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第2课时　一元二次不等式的应用
【课程标准要求】　1.熟练掌握分式不等式的解法.2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系.3.构建一元二次函数模型,解决实际问题.
题型一　解简单的分式不等式
[例1] 解下列不等式.
(1)>0;
(2)≤0;
(3)≤1.
(2)原不等式可化为解得-2(3)原不等式可化为-1≤0,
即≤0,即≥0,
所以解得x<或x≥3.
所以原不等式的解集为{x}.
分式不等式的解法
类型 同解不等式
>0(<0) (其中a,b,c,d 为常数) 法一:或 法二:(ax+b)(cx+d)>0(<0)
≥0(≤0) (其中a,b,c,d 为常数) 法一:或 法二:
>k ([变式训练] 解下列不等式.
(1)≥0;
(2)<3.
解得x≤-1或x>3.
即原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.
(2)因为<3,所以-3<0,
整理得,<0,
所以原不等式等价于(x-1)(x+1)<0,
解得-1所以原不等式的解集为{x|-1题型二　二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
[例2] 已知关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是{x},求关于x的不等式ax2-bx+c>0(a≠0)的解集.
所以-2-=-,-2×(-)=,
所以b=a,c=a.
从而不等式ax2-bx+c>0变为a(x2-x+1)>0.因为a<0,所以原不等式等价于2x2-5x+2<0,
即(x-2)(2x-1)<0,解得所以所求不等式的解集为{x}.
已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:
(1)根据解集来判断二次项系数的符号;
(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;
(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
[变式训练] (多选)如图,二次函数y=ax2+bx+c的对称轴方程为x=1,且与x轴交于点A(-1,0),则下列说法正确的是(　　)
[A]a>0
[B] m∈R,a+b≥am2+bm
[C]ax+c>0的解集为{x|x<3}
[D]cx2+bx+a<0的解集为{x}
对于B,对称轴方程为x=1,故对 m∈R,
ymax=a+b+c≥am2+bm+c,即a+b≥am2+bm,故B正确;对于C,图象过点A(-1,0),由对称性得y=ax2+bx+c有两个零点-1,3,所以-=2,=-3,故c=-3a,由a<0,ax-3a>0,得x<3,故ax+c>0的解集为{x|x<3},故C正确;对于D,因为b=-2a,c=-3a,由cx2+bx+a<0,得-3ax2-2ax+a<0,又a<0,3x2+2x-1<0,解得-1题型三　一元二次不等式的实际应用
[例3] (湘教版必修第一册P56例8)已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L(m)与速度v(km/h)之间有如下关系式:L=k·M·v2,其中k是比例系数,且k>0,M是汽车质量(t).若某辆卡车不装货物(司机体重忽略不计)以36 km/h的速度行驶时,从刹车到停车需要走20 m.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,为保证安全,要在发现前面20 m处有障碍物时能在离障碍物5 m 以外处停车,则最高速度应低于多少(设司机发现障碍物到踩刹车需经过1 s)
解不等式应用题的步骤
[变式训练] (苏教版必修第一册P67例3)某小型服装厂生产一种风衣,日销货量x件(x∈N*)与货价p元/件之间的关系为p=160-2x,生产x件所需成本为C=500+30x元.问:该厂日产量多大时,日获利不少于1 300元 (假设该厂每天生产的风衣可以全部售完)
化简,得x2-65x+900≤0,
解得20≤x≤45.
故该厂日产量在20件至45件时,日获利不少于 1 300元.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.不等式<的解集是(　　)
[A]{x|x<2}　
[B]{x|x>2}
[C]{x|0[D]{x|x<0或x>2}
2.不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-2[A] [B]
[C] [D]
3.若p:≥0,q:x2-7x+10<0,则p是q的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
4.在物理学中,若不计空气阻力,则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系h=v0t-gt2,其中g≈10 m/s2,一名同学以初速度v0=11 m/s竖直上拋一排球,排球能够在距拋出点2 m以上的位置最多停留(　　)
[A]1.6 s [B]1.7 s
[C]1.8 s [D]1.9 s
所以排球能够在距拋出点2 m以上的位置最多停留2-0.2=1.8(s).故选C.
5.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是(　　)
[A]{x|15≤x<22} [B]{x|15≤x<18}
[C]{x|15≤x<20} [D]{x|15≤x<24}
6.(多选)已知不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-1或x≥3},则下列结论正确的是(　　)
[A]a<0
[B]a+b+c>0
[C]c<0
[D]cx2-bx+a<0的解集为{x}
7.(5分)不等式>1-x的解集为　　　　　　.
8.(5分)若关于x的不等式ax-b≤0的解集为{x|x≥2},则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0的解集是　 .
9.(14分)求下列不等式或不等式组的解集:
(1)≤1;
(2)
所以原不等式的解集为{x或x<2}.
(2)由不等式|1-2x|<9得-9<1-2x<9,解得-40,得x>4或x<-3,所以原不等式组的解集为{x|410.(14分)已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为{x}.
(1)求a,c的值;
(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.
