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第1课时　基本不等式
【课程标准要求】　1.知道基本不等式≤(a>0,b>0)及其几何解释,能结合具体实例解释基本不等式成立的条件.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知识归纳
知识点一　基本不等式及其几何解释
1.如果a>0,b>0,有≤,当且仅当 a=b时,等号成立.通常称这个不等式为基本不等式.
2.当a>0,b>0时,叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.下面是基本不等式≤的一种几何解释,请你补充完整.
如图所示,AB为☉O的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交☉O上半圆于点D,连接AD,BD,OD.由△ACD∽△DCB可得,CD=,而OD=,因为OD≥CD,所以 ≥,当且仅当点C与圆心O重合,即当a=b 时,等号成立.
(1)在基本不等式中要求a>0,b>0,勿忘等号成立的条件为a=b.
(2)基本不等式也称为均值不等式.
(3)基本不等式的常见变形:当a>0,b>0时,有①a+b≥2;②ab≤()2.
知识拓展
　基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时等号成立.
其中,即叫做a,b的调和平均数,叫做a,b的平方平均数.
知识点二　基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当 x=y时,积xy取得最大值 S2.
(2)若xy=P(积为定值),则当 x=y时,和x+y取得最小值 2.
和定积最大,积定和最小.
基础自测
1.下列说法正确的是(　　)
[A] a,b∈R,≥成立
[B]若a>0,b>0,则a+b>2
[C] a,b∈R,a2+b2≥2ab
[D]若x>2,则x+≥2可以取等号
2.若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是(　　)
[A]4 [B]4 [C]9 [D]18
故选D.
3.已知a>0,则a+1+的最小值为(　　)
[A]-1 [B]3 [C]4 [D]5
4.(人教A版必修第一册P46练习T4改编)若0题型一　基本不等式的理解
[例1] (多选)下面四个推导过程正确的有(　　)
[A]若ab>0,则+≥2=2
[B]若a∈R,a≠0,则+a≥2=4
[C]若x,y∈R,xy<0,则+=-(--)≥-2=-2
[D]|+|=||+||≥2=2
利用基本不等式≤(a>0,b>0)判断命题真假时,需要判断a,b是不是正数,如果不是正数,那么考虑用非正数作为特殊值,直接举反例说明不等式不能成立;如果是正数,那么继续使用基本不等式判断真假,注意检验等号是否成立.
[变式训练] 下列不等式正确的是(　　)
[A]a+≥2
[B](-a)+(-)≤-2
[C]a2+≥2
[D](-a)2+(-)2≤-2
题型二　直接利用基本不等式求最值
[例2] (1)已知x>0,求x+的最小值;
(2)已知x>0,y>0,若xy=2,求2x+y的最小值;
(3)已知1≤x≤4,求(6-x)(x+2)的最大值.
(2)因为x>0,y>0,xy=2,所以2x+y≥2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2 时,等号成立.
所以2x+y的最小值为4.
(3)因为1≤x≤4,所以6-x>0,x+2>0,所以(6-x)(x+2)≤[]2=16,当且仅当6-x=x+2,
即x=2时,等号成立,所以(6-x)(x+2)的最大值为16.
利用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的原则.
(1)一正:各项必须为正.
(2)二定:各项之和或各项之积为定值.
(3)三相等:必须验证等号成立的条件是否具备.以上三点缺一不可.
[变式训练] (1)已知0(2)若a与b均为正数,且ab=4,求+的最小值.
(2)因为a与b均为正数,且ab=4,所以+≥2==3,当且仅当即a=,b=6时,等号成立.所以+的最小值为3.
题型三　配凑法求最值
[例3] (1)已知0(2)已知x<2,求x+的最大值.
所以4x·(3-2x)=2·2x·(3-2x)≤2·[]2=,当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立,所以所求的最大值为.
(2)因为x<2,所以x-2<0,所以2-x>0,
所以x+=x-2++2=-[(2-x)+]+2,
因为(2-x)+≥2=4,
当且仅当2-x=,即x=0时,等号成立.
所以-[(2-x)+]+2≤-4+2=-2,所以所求的最大值为-2.
配凑法求最值包括两个常见的类型:
(1)当代数式整体上是和的形式时,需要配凑两项的积为定值,此时,对于题目中的分式的分母一般需要“保护”,为了使另一项与这个项的积为定值,需要对另一项配凑常数,即采用“加上减去法”.
(2)当代数式整体上是积的形式时,需要配凑两项的和为定值,此时,对于题目中的某个因式中的项常需要配系数,即采用“乘上除去法”.
不管哪种类型,配凑后要保证各量满足基本不等式“一正、二定、三相等”的条件,同时要注意验证等号成立的条件.
[变式训练] (1)已知-1(2)已知x>1,求y=4x+1+的最小值.
所以y=(1+x)(1-2x)=(2+2x)(1-2x)≤×[]2=,
当且仅当2+2x=1-2x,即x=-时,等号成立,所以y=(1+x)(1-2x)的最大值为.
(2)因为x>1,所以x-1>0,所以4x+1+=4(x-1)++5≥2+5=9,
当且仅当4(x-1)=,即x=时,等号成立,所以y=4x+1+的最小值为9.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中可使+≥2成立的个数是(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
2.下列各不等式正确的是(　　)
[A]a2+1>2a(a∈R)
[B]|x+|≥2(x∈R,x≠0)
[C]≥2(ab≠0)
[D]+(x∈R)的最小值为2
+≥2,当且仅当=,即x2+2=1,x2=-1时,等号成立,但是x2=-1不成立,故D错误.故选B.
