<0,所以a>-b>0,0>b>-a,所以a>-b>b>-a.故选C.
2.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,则下列选项正确的是(　　)
[A]a+d>b+c [B]a+c>b+d
[C]ad>bc [D]ac>bd
B
【解析】 因为a>b,c>d,根据不等式的同向可加性得a+c>b+d,故B正确;其余选项都可以举反例说明是错误的.故选B.
3.与a>b等价的不等式是(　　)
D
4.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T5改编)已知3≤x≤7,1≤y≤2,则x+2y的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
11
【解析】 因为3≤x≤7,1≤y≤2,则2≤2y≤4,所以5≤x+2y≤11,所以x+2y的最大值为11,最小值为5.
5
关键能力·素养培优
[例1] (多选)对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题为真命题的是(　 　)
[A]若a>b,c≠0,则ac>bc
[B]若ac2>bc2,则a>b
[C]若aab>b2
[D]若a>b>0,c>d,则ac>bd
题型一　利用不等式的基本性质判断命题真假
BC
【解析】 对于A,当a>b,c<0时,acbc2,可得c2>0,则a>b,即B正确;对于C,由ab·a,即a2>ab,由ab·b,即ab>b2,因此a2>ab>b2,即C正确;对于D,若a=2>b=1>0,c=-1>d=-2,则ac=bd=-2,即D错误.故选BC.
·解题策略·
利用不等式的性质判断命题真假的两种方法
(1)直接法:对于真命题,利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明;对于假命题,只需举出一个反例即可.
(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则,一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.
[变式训练] (多选)下列说法正确的是(　 　)
CD
题型二　利用不等式的基本性质证明不等式
[例2] (人教B版必修第一册P65例2)(1)已知a>b,cb-d.
【证明】 (1)因为a>b,cb,-c>-d,
所以a-c>b-d.
·解题策略·
(1)利用不等式的性质证明不等式,其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用性质时要注意性质适用的前提条件.
(2)这种利用不等式的性质证明的题目一般也可以使用作差法,但是作差法的变形有时比较复杂.
题型三　利用不等式的性质求代数式的取值范围
·解题策略·
·解题策略·
(2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变;同乘一个负数,不等号变为相反的方向.因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负.
(3)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.同向不等式的两边可以相加,但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
[变式训练] 已知实数a,b满足1≤a+b≤8,3≤a-b≤4.
(1)求实数a,b的取值范围;
(2)求2a-5b的取值范围.
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