(2)由a=-6,c=-1知不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0,即3x2-4x+1≤0,解得≤x≤1,所以所求不等式的解集为{x}.
11.若关于x的不等式 >0的解集是{x|-1[A]{x[B]{x或x>}
[C]{x[D]{x或x>}
不等式的解集为{x|-1等价于(2x+3)(2x-1)>0,解得{x或x>}.故选B.
12.(5分)关于x的方程mx2+4mx+3=0有两个不相等的实根x1,x2,且+-3x1x2>0,则实数m的取值范围是　　　　　　　　　.
所以解得m<0或m>;
又x1+x2=-4,x1x2=,
所以+-3x1x2=-5x1x2=16-=>0,即m(16m-15)>0,解得m<0或m>.
综上,实数m的取值范围是{m|m<0或m>}.
13.(16分)(湘教版必修第一册P57例9)某化学试剂生产厂以x kg/h的速度运输生产某种产品(生产条件要求边生产边运输,且1≤x≤10),每小时可获得利润100(5x+1-)元.
(1)要使运输生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围.
(2)要使运输生产900 kg该产品获得的利润最大,该工厂应该选取何种运输生产速度 并求最大利润.
因为1≤x≤10,所以5x2-14x-3≥0,
即(x-3)(5x+1)≥0,解得x≥3或x≤-.
结合1≤x≤10知,x的取值范围为{x|3≤x≤10}.
(2)设利润为y元,则依题意可得
y=×100(5x+1-)
=90 000(-++5)
=90 000[-3(-)2+].
因此,当=,即运输生产速度为6 kg/h时,
该工厂获得的利润最大,最大利润为 457 500元.
14.(5分)不等式(x+2)3-(x2+4x)<2(x+2)+4的解集是　 .
(x+2)[(x+2)2-(x+2)-2]<0 (x+3)(x+2)x<0,根据穿根法,如图,
可知不等式的解集为{x|x<-3或-2也可以转化为不等式组求解, 或第2课时　一元二次不等式的应用
【课程标准要求】　1.熟练掌握分式不等式的解法.2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系.3.构建一元二次函数模型,解决实际问题.
题型一　解简单的分式不等式
[例1] 解下列不等式.
(1)>0;
(2)≤0;
(3)≤1.
【解】 (1)原不等式可化为(-2x+5)(x-2)>0,即(2x-5)(x-2)<0,所以2(2)原不等式可化为解得-2(3)原不等式可化为-1≤0,
即≤0,即≥0,
所以解得x<或x≥3.
所以原不等式的解集为{x}.
分式不等式的解法
类型 同解不等式
>0(<0) (其中a,b,c,d 为常数) 法一:或 法二:(ax+b)(cx+d)>0(<0)
≥0(≤0) (其中a,b,c,d 为常数) 法一:或 法二:
>k ([变式训练] 解下列不等式.
(1)≥0;
(2)<3.
【解】 (1)原不等式等价于
解得x≤-1或x>3.
即原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.
(2)因为<3,所以-3<0,
整理得,<0,
所以原不等式等价于(x-1)(x+1)<0,
解得-1所以原不等式的解集为{x|-1题型二　二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
[例2] 已知关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是{x},求关于x的不等式ax2-bx+c>0(a≠0)的解集.
【解】 由条件知-2,-是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0,
所以-2-=-,-2×(-)=,
所以b=a,c=a.
从而不等式ax2-bx+c>0变为a(x2-x+1)>0.因为a<0,所以原不等式等价于2x2-5x+2<0,
即(x-2)(2x-1)<0,解得所以所求不等式的解集为{x}.
已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:
(1)根据解集来判断二次项系数的符号;
(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;
(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
[变式训练] (多选)如图,二次函数y=ax2+bx+c的对称轴方程为x=1,且与x轴交于点A(-1,0),则下列说法正确的是(　　)
[A]a>0
[B] m∈R,a+b≥am2+bm
[C]ax+c>0的解集为{x|x<3}
[D]cx2+bx+a<0的解集为{x}
【答案】 BCD
【解析】 对于A,由图象开口向下,得a<0,故A错误;
对于B,对称轴方程为x=1,故对 m∈R,
ymax=a+b+c≥am2+bm+c,即a+b≥am2+bm,故B正确;对于C,图象过点A(-1,0),由对称性得y=ax2+bx+c有两个零点-1,3,所以-=2,=-3,故c=-3a,由a<0,ax-3a>0,得x<3,故ax+c>0的解集为{x|x<3},故C正确;对于D,因为b=-2a,c=-3a,由cx2+bx+a<0,得-3ax2-2ax+a<0,又a<0,3x2+2x-1<0,解得-1题型三　一元二次不等式的实际应用
[例3] (湘教版必修第一册P56例8)已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L(m)与速度v(km/h)之间有如下关系式:L=k·M·v2,其中k是比例系数,且k>0,M是汽车质量(t).若某辆卡车不装货物(司机体重忽略不计)以36 km/h的速度行驶时,从刹车到停车需要走20 m.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,为保证安全,要在发现前面20 m处有障碍物时能在离障碍物5 m 以外处停车,则最高速度应低于多少(设司机发现障碍物到踩刹车需经过1 s)
解不等式应用题的步骤
[变式训练] (苏教版必修第一册P67例3)某小型服装厂生产一种风衣,日销货量x件(x∈N*)与货价p元/件之间的关系为p=160-2x,生产x件所需成本为C=500+30x元.问:该厂日产量多大时,日获利不少于1 300元 (假设该厂每天生产的风衣可以全部售完)
【解】 由题意,得(160-2x)x-(500+30x)≥1 300,
化简,得x2-65x+900≤0,
解得20≤x≤45.