3.若实数x>0,y>0,且x+y=1,则xy的最大值为(　　)
[A]1 [B]2 [C] [D]
4.已知0[A] [B] [C]1 [D]
5.(多选)已知函数y=x++1(x<0),则函数(　　)
[A]没有最大值 [B]没有最小值
[C]最大值为-7 [D]最小值为9
6.已知a>0,且是方程x2+bx-8=0的一个根,则b+的最小值是(　　)
[A]8 [B]4 [C]2 [D]8
4a-+=4a+≥2·=8,当且仅当4a=,即a=1,b=2时,等号成立,故b+的最小值是8.故选D.
7.(5分)若a,b,c,d,x,y是正实数,且P=+,Q=·,则P　　　　Q.(比较大小)
当且仅当=时,等号成立,故P≤Q.
8.(5分)已知m>0,n>0,且m+n=1,则m2+n2的最小值为　 　　　.
所以m2+n2=(m+n)2-2mn=1-2mn≥1-2×=,即m2+n2的最小值为.
9.(13分)(1)已知a>0,b>0,且2a+b=4,求的最小值;
(2)求1+2x2+的最小值.
(2)由题意可知x≠0,所以x2>0,所以1+2x2+≥1+2=9,当且仅当2x2=,即x=±时,等号成立.所以1+2x2+的最小值为9.
10.(15分)(1)若x>1,求y=x+的最小值;
(2)已知x>0,求y=的最小值;
(3)求y=(x>-1)的最小值.
所以x-1++3≥2+3=7,当且仅当x-1=,即x=3时,
等号成立.所以所求的最小值为7.
(2)因为x>0,所以y==x+-2≥2-2=2,当且仅当x=,即x=2时,等号成立.
所以所求的最小值为2.
(3)因为x>-1,所以x+1>0,y===x+1++5≥2+5=9,
当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.所以所求的最小值为9.
11.(多选)已知a>0,b>0,a+b<2,则(　　)
[A]0[C]112.(5分)已知实数x,y,z,若x+2y-z=4,则(x+y-z)y-xz的最大值为　　　　.
13.(15分)已知实数a>b>0.
(1)证明b(a-b)≤,并指出等号成立的条件;
(2)求a2+的最小值及取最小值时a,b的值.
综上可知,当a=,b=时,a2+取得最小值20.
14.在古巴比伦时期的数学泥版上,有许多三角形和梯形的分割问题,涉及不同的割线.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=a,AB=b,EF和GH为平行于底的两条割线,其中EF为中位线,GH过对角线交点,则通过比较这两条割线可以直接证明的不等式为(　　)
[A]≥(a>0,b>0)
[B]≤(a>0,b>0)
[C]≤(a>0,b>0)
[D]a2+b2≥2(a>0,b>0)(共32张PPT)
2.2　基本不等式
第1课时　基本不等式
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　基本不等式及其几何解释
知识归纳
≤
a=b
算术平均数
几何平均数
不小于
≥
重合
a=b
·疑难解惑·
(1)在基本不等式中要求a>0,b>0,勿忘等号成立的条件为a=b.
(2)基本不等式也称为均值不等式.
『知识拓展』
知识点二　基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当 时,积xy取得最大值 .
(2)若xy=P(积为定值),则当 时,和x+y取得最小值 .
x=y
x=y
·轻松记忆·
和定积最大,积定和最小.
基础自测
1.下列说法正确的是(　　)
C
2.若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是(　　)
D
[A]-1 [B]3 [C]4 [D]5
D
4.(人教A版必修第一册P46练习T4改编)若0　　　　,此时x=　　　　.
关键能力·素养培优
[例1] (多选)下面四个推导过程正确的有( 　　)
题型一　基本不等式的理解
AD
·解题策略·
[变式训练] 下列不等式正确的是(　　)
C
题型二　直接利用基本不等式求最值
(2)已知x>0,y>0,若xy=2,求2x+y的最小值;
(3)已知1≤x≤4,求(6-x)(x+2)的最大值.
·解题策略·
利用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的原则.
(1)一正:各项必须为正.
(2)二定:各项之和或各项之积为定值.
(3)三相等:必须验证等号成立的条件是否具备.以上三点缺一不可.
题型三　配凑法求最值
·解题策略·
配凑法求最值包括两个常见的类型:
(1)当代数式整体上是和的形式时,需要配凑两项的积为定值,此时,对于题目中的分式的分母一般需要“保护”,为了使另一项与这个项的积为定值,需要对另一项配凑常数,即采用“加上减去法”.
(2)当代数式整体上是积的形式时,需要配凑两项的和为定值,此时,对于题目中的某个因式中的项常需要配系数,即采用“乘上除去法”.
不管哪种类型,配凑后要保证各量满足基本不等式“一正、二定、三相等”的条件,同时要注意验证等号成立的条件.
感谢观看(共20张PPT)
第2课时　基本不等式的应用
1.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.
【课程标准要求】
关键能力·素养培优
题型一　利用基本不等式证明不等式
·解题策略·
利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)此类问题的关键是:所证不等式中大多有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
[变式训练] 已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.求证:
题型二　基本不等式的应用
[例2] 某公园为了美化游园环境,计划修建一个如图所示的总面积为900 m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间A,B,C,D四个矩形区域将种植鲜花(其中A,B,C,D大小完全相同).设矩形花园的一条边长为x m,矩形A的一条边长为a m.
(1)用含有x的代数式表示a,并写出x的取值范围;
(2)当x的值为多少时,才能使鲜花的种植面积最大,并求出面积的最大值.
·解题策略·
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义.
(2)构造定值,利用基本不等式求最值.
(3)检验等号成立的条件是否满足题意.
(4)得出结论.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.
培优拓展　基本不等式的推广
AC
感谢观看第2课时　基本不等式的应用
【课程标准要求】　1.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.
题型一　利用基本不等式证明不等式
[例1] (北师大版必修第一册P27例4)已知a>0,b>0,c>0,求证:a+b+c≥++.
b+c≥2,当且仅当b=c时,等号成立;
a+c≥2,当且仅当a=c时,等号成立.
上面三式相加,得 2a+2b+2c≥2+2+2,即a+b+c≥++,当且仅当a=b=c时,等号成立.
利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)此类问题的关键是:所证不等式中大多有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
[变式训练] 已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.求证:
(1)(-1)(-1)(-1)≥8;
(2)++≥9.
同理-1≥>0,-1≥>0.
上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得(-1)·(-1)(-1)≥··=8,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
(2)++=++=3+(+)+(+)+(+)≥3+2+2+2=9,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
题型二　基本不等式的应用
[例2] 某公园为了美化游园环境,计划修建一个如图所示的总面积为900 m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间A,B,C,D四个矩形区域将种植鲜花(其中A,B,C,D大小完全相同).设矩形花园的一条边长为x m,矩形A的一条边长为a m.
(1)用含有x的代数式表示a,并写出x的取值范围;
(2)当x的值为多少时,才能使鲜花的种植面积最大,并求出面积的最大值.
(2)由(1)知,a=-,设鲜花的种植面积为S,
则S=4··a=(2x-6)a=(2x-6)·(-)=909-(3x+)≤909-2=729,
当且仅当3x=,即x=30时,等号成立,
所以当x=30时,才能使鲜花的种植面积最大,且最大值为729 m2.
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义.
(2)构造定值,利用基本不等式求最值.
(3)检验等号成立的条件是否满足题意.
(4)得出结论.
[变式训练] 某种型号的特殊运货卡车以每小时x km 的速度匀速行驶130 km,根据规定50≤x≤100(单位:km/h).假设汽油的价格为每升 6元,卡车每小时耗油(2+) L,司机的工资是每小时140元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低 (x精确到0.1 km/h,≈23.875)
所以卡车这次行车的油费为[×(2+)×6]元,
司机的工资为(×140)元,
所以这次行车总费用为y=×(2+)×6+×140=260(+),50≤x≤100.
(2)因为+≥2=,当且仅当=,即x=4时,等号成立.
所以当x=4≈95.5时,这次行车的总费用最低.
培优拓展　基本不等式的推广
[典例] 利用二元基本不等式≤(a>0,b>0)证明三元基本不等式:如果a,b,c>0,那么(1)a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立);
(2)≥(当且仅当a=b=c时,等号成立).
所以a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).
(2)由(1)得()3+()3+()3≥3··=3,所以a+b+c≥3,
所以≥(当且仅当a=b=c时,等号成立).
[跟踪训练] (多选)三元基本不等式:“当a,b,c均为正实数时,≥,即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当a=b=c时,等号成立.”利用上面结论,判断下列不等式成立的有(　　)
[A]若x>0,则x2+的最小值为3
[B]若0[C]若x>0,则2x+的最小值为3
[D]若0·2x(1-x)(1-x)≤·()3=,当且仅当2x=1-x,即x=时,等号成立,D项错误.故选AC.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知一个直角三角形的斜边长为8,则其面积的最大值是(　　)
[A]12 [B]14 [C]16 [D]18
2.已知a>1>c,则与的大小关系是(　　)
[A]≥
[B]≤
[C]>
[D]<
3.某生物制药公司为了节约成本开支,引入了一批新型生物污水处理器,通过费用开支的记录得知其月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:t)满足函数关系式y=2x2-180x+
20 000.则当每吨的平均处理成本最低时的月处理量为(　　)
[A]80 t [B]100 t [C]120 t [D]150 t
4.已知a>0,b>0,则下列不等式不成立的是(　　)
[A]a+b+≥2
[B](a+b)(+)≥4
[C]≥2
[D]>
即a=b=时,等号成立,A正确;
对于B,(a+b)(+)=1+1++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b时,等号成立,B正确;
对于C,因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立),所以≥=2,C正确;
对于D,若>成立,则>1,即a+b<2,但a+b≥2,D错误.故选D.
5.某工厂生产某种产品,第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则(　　)
[A]x=　 [B]x≤
[C]x>　 [D]x≥
6.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客购得的黄金实际克数是t,则(　　)
[A]t>10 [B]t≥10
[C]07.(5分)西周数学家商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例,其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形,若三角形的“弦”的长度为2,则该矩形周长的最大值为　　　　.
法一　a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2()2=(a+b)2,即a+b≤=4,
当且仅当a=b=2时,等号成立,所以2(a+b)≤8,即该矩形周长的最大值为8.
法二　≤=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以2(a+b)≤8,
即该矩形周长的最大值为8.
8.(5分)已知对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,则实数a的最小值为　　　　.
9.(14分)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池,其蓄水量为200 m3,高为x m,底面的一条边长为5 m,施工方给的报价为四个侧面造价100元/m2,底面造价80元/m2.
(1)设此蓄水池的总造价为y元,求y关于x的函数关系式;
(2)如果你是施工方,请帮该厂设计一个总造价最低的方案,并给出具体的数据.
故y=80·+100×2(5x+·x)=+1 000x+8 000,x>0.