故该厂日产量在20件至45件时,日获利不少于 1 300元.
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.不等式<的解集是(　　)
[A]{x|x<2}　
[B]{x|x>2}
[C]{x|0[D]{x|x<0或x>2}
【答案】 D
【解析】 由<可得-<0,即<0,所以2x(2-x)<0,解得x<0或x>2.故选D.
2.不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-2[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 因为ax2-bx+c>0的解集为{x|-23.若p:≥0,q:x2-7x+10<0,则p是q的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 p:≥0,即所以24.在物理学中,若不计空气阻力,则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系h=v0t-gt2,其中g≈10 m/s2,一名同学以初速度v0=11 m/s竖直上拋一排球,排球能够在距拋出点2 m以上的位置最多停留(　　)
[A]1.6 s [B]1.7 s
[C]1.8 s [D]1.9 s
【答案】 C
【解析】 由题意可得,h=11t-5t2,令h=11t-5t2>2,即5t2-11t+2<0,解得0.2所以排球能够在距拋出点2 m以上的位置最多停留2-0.2=1.8(s).故选C.
5.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是(　　)
[A]{x|15≤x<22} [B]{x|15≤x<18}
[C]{x|15≤x<20} [D]{x|15≤x<24}
【答案】 C
【解析】 由题意得,[30-2(x-15)]·x>400,即x2-30x+200<0,解得106.(多选)已知不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-1或x≥3},则下列结论正确的是(　　)
[A]a<0
[B]a+b+c>0
[C]c<0
[D]cx2-bx+a<0的解集为{x}
【答案】 ABD
【解析】 因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-1或x≥3},则-1,3是方程ax2+bx+c=0的两根,则解得a<0,b=-2a,c=-3a>0,故A正确,C错误;a+b+c=a-2a-3a=-4a>0,故B正确;不等式cx2-bx+a<0可以化简为3x2-2x-1<0,解得-7.(5分)不等式>1-x的解集为　　　　　　.
【答案】 {x|x>1}
【解析】 由>1-x得>0,而x2-2x+2>0,则x-1>0,即x>1,所以>1-x的解集为{x|x>1}.
8.(5分)若关于x的不等式ax-b≤0的解集为{x|x≥2},则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0的解集是　 .
【答案】 {x|x<-3或x>2}
【解析】 因为关于x的不等式ax-b≤0的解集为{x|x≥2},所以a<0且b=2a,则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0,可化为ax2+ax-6a<0,即x2+x-6>0,解得x>2或x<-3,所以不等式的解集为{x|x<-3或x>2}.
9.(14分)求下列不等式或不等式组的解集:
(1)≤1;
(2)
【解】 (1)由≤1,得≥0,等价于解得x≥或x<2,
所以原不等式的解集为{x或x<2}.
(2)由不等式|1-2x|<9得-9<1-2x<9,解得-40,得x>4或x<-3,所以原不等式组的解集为{x|410.(14分)已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为{x}.
(1)求a,c的值;
(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.
【解】 (1)由题意知,不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为和,由根与系数的关系,得解得
(2)由a=-6,c=-1知不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0,即3x2-4x+1≤0,解得≤x≤1,所以所求不等式的解集为{x}.
11.若关于x的不等式 >0的解集是{x|-1[A]{x[B]{x或x>}
[C]{x[D]{x或x>}
【答案】 B
【解析】 因为>0等价于(ax-1)(x+b)>0,且(ax-1)(x+b)=0的两根为,-b,
不等式的解集为{x|-1等价于(2x+3)(2x-1)>0,解得{x或x>}.故选B.
12.(5分)关于x的方程mx2+4mx+3=0有两个不相等的实根x1,x2,且+-3x1x2>0,则实数m的取值范围是　　　　　　　　　.
【答案】 {m}
【解析】 因为关于x的方程mx2+4mx+3=0有两个不相等的实根x1,x2,
所以解得m<0或m>;
又x1+x2=-4,x1x2=,
所以+-3x1x2=-5x1x2=16-=>0,即m(16m-15)>0,解得m<0或m>.
综上,实数m的取值范围是{m|m<0或m>}.
13.(16分)(湘教版必修第一册P57例9)某化学试剂生产厂以x kg/h的速度运输生产某种产品(生产条件要求边生产边运输,且1≤x≤10),每小时可获得利润100(5x+1-)元.
(1)要使运输生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围.
(2)要使运输生产900 kg该产品获得的利润最大,该工厂应该选取何种运输生产速度 并求最大利润.