(2)因为x>0,所以y=+1 000x+8 000≥2+8 000=16 000,
当且仅当=1 000x,即x=4时,等号成立,此时=10,
故当长方体的高为4 m,底面长、宽分别为10 m 和5 m时,总造价最低.
10.(14分)(1)已知a,b,c>0,求证:++≥a+b+c.
(2)已知a,b,c均为正数,且满足abc=1,求证:++≤a2+b2+c2.
所以+b++c++a≥2a+2b+2c,即++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.
(2)因为a,b,c均为正数,所以a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,
所以a2+b2+a2+c2+b2+c2≥2ab+2ac+2bc,即a2+b2+c2≥ab+ac+bc,
因为abc=1,所以a2+b2+c2≥=++,当且仅当a=b=c时,等号成立,即++≤a2+b2+c2.
11.某公园有如图所示的一块直角三角形空地,直角边AB=8 m,AC=6 m.现欲建一个如图所示的内接矩形花园ADEF,点E在斜边BC上(不包括端点),则花园ADEF的面积的最大值为(　　)
[A]2 m2 [B]12 m2
[C]16 m2 [D]24 m2
12.(多选)已知a,b为不相等的正实数,满足a+=b+,则下列不等式正确的为(　　)
[A]a+b>2
[B]++≥4
[C]+≥16
[D]≥4
对于B,++=a+b+≥2=4,当且仅当a+b=,即或 时,等号成立,故B正确;对于C,+=+=b2++≥3=12,
当且仅当b2=,即b=2时,等号成立,故C错误;
对于D,≥4等价于8a2+b2≥4a2+4,即4a2+b2≥4ab=4,
当且仅当2a=b,即时,等号成立,故D正确.故选ABD.
13.(16分)如图,在周长为8的矩形ABCD中(其中AB>AD),现将△ABC沿AC折叠到
△AB′C,设AB′与CD交于点E,设AB=x,B′E=y.
(1)求△B′EC的周长;
(2)试用x表示y,并求x的取值范围;
(3)当x为何值时,△B′EC的面积S取得最大值,并求出该最大值.
所以△B′EC的周长为定值4.
(2)由折叠知AB′=AE+B′E=AB=x,
则AE=x-y,即CE=x-y,
由(1)知CE+B′C+B′E=4,
即(x-y)+B′C+y=4,则B′C=4-x,
在Rt△B′EC中,由勾股定理得B′E2+B′C2=CE2,
即y2+(4-x)2=(x-y)2,化简得y=4-.
因为AB>AD,AB+AD=4,
所以x>4-x且x<4,即2所以y=4-,2(3)在Rt△B′EC中,S=B′C·B′E=(4-x)(4-)=12--2x,2则S=12-(+2x)≤12-2=12-8,当且仅当=2x,即x=2时,等号成立,
所以当x=2时,△B′EC的面积S取得最大值,且最大值为12-8.
14.当x>0,y>0时,≥,这个基本不等式可以推广为当x,y>0时,λx+μy≥xλyμ,其中λ+μ=1且λ>0,μ>0.考虑取等号的条件,进而可得当x≈y时,λx+μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作:×≈×10+×9=,则≈≈3.167.用这样的方法,可得的近似值为(　　)
[A]3.033 [B]3.035
[C]3.037 [D]3.039第2课时　基本不等式的应用
【课程标准要求】　1.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.
题型一　利用基本不等式证明不等式
[例1] (北师大版必修第一册P27例4)已知a>0,b>0,c>0,求证:a+b+c≥++.
【证明】 因为a>0,b>0,c>0,所以由基本不等式,得a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立;
b+c≥2,当且仅当b=c时,等号成立;
a+c≥2,当且仅当a=c时,等号成立.
上面三式相加,得 2a+2b+2c≥2+2+2,即a+b+c≥++,当且仅当a=b=c时,等号成立.
利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)此类问题的关键是:所证不等式中大多有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
[变式训练] 已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.求证:
(1)(-1)(-1)(-1)≥8;
(2)++≥9.
【证明】 (1)因为a,b,c均为正实数,a+b+c=1,所以-1==≥>0,
同理-1≥>0,-1≥>0.
上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得(-1)·(-1)(-1)≥··=8,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
(2)++=++=3+(+)+(+)+(+)≥3+2+2+2=9,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
题型二　基本不等式的应用
[例2] 某公园为了美化游园环境,计划修建一个如图所示的总面积为900 m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间A,B,C,D四个矩形区域将种植鲜花(其中A,B,C,D大小完全相同).设矩形花园的一条边长为x m,矩形A的一条边长为a m.
(1)用含有x的代数式表示a,并写出x的取值范围;
(2)当x的值为多少时,才能使鲜花的种植面积最大,并求出面积的最大值.
【解】 (1)由阴影部分是宽度为1 m的小路,可得2a+3=,则a=-,则a关于x的关系式为a=-,3(2)由(1)知,a=-,设鲜花的种植面积为S,
则S=4··a=(2x-6)a=(2x-6)·(-)=909-(3x+)≤909-2=729,
当且仅当3x=,即x=30时,等号成立,
所以当x=30时,才能使鲜花的种植面积最大,且最大值为729 m2.
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义.
(2)构造定值,利用基本不等式求最值.
(3)检验等号成立的条件是否满足题意.
(4)得出结论.
[变式训练] 某种型号的特殊运货卡车以每小时x km 的速度匀速行驶130 km,根据规定50≤x≤100(单位:km/h).假设汽油的价格为每升 6元,卡车每小时耗油(2+) L,司机的工资是每小时140元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低 (x精确到0.1 km/h,≈23.875)
【解】 (1)由题意得卡车行驶的时间为 h,
所以卡车这次行车的油费为[×(2+)×6]元,
司机的工资为(×140)元,
所以这次行车总费用为y=×(2+)×6+×140=260(+),50≤x≤100.
(2)因为+≥2=,当且仅当=,即x=4时,等号成立.
所以当x=4≈95.5时,这次行车的总费用最低.
培优拓展　基本不等式的推广
[典例] 利用二元基本不等式≤(a>0,b>0)证明三元基本不等式:如果a,b,c>0,那么(1)a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立);
(2)≥(当且仅当a=b=c时,等号成立).
【证明】 (1)因为a,b,c>0,所以a3+b3+c3+abc≥2+2=2(ab+c2)≥2·2=4abc,
所以a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).
(2)由(1)得()3+()3+()3≥3··=3,所以a+b+c≥3,
所以≥(当且仅当a=b=c时,等号成立).
[跟踪训练] (多选)三元基本不等式:“当a,b,c均为正实数时,≥,即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当a=b=c时,等号成立.”利用上面结论,判断下列不等式成立的有(　　)
[A]若x>0,则x2+的最小值为3
[B]若0[C]若x>0,则2x+的最小值为3
[D]若0【答案】 AC
【解析】 对于A项,因为x>0,所以x2+=x2++≥3=3,当且仅当x2=,即x=1时,等号成立,A项正确;对于B项,因为00,所以2x+=x+x+≥3=3,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,C项正确;对于D项,因为0·2x(1-x)(1-x)≤·()3=,当且仅当2x=1-x,即x=时,等号成立,D项错误.故选AC.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知一个直角三角形的斜边长为8,则其面积的最大值是(　　)
[A]12 [B]14 [C]16 [D]18
【答案】 C
【解析】 设直角三角形的两条直角边分别为a,b,则a2+b2=64,直角三角形的面积为ab≤·==16,当且仅当a=b=4时,等号成立.故选C.
2.已知a>1>c,则与的大小关系是(　　)
[A]≥
[B]≤
[C]>
[D]<
【答案】 B
【解析】 因为a>1>c,所以a-1>0,1-c>0.所以=≤=,当且仅当a-1=1-c,即a+c=2时,等号成立.所以≤.故选B.
3.某生物制药公司为了节约成本开支,引入了一批新型生物污水处理器,通过费用开支的记录得知其月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:t)满足函数关系式y=2x2-180x+
20 000.则当每吨的平均处理成本最低时的月处理量为(　　)
[A]80 t [B]100 t [C]120 t [D]150 t
【答案】 B
【解析】 依题意,每吨的平均处理成本为=2(x+)-180≥2×2-180=220,当且仅当x=,即x=100时,等号成立,所以当月处理量为100 t时,可以使每吨的平均处理成本最低.故选B.
4.已知a>0,b>0,则下列不等式不成立的是(　　)
[A]a+b+≥2
[B](a+b)(+)≥4
[C]≥2
[D]>
【答案】 D
【解析】 对于A,a+b+≥2+≥2=2,当且仅当2=且a=b,
即a=b=时,等号成立,A正确;
对于B,(a+b)(+)=1+1++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b时,等号成立,B正确;
对于C,因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立),所以≥=2,C正确;
对于D,若>成立,则>1,即a+b<2,但a+b≥2,D错误.故选D.
5.某工厂生产某种产品,第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则(　　)
[A]x=　 [B]x≤
[C]x>　 [D]x≥
【答案】 B
【解析】 由题意得,A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2,因为(1+a)(1+b)≤()2,所以1+x≤=1+,所以x≤,当且仅当a=b时,等号成立.故选B.
6.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客购得的黄金实际克数是t,则(　　)
[A]t>10 [B]t≥10
[C]0【答案】 A
【解析】 由于天平两臂不等长,可设天平左臂长为a,右臂长为b,则a≠b,再设先称得黄金为x g,后称得黄金为y g,则xb=5a,5b=ay,所以x=,y=,所以x+y=+≥2=10,当且仅当=,即a=b时,等号成立,但a≠b,所以等号不成立,即x+y>10,所以t>10.故选A.
7.(5分)西周数学家商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例,其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形,若三角形的“弦”的长度为2,则该矩形周长的最大值为　　　　.
【答案】 8
【解析】 设矩形的一组邻边长为a,b,则该矩形的周长为2(a+b),且a2+b2=8.
法一　a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2()2=(a+b)2,即a+b≤=4,
当且仅当a=b=2时,等号成立,所以2(a+b)≤8,即该矩形周长的最大值为8.
法二　≤=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以2(a+b)≤8,
即该矩形周长的最大值为8.
8.(5分)已知对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,则实数a的最小值为　　　　.
【答案】
【解析】 由x>a,可得x-a>0,又由2x+=2(x-a)++2a≥2·+2a=4+2a,当且仅当2(x-a)=,即x=a+1时,等号成立,因为对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,所以4+2a≥5,解得a≥,所以实数a的最小值为.
9.(14分)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池,其蓄水量为200 m3,高为x m,底面的一条边长为5 m,施工方给的报价为四个侧面造价100元/m2,底面造价80元/m2.
(1)设此蓄水池的总造价为y元,求y关于x的函数关系式;
(2)如果你是施工方,请帮该厂设计一个总造价最低的方案,并给出具体的数据.
【解】 (1)长方体蓄水池的底面面积为 m2,长方体底面的另一条边长为= m,
故y=80·+100×2(5x+·x)=+1 000x+8 000,x>0.