【解】 (1)依题意可得2×100(5x+1-)≥3 000,即5x-14-≥0.
因为1≤x≤10,所以5x2-14x-3≥0,
即(x-3)(5x+1)≥0,解得x≥3或x≤-.
结合1≤x≤10知,x的取值范围为{x|3≤x≤10}.
(2)设利润为y元,则依题意可得
y=×100(5x+1-)
=90 000(-++5)
=90 000[-3(-)2+].
因此,当=,即运输生产速度为6 kg/h时,
该工厂获得的利润最大,最大利润为 457 500元.
14.(5分)不等式(x+2)3-(x2+4x)<2(x+2)+4的解集是　 .
【答案】 {x|x<-3或-2【解析】 (x+2)3-(x2+4x)<2(x+2)+4 (x+2)3-(x+2)2<2(x+2)
(x+2)[(x+2)2-(x+2)-2]<0 (x+3)(x+2)x<0,根据穿根法,如图,
可知不等式的解集为{x|x<-3或-2也可以转化为不等式组求解, 或(共20张PPT)
第2课时　一元二次
不等式的应用
【课程标准要求】
1.熟练掌握分式不等式的解法.2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系.3.构建一元二次函数模型,解决实际问题.
关键能力·素养培优
[例1] 解下列不等式.
题型一　解简单的分式不等式
·解题策略·
分式不等式的解法
·解题策略·
[变式训练] 解下列不等式.
题型二　二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
·解题策略·
已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:
(1)根据解集来判断二次项系数的符号;
(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;
(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
[变式训练] (多选)如图,二次函数y=ax2+bx+c的对称轴方程为x=1,且与x轴交于点A(-1,0),则下列说法正确的是(　 　)
[A]a>0
[B] m∈R,a+b≥am2+bm
[C]ax+c>0的解集为{x|x<3}
BCD
题型三　一元二次不等式的实际应用
[例3] (湘教版必修第一册P56例8)已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L(m)与速度v(km/h)之间有如下关系式:L=k·M·v2,其中k是比例系数,且k>0,M是汽车质量(t).若某辆卡车不装货物(司机体重忽略不计)以36 km/h的速度行驶时,从刹车到停车需要走20 m.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,为保证安全,要在发现前面20 m处有障碍物时能在离障碍物5 m 以外处停车,则最高速度应低于多少(设司机发现障碍物到踩刹车需经过1 s)
·解题策略·
解不等式应用题的步骤
[变式训练] (苏教版必修第一册P67例3)某小型服装厂生产一种风衣,日销货量x件(x∈N*)与货价p元/件之间的关系为p=160-2x,生产x件所需成本为C=500+30x元.问:该厂日产量多大时,日获利不少于1 300元 (假设该厂每天生产的风衣可以全部售完)
【解】 由题意,得(160-2x)x-(500+30x)≥1 300,
化简,得x2-65x+900≤0,
解得20≤x≤45.
故该厂日产量在20件至45件时,日获利不少于 1 300元.
感谢观看第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式
【课程标准要求】　1.从函数观点看一元二次方程,了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式,经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
知识归纳
知识点一　一元二次不等式
1.一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
2.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0.
3.一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
(1)一元二次不等式需要从以下三个方面理解:
①一元即只含有一个未知数,其他字母均为常数或参数;
②未知数的最高次数必须为2,且其系数不能为0;
③必须是整式不等式.
(2)函数的零点不是点,而是函数的图象与x轴交点的横坐标,就是方程的根.
知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+ bx+c (a>0) 的图象
ax2+bx+ c=0(a>0) 的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+ c>0(a>0) 的解集 {x|xx2} {x} R
ax2+bx+ c<0(a>0) 的解集 {x|x1(1)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(2)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集.
基础自测
1.不等式x2≤9的解集为(　　)
[A]{x|x≤3}
[B]{x|-3[C]{x|-3≤x≤3}
[D]{x|x≥3或x≤-3}
【答案】 C
【解析】 不等式x2≤9可化为(x+3)(x-3)≤0,解得-3≤x≤3,所以不等式的解集为{x|-3≤x≤3}.故选C.
2.不等式x2+4x+4<0的解集是(　　)
[A]{x|x≠-2} [B]{x|-2≤x≤2}
[C] [D]{x|x=-2}
【答案】 C
【解析】 原不等式可化为(x+2)2<0,显然解集为 .故选C.
3.(人教A版必修第一册P53练习T1(1)改编)不等式(x-3)(5-x)<0的解集为(　　)
[A]{x|3[B]{x|x<3或x>5}
[C]{x|-5[D]{x|x<-5或x>-3}
【答案】 B
【解析】 由(x-3)(5-x)<0可得(x-3)(x-5)>0,解得x<3或x>5,故不等式的解集为{x|x<3或x>5}.故选B.
4.下列关于x的不等式:①x2>0;②-x2-x≤5;③ax2>2;④x3+5x-6>0;⑤mx2-5y<0;⑥ax2+bx+c>0.其中是一元二次不等式的是　　 　　.