(2)因为x>0,所以y=+1 000x+8 000≥2+8 000=16 000,
当且仅当=1 000x,即x=4时,等号成立,此时=10,
故当长方体的高为4 m,底面长、宽分别为10 m 和5 m时,总造价最低.
10.(14分)(1)已知a,b,c>0,求证:++≥a+b+c.
(2)已知a,b,c均为正数,且满足abc=1,求证:++≤a2+b2+c2.
【证明】 (1)因为a,b,c>0,所以+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
所以+b++c++a≥2a+2b+2c,即++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.
(2)因为a,b,c均为正数,所以a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,
所以a2+b2+a2+c2+b2+c2≥2ab+2ac+2bc,即a2+b2+c2≥ab+ac+bc,
因为abc=1,所以a2+b2+c2≥=++,当且仅当a=b=c时,等号成立,即++≤a2+b2+c2.
11.某公园有如图所示的一块直角三角形空地,直角边AB=8 m,AC=6 m.现欲建一个如图所示的内接矩形花园ADEF,点E在斜边BC上(不包括端点),则花园ADEF的面积的最大值为(　　)
[A]2 m2 [B]12 m2
[C]16 m2 [D]24 m2
【答案】 B
【解析】 设AD=x,则BD=8-x,因为△CFE∽△CAB,所以=,解得AF=6-x,其中012.(多选)已知a,b为不相等的正实数,满足a+=b+,则下列不等式正确的为(　　)
[A]a+b>2
[B]++≥4
[C]+≥16
[D]≥4
【答案】 ABD
【解析】 由a+=b+ a-b+-=0 a-b+=0 (a-b)(1-)=0,因为a,b为不相等的正实数,所以ab=1.对于A,a+b>2=2,故A正确;
对于B,++=a+b+≥2=4,当且仅当a+b=,即或 时,等号成立,故B正确;对于C,+=+=b2++≥3=12,
当且仅当b2=,即b=2时,等号成立,故C错误;
对于D,≥4等价于8a2+b2≥4a2+4,即4a2+b2≥4ab=4,
当且仅当2a=b,即时,等号成立,故D正确.故选ABD.
13.(16分)如图,在周长为8的矩形ABCD中(其中AB>AD),现将△ABC沿AC折叠到
△AB′C,设AB′与CD交于点E,设AB=x,B′E=y.
(1)求△B′EC的周长;
(2)试用x表示y,并求x的取值范围;
(3)当x为何值时,△B′EC的面积S取得最大值,并求出该最大值.
【解】 (1)由题意得△DEA≌△B′EC,因此CE+B′C+B′E=CE+AD+DE=AD+DC=4,
所以△B′EC的周长为定值4.
(2)由折叠知AB′=AE+B′E=AB=x,
则AE=x-y,即CE=x-y,
由(1)知CE+B′C+B′E=4,
即(x-y)+B′C+y=4,则B′C=4-x,
在Rt△B′EC中,由勾股定理得B′E2+B′C2=CE2,
即y2+(4-x)2=(x-y)2,化简得y=4-.
因为AB>AD,AB+AD=4,
所以x>4-x且x<4,即2所以y=4-,2(3)在Rt△B′EC中,S=B′C·B′E=(4-x)(4-)=12--2x,2则S=12-(+2x)≤12-2=12-8,当且仅当=2x,即x=2时,等号成立,
所以当x=2时,△B′EC的面积S取得最大值,且最大值为12-8.
14.当x>0,y>0时,≥,这个基本不等式可以推广为当x,y>0时,λx+μy≥xλyμ,其中λ+μ=1且λ>0,μ>0.考虑取等号的条件,进而可得当x≈y时,λx+μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作:×≈×10+×9=,则≈≈3.167.用这样的方法,可得的近似值为(　　)
[A]3.033 [B]3.035
[C]3.037 [D]3.039
【答案】 C
【解析】 依题意,×≈×28+×27=,则≈≈3.037.故选C.第1课时　基本不等式
【课程标准要求】　1.知道基本不等式≤(a>0,b>0)及其几何解释,能结合具体实例解释基本不等式成立的条件.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知识归纳
知识点一　基本不等式及其几何解释
1.如果a>0,b>0,有≤,当且仅当 a=b时,等号成立.通常称这个不等式为基本不等式.
2.当a>0,b>0时,叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.下面是基本不等式≤的一种几何解释,请你补充完整.
如图所示,AB为☉O的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交☉O上半圆于点D,连接AD,BD,OD.由△ACD∽△DCB可得,CD=,而OD=,因为OD≥CD,所以 ≥,当且仅当点C与圆心O重合,即当a=b 时,等号成立.
(1)在基本不等式中要求a>0,b>0,勿忘等号成立的条件为a=b.
(2)基本不等式也称为均值不等式.
(3)基本不等式的常见变形:当a>0,b>0时,有①a+b≥2;②ab≤()2.
知识拓展
　基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时等号成立.
其中,即叫做a,b的调和平均数,叫做a,b的平方平均数.
知识点二　基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当 x=y时,积xy取得最大值 S2.
(2)若xy=P(积为定值),则当 x=y时,和x+y取得最小值 2.
和定积最大,积定和最小.
基础自测
1.下列说法正确的是(　　)
[A] a,b∈R,≥成立
[B]若a>0,b>0,则a+b>2
[C] a,b∈R,a2+b2≥2ab
[D]若x>2,则x+≥2可以取等号
【答案】 C
【解析】 A项,当a=-1,b=-1时,不等式不成立;B项,当a=b时,a+b=2;D项,x+≥2=2,等号成立的条件为 无解,故不等式不可以取等号.故选C.
2.若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是(　　)
[A]4 [B]4 [C]9 [D]18
【答案】 D
【解析】 因为m>0,n>0,mn=81,所以m+n≥2=18,当且仅当m=n=9时,等号成立.
故选D.
3.已知a>0,则a+1+的最小值为(　　)
[A]-1 [B]3 [C]4 [D]5
【答案】 D
【解析】 因为a>0,所以a+1+=a++1≥2+1=5,当且仅当a=,即a=2时,等号成立,所以a+1+的最小值为5.故选D.
4.(人教A版必修第一册P46练习T4改编)若0【答案】 　
【解析】 因为00,所以x(1-x)≤[]2=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,即当x=时,x(1-x)取得最大值.
题型一　基本不等式的理解
[例1] (多选)下面四个推导过程正确的有(　　)
[A]若ab>0,则+≥2=2
[B]若a∈R,a≠0,则+a≥2=4
[C]若x,y∈R,xy<0,则+=-(--)≥-2=-2
[D]|+|=||+||≥2=2
【答案】 AD
【解析】 A中,因为ab>0,所以>0,>0,则+≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立,故A正确;B中,因为a∈R,a≠0,当a<0时,+a=-[(-)+(-a)]≤-2=-4,当且仅当-=-a,即a=-2时,等号成立,故B错误;C中,由xy<0,得->0,->0,则+=-[(-)+(-)],因为(-)+(-)≥2=2,所以+=-[(-)+(-)]≤-2,当且仅当-=-,即x=-y时,等号成立,故C错误;D中,,一定同号,所以|+|=||+||≥2=2,当且仅当||=||,即|a|=|b|时,等号成立,故D正确.故选AD.
利用基本不等式≤(a>0,b>0)判断命题真假时,需要判断a,b是不是正数,如果不是正数,那么考虑用非正数作为特殊值,直接举反例说明不等式不能成立;如果是正数,那么继续使用基本不等式判断真假,注意检验等号是否成立.
[变式训练] 下列不等式正确的是(　　)
[A]a+≥2
[B](-a)+(-)≤-2
[C]a2+≥2
[D](-a)2+(-)2≤-2
【答案】 C
【解析】 对于A,当a<0时,a+<0,故A错误;对于B,当a<0时,(-a)+(-)>0,故B错误;对于C,因为a2>0,所以a2+≥2,当且仅当a=±1时,等号成立,故C正确;对于D,因为a2>0,所以(-a)2+=a2+≥2,当且仅当a=±1时,等号成立,故D错误.故选C.
题型二　直接利用基本不等式求最值
[例2] (1)已知x>0,求x+的最小值;
(2)已知x>0,y>0,若xy=2,求2x+y的最小值;
(3)已知1≤x≤4,求(6-x)(x+2)的最大值.
【解】 (1)因为x>0,所以x+≥2=6,当且仅当x=,即x=3时,等号成立,所以x+的最小值为6.
(2)因为x>0,y>0,xy=2,所以2x+y≥2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2 时,等号成立.
所以2x+y的最小值为4.
(3)因为1≤x≤4,所以6-x>0,x+2>0,所以(6-x)(x+2)≤[]2=16,当且仅当6-x=x+2,
即x=2时,等号成立,所以(6-x)(x+2)的最大值为16.
利用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的原则.
(1)一正:各项必须为正.
(2)二定:各项之和或各项之积为定值.
(3)三相等:必须验证等号成立的条件是否具备.以上三点缺一不可.
[变式训练] (1)已知0(2)若a与b均为正数,且ab=4,求+的最小值.
【解】 (1)当00,则≤=1,当且仅当2-a=a,即a=1时,等号成立.所以的最大值为1.
(2)因为a与b均为正数,且ab=4,所以+≥2==3,当且仅当即a=,b=6时,等号成立.所以+的最小值为3.
题型三　配凑法求最值
[例3] (1)已知0(2)已知x<2,求x+的最大值.
【解】 (1)因为00,
所以4x·(3-2x)=2·2x·(3-2x)≤2·[]2=,当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立,所以所求的最大值为.
(2)因为x<2,所以x-2<0,所以2-x>0,
所以x+=x-2++2=-[(2-x)+]+2,
因为(2-x)+≥2=4,
当且仅当2-x=,即x=0时,等号成立.
所以-[(2-x)+]+2≤-4+2=-2,所以所求的最大值为-2.
配凑法求最值包括两个常见的类型:
(1)当代数式整体上是和的形式时,需要配凑两项的积为定值,此时,对于题目中的分式的分母一般需要“保护”,为了使另一项与这个项的积为定值,需要对另一项配凑常数,即采用“加上减去法”.
(2)当代数式整体上是积的形式时,需要配凑两项的和为定值,此时,对于题目中的某个因式中的项常需要配系数,即采用“乘上除去法”.
不管哪种类型,配凑后要保证各量满足基本不等式“一正、二定、三相等”的条件,同时要注意验证等号成立的条件.
[变式训练] (1)已知-1(2)已知x>1,求y=4x+1+的最小值.
【解】 (1)因为-10,1-2x>0,
所以y=(1+x)(1-2x)=(2+2x)(1-2x)≤×[]2=,
当且仅当2+2x=1-2x,即x=-时,等号成立,所以y=(1+x)(1-2x)的最大值为.
(2)因为x>1,所以x-1>0,所以4x+1+=4(x-1)++5≥2+5=9,
当且仅当4(x-1)=,即x=时,等号成立,所以y=4x+1+的最小值为9.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中可使+≥2成立的个数是(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 C
【解析】 根据基本不等式的条件,可知a,b应同号,故只有②不符合.故选C.