【答案】 ①②
【解析】 由一元二次不等式的定义可知,①②是一元二次不等式.
题型一　解不含参数的一元二次不等式
[例1] (苏教版必修第一册P66例1)解下列不等式:
(1)x2-7x+12>0;
(2)-x2-2x+3≥0;
(3)x2-2x+1<0;
(4)x2-2x+2>0.
【解】 (1)方程x2-7x+12=0的解为x1=3,x2=4.
根据y=x2-7x+12的图象(图①),可得原不等式的解集为{x|x<3或x>4}.
(2)不等式两边同乘以-1,得x2+2x-3≤0.
方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.
根据y=x2+2x-3的图象(图②),
可得原不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.
(3)方程x2-2x+1=0有两个相同的解x1=x2=1.
根据y=x2-2x+1的图象(图③),可得原不等式的解集为 .
(4)因为Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解.
根据y=x2-2x+2的图象(图④),
可得原不等式的解集为R.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,左侧二次项系数为正.
(2)对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式Δ.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式Δ说明方程无实根.
(4)根据一元二次方程的根的情况画出对应的二次函数图象.
(5)根据图象写出不等式的解集.
[变式训练] 解下列不等式.
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-4x+5<0.
【解】 (1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,x2=2.根据y=2x2-3x-2的图象(如图①),原不等式的解集为{x或x>2}.
(2)不等式可化为3x2-6x+2<0,对应方程3x2-6x+2=0.因为Δ=36-4×3×2=12>0,所以该方程有两个不同的实数根,x1=1-,x2=1+.根据y=3x2-6x+2的图象(如图②),
原不等式的解集为{x(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,根据y=4x2-4x+1的图象(如图③),
原不等式的解集为{x}.
(4)因为x2-4x+5=0的判别式Δ<0,所以方程x2-4x+5=0无解.根据y=x2-4x+5的图象(如图④),原不等式的解集为 .
题型二　含参数的一元二次不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0(a∈R).
【解】 原不等式可化为(ax-2)(x-2)>0.
(1)当a=0时,原不等式为-2(x-2)>0,
解得x<2.
(2)当a<0时,原不等式可化为(x-)(x-2)<0,因为<2,所以(3)当a>0时,原不等式可化为(x-)(x-2)>0.
①当a=1时,原不等式为(x-2)2>0,所以x≠2;
②当02,所以x<2或x>;
③当a>1时,<2,所以x<或x>2.
综上,当a<0时,原不等式的解集为{x当a=0时,原不等式的解集为{x|x<2};
当0当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠2};
当a>1时,原不等式的解集为{x或x>2}.
在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑.
(1)不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)不等式对应的方程根的讨论:两个不同实根(Δ>0),两个相同实根(Δ=0),无实根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1[变式训练] 解关于x的不等式ax2+2x+1<0.
【解】 当a=0时,2x+1<0,得x<-.
当a≠0时,Δ=4-4a=4(1-a).
(1)当Δ≤0,即a≥1时,不等式ax2+2x+1<0无解.
(2)当Δ>0,即0①当0②当a<0时,因为x1>x2,所以x>x1或x综上,当a=0时,原不等式的解集为{x};
当a<0时,原不等式的解集为{x或x<};
当0当a≥1时,原不等式的解集为 .
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列不等式中是一元二次不等式的为(　　)
[A]ax2+2x+1>0 [B]x2-y>0
[C]-x2-3x<0 [D]>0
【答案】 C
【解析】 由一元二次不等式的定义可知,C正确.故选C.
2.(多选)函数y=x2-4x+3的零点为(　　)
[A](1,0) [B]1
[C](3,0) [D]3
【答案】 BD
【解析】 令x2-4x+3=0,得x=1或3.故选BD.
3.“-2[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 由x2+4x=x(x+4)<0,可得-44.不等式-x2+6x+27>0的解集为(　　)
[A]{x|-3[B]{x|-9[C]{x|x<-3或x>9}
[D]{x|x<-9或x>3}
【答案】 A
【解析】 由-x2+6x+27>0,得x2-6x-27<0,即(x-9)(x+3)<0,解得-35.下列不等式的解集是空集的是(　　)
[A]x2-x+2>0　 [B]-2x2+x+1>0
[C]2x-x2>5　 [D]x2+x<2
【答案】 C
【解析】 A项,Δ=(-1)2-8=-7<0,方程无解,又y=x2-x+2的图象开口向上,不等式解集为R,A错误;B项,-2x2+x+1>0,即2x2-x-1<0,Δ>0,解集显然不是空集,B错误;C项,2x-x2>5,即x2-2x+5<0,Δ=(-2)2-20=-16<0,又y=x2-2x+5的图象开口向上,不等式的解集为 ,C正确;D项,x2+x<2,即x2+x-2<0,Δ>0,解集显然不是空集,D错误.故选C.
6.若a<0,则关于x的不等式a(x+2)(x+)<0的解集为(　　)
[A]{x}
[B]{x}
[C]{x}
[D]{x}
【答案】 C
【解析】 因为a<0,a(x+2)(x+)<0,所以(x+2)(x+)>0,又->0,故解得x<-2或x>-.故选C.
7.(5分)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　　　　.
【答案】 {x|x<-2或x>3}
【解析】 根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图,如图.由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}.
8.(5分)不等式(x-)≥0的解集为　　　　　　　　.
【答案】 {x}
【解析】 由得所以≤x≤2或x≥3.
9.(14分)分别求下列关于x的不等式的解集:
(1)6x2-x-1<0;
(2)x2+(a-2)x-2a≤0.
【解】 (1)由6x2-x-1<0可得(2x-1)(3x+1)<0,所以-(2)由x2+(a-2)x-2a≤0可得(x+a)(x-2)≤0.当-a=2,即a=-2时,由(x-2)2≤0,解得x=2;
当-a>2,即a<-2时,解得2≤x≤-a;
当-a<2,即a>-2时,解得-a≤x≤2.
综上,当a<-2时,原不等式的解集为{x|2≤x≤-a};
当a=-2时,原不等式的解集为{2};
当a>-2时,原不等式的解集为{x|-a≤x≤2}.
10.(14分)解关于x的不等式:x2+(a2+a)x+a3>0.
【解】 原不等式可化为(x+a)(x+a2)>0.
①当-a>-a2,即a<0或a>1时,x>-a或x<-a2.　
②当-a=-a2时,a=0或1,当a=0时,x≠0;当a=1时,x≠-1.
③当-a<-a2,即0-a2或x<-a.
综上所述,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|x>-a或x<-a2};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当0-a2 或x<-a}.
11.已知p:(x-m)2>3(x-m)是q:x2-3x-4≤0成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为(　　)
[A]{m|m≤-4或m≥4}
[B]{m|m<-4或m>4}　
[C]{m|-4[D]{m|-4≤m≤4}
【答案】 B
【解析】 对于p,不等式(x-m)2>3(x-m),即(x-m)[x-(m+3)]>0,则不等式的解集为P={x|xm+3};对于q,不等式x2-3x-4≤0的解集为Q={x|-1≤x≤4}.又已知p是q成立的必要不充分条件,则QP,所以m>4或m+3<-1,即m>4或m<-4,故实数m的取值范围为{m|m<-4或m>4}.故选B.
12.设[x]表示不超过x的最大整数,如[4.1]=4,[-1.1]=-2,则不等式[x]2-[x]-6≤0的解集是(　　)
[A]{x|-3≤x≤4}　 [B]{x|-3≤x<4}
[C]{x|-2≤x≤4} [D]{x|-2≤x<4}
【答案】 D
【解析】 解关于[x]的不等式[x]2-[x]-6≤0,得-2≤[x]≤3,由于[x]表示不超过x的最大整数,可得-2≤x<4.故选D.
13.(16分)已知关于x的不等式(mx-2)[x-(3m-1)]≥0.
(1)当m=2时,求关于x的不等式的解集;
(2)当m∈R时,求关于x的不等式的解集.
【解】 (1)当m=2时,不等式可化为(x-1)(x-5)≥0,解得x≤1或x≥5,所以当m=2时,不等式的解集是{x|x≤1或x≥5}.
(2)①当m=0时,原不等式可化为-2(x+1)≥0,解得x≤-1.
②当m<0时,原不等式可化为(x-)·[x-(3m-1)]≤0,令=3m-1,解得m=-或m=1(舍去).
(ⅰ)当m<-时,3m-1<,解得3m-1≤x≤;
(ⅱ)当m=-时,原不等式为(x+3)2≤0,解得x=-3;
(ⅲ)当-③当m>0时,原不等式可化为(x-)·[x-(3m-1)]≥0,令=3m-1,解得m=-(舍去)或m=1.
(ⅰ)当03m-1,解得x≥或x≤3m-1;
(ⅱ)当m=1时,原不等式为(x-2)2≥0,解得x∈R;
(ⅲ)当m>1时,<3m-1,解得x≥3m-1或x≤.
综上所述,当m<-时,原不等式的解集为{x};
当m=-时,原不等式的解集为{x|x=-3};
当-当m=0时,原不等式的解集为{x|x≤-1};
当0当m=1时,原不等式的解集为R;
当m>1时,原不等式的解集为{x}.
14.已知关于x的不等式(a2-1)x2-2ax+1<0恰有3个整数解,则实数a的取值范围是(　　)
[A]{a}
[B]{a}
[C]{a}
[D]{a}
【答案】 A
【解析】 (a2-1)x2-2ax+1=[(a+1)x-1][(a-1)x-1]<0,若a2-1<0,则-1若a2-1>0,则a>1或a<-1.
当a>1时,0<<,不等式的解集为{x},因为0<<,所以原不等式的
3个整数解为1,2,3,所以3<≤4,则≤a<;
当a<-1时,<<0,不等式的解集为{x},因为>-,所以原不等式的3个整数解为-1,-2,-3,所以-4≤<-3,则-2.3　二次函数与
一元二次方程、不等式
　第 1课时　二次函数与一元二次方程、不等式
【课程标准要求】
1.从函数观点看一元二次方程,了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式,经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
必备知识·归纳落实
知识点一　一元二次不等式
知识归纳
1.一般地,我们把只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式.