2.下列各不等式正确的是(　　)
[A]a2+1>2a(a∈R)
[B]|x+|≥2(x∈R,x≠0)
[C]≥2(ab≠0)
[D]+(x∈R)的最小值为2
【答案】 B
【解析】 A选项,当a=1时,a2+1=2a,故A错误;B选项,因为x≠0,|x|>0,|x+|=|x|+≥2=2,当且仅当x=±1时,等号成立,故B正确;C选项,当a<0,b<0时,<0,故C错误;D选项,
+≥2,当且仅当=,即x2+2=1,x2=-1时,等号成立,但是x2=-1不成立,故D错误.故选B.
3.若实数x>0,y>0,且x+y=1,则xy的最大值为(　　)
[A]1 [B]2 [C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为x>0,y>0,x+y=1,所以xy≤()2=,当且仅当x=y=时,等号成立.故选C.
4.已知0[A] [B] [C]1 [D]
【答案】 C
【解析】 因为00,所以a=≤=1,当且仅当a2=2-a2,即a=1时,等号成立,所以a 的最大值为1.故选C.
5.(多选)已知函数y=x++1(x<0),则函数(　　)
[A]没有最大值 [B]没有最小值
[C]最大值为-7 [D]最小值为9
【答案】 BC
【解析】 因为x<0,所以y=x++1=-[(-x)+(-)]+1≤-2·+1=-7,当且仅当-x=-,即x=-4时,等号成立,所以函数有最大值-7,无最小值.故选BC.
6.已知a>0,且是方程x2+bx-8=0的一个根,则b+的最小值是(　　)
[A]8 [B]4 [C]2 [D]8
【答案】 D
【解析】 由是方程x2+bx-8=0的一个根可得+-8=0,即b=4a-,且a>0,所以b+=
4a-+=4a+≥2·=8,当且仅当4a=,即a=1,b=2时,等号成立,故b+的最小值是8.故选D.
7.(5分)若a,b,c,d,x,y是正实数,且P=+,Q=·,则P　　　　Q.(比较大小)
【答案】 ≤
【解析】 Q=·=≥=+=P,
当且仅当=时,等号成立,故P≤Q.
8.(5分)已知m>0,n>0,且m+n=1,则m2+n2的最小值为　 　　　.
【答案】
【解析】 由m>0,n>0,且m+n=1,得mn≤()2=,当且仅当m=n=时,等号成立,
所以m2+n2=(m+n)2-2mn=1-2mn≥1-2×=,即m2+n2的最小值为.
9.(13分)(1)已知a>0,b>0,且2a+b=4,求的最小值;
(2)求1+2x2+的最小值.
【解】 (1)因为a>0,b>0,所以4=2a+b≥2,当且仅当2a=b,且2a+b=4,即a=1,b=2时,等号成立,所以0(2)由题意可知x≠0,所以x2>0,所以1+2x2+≥1+2=9,当且仅当2x2=,即x=±时,等号成立.所以1+2x2+的最小值为9.
10.(15分)(1)若x>1,求y=x+的最小值;
(2)已知x>0,求y=的最小值;
(3)求y=(x>-1)的最小值.
【解】 (1)y=x+=x+2+=x-1++3,由x>1可知x-1>0,
所以x-1++3≥2+3=7,当且仅当x-1=,即x=3时,
等号成立.所以所求的最小值为7.
(2)因为x>0,所以y==x+-2≥2-2=2,当且仅当x=,即x=2时,等号成立.
所以所求的最小值为2.
(3)因为x>-1,所以x+1>0,y===x+1++5≥2+5=9,
当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.所以所求的最小值为9.
11.(多选)已知a>0,b>0,a+b<2,则(　　)
[A]0[C]1【答案】 ABD
【解析】 对于A,0<2≤a+b<2,当且仅当a=b时,等号成立,故00,b>0,a+b<2,所以012.(5分)已知实数x,y,z,若x+2y-z=4,则(x+y-z)y-xz的最大值为　　　　.
【答案】 4
【解析】 因为x+2y-z=4,所以(x+y-z)y-xz=y(x+y)-z(x+y)=(x+y)(y-z)≤()2=()2=4,当且仅当x+y=y-z=2时,等号成立,故(x+y-z)y-xz的最大值为4.
13.(15分)已知实数a>b>0.
(1)证明b(a-b)≤,并指出等号成立的条件;
(2)求a2+的最小值及取最小值时a,b的值.
(1)【证明】 因为a>b>0,所以a-b>0,所以b(a-b)≤[]2=,当且仅当b=a-b,即2b=a时,等号成立.所以b(a-b)≤,当且仅当2b=a时,等号成立.
(2)【解】 由(1)知0综上可知,当a=,b=时,a2+取得最小值20.
14.在古巴比伦时期的数学泥版上,有许多三角形和梯形的分割问题,涉及不同的割线.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=a,AB=b,EF和GH为平行于底的两条割线,其中EF为中位线,GH过对角线交点,则通过比较这两条割线可以直接证明的不等式为(　　)
[A]≥(a>0,b>0)
[B]≤(a>0,b>0)
[C]≤(a>0,b>0)
[D]a2+b2≥2(a>0,b>0)
【答案】 B
【解析】 设AC交BD于点O,如图所示,因为AB∥GH∥CD,所以===,即OG=OH.又+=+=1,即+=1,解得GH=.又EF=,GH≤EF,所以≤.故选B.

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