2.一元二次不等式的一般形式是 或 ,其中a,b,c均为常数,a≠0.
3.一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的 叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
一个
2
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
实数x
·疑难解惑·
(1)一元二次不等式需要从以下三个方面理解:
①一元即只含有一个未知数,其他字母均为常数或参数;
②未知数的最高次数必须为2,且其系数不能为0;
③必须是整式不等式.
(2)函数的零点不是点,而是函数的图象与x轴交点的横坐标,就是方程的根.
知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
{x|xx2}
R
{x|x1

·温馨提示·
(1)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(2)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集.
基础自测
1.不等式x2≤9的解集为(　　)
[A]{x|x≤3}
[B]{x|-3[C]{x|-3≤x≤3}
[D]{x|x≥3或x≤-3}
C
【解析】 不等式x2≤9可化为(x+3)(x-3)≤0,解得-3≤x≤3,所以不等式的解集为{x|-3≤x≤3}.故选C.
2.不等式x2+4x+4<0的解集是(　　)
[A]{x|x≠-2} [B]{x|-2≤x≤2}
[C] [D]{x|x=-2}
C
【解析】 原不等式可化为(x+2)2<0,显然解集为 .故选C.
3.(人教A版必修第一册P53练习T1(1)改编)不等式(x-3)(5-x)<0的解集为
(　　)
[A]{x|3[B]{x|x<3或x>5}
[C]{x|-5[D]{x|x<-5或x>-3}
B
【解析】 由(x-3)(5-x)<0可得(x-3)(x-5)>0,解得x<3或x>5,故不等式的解集为{x|x<3或x>5}.故选B.
4.下列关于x的不等式:①x2>0;②-x2-x≤5;③ax2>2;④x3+5x-6>0;⑤mx2-5y<0;⑥ax2+bx+c>0.其中是一元二次不等式的是　　　　.
①②
【解析】 由一元二次不等式的定义可知,①②是一元二次不等式.
关键能力·素养培优
[例1] (苏教版必修第一册P66例1)解下列不等式:
(1)x2-7x+12>0;
题型一　解不含参数的一元二次不等式
【解】 (1)方程x2-7x+12=0的解为x1=3,x2=4.
根据y=x2-7x+12的图象(图①),可得原不等式的解集为{x|x<3或x>4}.
(2)-x2-2x+3≥0;
【解】 (2)不等式两边同乘以-1,得x2+2x-3≤0.
方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.
根据y=x2+2x-3的图象(图②),
可得原不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.
(3)x2-2x+1<0;
【解】 (3)方程x2-2x+1=0有两个相同的解x1=x2=1.
根据y=x2-2x+1的图象(图③),可得原不等式的解集为 .
(4)x2-2x+2>0.
【解】 (4)因为Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解 .
根据y=x2-2x+2的图象(图④),
可得原不等式的解集为R.
·解题策略·
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,左侧二次项系数为正.
(2)对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式Δ.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式Δ说明方程无实根.
(4)根据一元二次方程的根的情况画出对应的二次函数图象.
(5)根据图象写出不等式的解集.
[变式训练] 解下列不等式.
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-4x+5<0.
【解】(4)因为x2-4x+5=0的判别式Δ<0,所以方程x2-4x+5=0无解.
根据y=x2-4x+5的图象(如图④),原不等式的解集为 .
题型二　含参数的一元二次不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0(a∈R).
【解】 原不等式可化为(ax-2)(x-2)>0.
(1)当a=0时,原不等式为-2(x-2)>0,
解得x<2.
·解题策略·
在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑.
(1)不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)不等式对应的方程根的讨论:两个不同实根(Δ>0),两个相同实根(Δ=0),无实根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1[变式训练] 解关于x的不等式ax2+2x+1<0.
感谢观看第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式
【课程标准要求】　1.从函数观点看一元二次方程,了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式,经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
知识归纳
知识点一　一元二次不等式
1.一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
2.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0.
3.一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
(1)一元二次不等式需要从以下三个方面理解:
①一元即只含有一个未知数,其他字母均为常数或参数;
②未知数的最高次数必须为2,且其系数不能为0;
③必须是整式不等式.
(2)函数的零点不是点,而是函数的图象与x轴交点的横坐标,就是方程的根.
知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+ bx+c (a>0) 的图象
ax2+bx+ c=0(a>0) 的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+ c>0(a>0) 的解集 {x|xx2} {x} R
ax2+bx+ c<0(a>0) 的解集 {x|x1(1)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(2)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集.
基础自测
1.不等式x2≤9的解集为(　　)
[A]{x|x≤3}
[B]{x|-3[C]{x|-3≤x≤3}
[D]{x|x≥3或x≤-3}
2.不等式x2+4x+4<0的解集是(　　)
[A]{x|x≠-2} [B]{x|-2≤x≤2}
[C] [D]{x|x=-2}
3.(人教A版必修第一册P53练习T1(1)改编)不等式(x-3)(5-x)<0的解集为(　　)
[A]{x|3[B]{x|x<3或x>5}
[C]{x|-5[D]{x|x<-5或x>-3}
4.下列关于x的不等式:①x2>0;②-x2-x≤5;③ax2>2;④x3+5x-6>0;⑤mx2-5y<0;⑥ax2+bx+c>0.其中是一元二次不等式的是　　 　　.
题型一　解不含参数的一元二次不等式
[例1] (苏教版必修第一册P66例1)解下列不等式:
(1)x2-7x+12>0;
(2)-x2-2x+3≥0;
(3)x2-2x+1<0;
(4)x2-2x+2>0.
根据y=x2-7x+12的图象(图①),可得原不等式的解集为{x|x<3或x>4}.
(2)不等式两边同乘以-1,得x2+2x-3≤0.
方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.
根据y=x2+2x-3的图象(图②),
可得原不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.
(3)方程x2-2x+1=0有两个相同的解x1=x2=1.
根据y=x2-2x+1的图象(图③),可得原不等式的解集为 .
(4)因为Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解.
根据y=x2-2x+2的图象(图④),
可得原不等式的解集为R.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,左侧二次项系数为正.
(2)对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式Δ.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式Δ说明方程无实根.
(4)根据一元二次方程的根的情况画出对应的二次函数图象.
(5)根据图象写出不等式的解集.
[变式训练] 解下列不等式.
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-4x+5<0.
(2)不等式可化为3x2-6x+2<0,对应方程3x2-6x+2=0.因为Δ=36-4×3×2=12>0,所以该方程有两个不同的实数根,x1=1-,x2=1+.根据y=3x2-6x+2的图象(如图②),
原不等式的解集为{x(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,根据y=4x2-4x+1的图象(如图③),
原不等式的解集为{x}.
(4)因为x2-4x+5=0的判别式Δ<0,所以方程x2-4x+5=0无解.根据y=x2-4x+5的图象(如图④),原不等式的解集为 .
题型二　含参数的一元二次不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0(a∈R).
(1)当a=0时,原不等式为-2(x-2)>0,
解得x<2.
(2)当a<0时,原不等式可化为(x-)(x-2)<0,因为<2,所以(3)当a>0时,原不等式可化为(x-)(x-2)>0.
①当a=1时,原不等式为(x-2)2>0,所以x≠2;
②当02,所以x<2或x>;
③当a>1时,<2,所以x<或x>2.
综上,当a<0时,原不等式的解集为{x当a=0时,原不等式的解集为{x|x<2};
当0当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠2};
当a>1时,原不等式的解集为{x或x>2}.
在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑.
(1)不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)不等式对应的方程根的讨论:两个不同实根(Δ>0),两个相同实根(Δ=0),无实根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1[变式训练] 解关于x的不等式ax2+2x+1<0.
当a≠0时,Δ=4-4a=4(1-a).
(1)当Δ≤0,即a≥1时,不等式ax2+2x+1<0无解.
(2)当Δ>0,即0①当0②当a<0时,因为x1>x2,所以x>x1或x综上,当a=0时,原不等式的解集为{x};
当a<0时,原不等式的解集为{x或x<};
当0当a≥1时,原不等式的解集为 .
课时作业
(满分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列不等式中是一元二次不等式的为(　　)
[A]ax2+2x+1>0 [B]x2-y>0
[C]-x2-3x<0 [D]>0
2.(多选)函数y=x2-4x+3的零点为(　　)
[A](1,0) [B]1
[C](3,0) [D]3
3.“-2[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
4.不等式-x2+6x+27>0的解集为(　　)
[A]{x|-3[B]{x|-9[C]{x|x<-3或x>9}
[D]{x|x<-9或x>3}
5.下列不等式的解集是空集的是(　　)
[A]x2-x+2>0　 [B]-2x2+x+1>0
[C]2x-x2>5　 [D]x2+x<2
6.若a<0,则关于x的不等式a(x+2)(x+)<0的解集为(　　)
[A]{x}
[B]{x}
[C]{x}
[D]{x}
7.(5分)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　　　　.
8.(5分)不等式(x-)≥0的解集为　　　　　　　　.
9.(14分)分别求下列关于x的不等式的解集:
(1)6x2-x-1<0;
(2)x2+(a-2)x-2a≤0.
(2)由x2+(a-2)x-2a≤0可得(x+a)(x-2)≤0.当-a=2,即a=-2时,由(x-2)2≤0,解得x=2;
当-a>2,即a<-2时,解得2≤x≤-a;
当-a<2,即a>-2时,解得-a≤x≤2.
综上,当a<-2时,原不等式的解集为{x|2≤x≤-a};
当a=-2时,原不等式的解集为{2};
当a>-2时,原不等式的解集为{x|-a≤x≤2}.
10.(14分)解关于x的不等式:x2+(a2+a)x+a3>0.
①当-a>-a2,即a<0或a>1时,x>-a或x<-a2.　
②当-a=-a2时,a=0或1,当a=0时,x≠0;当a=1时,x≠-1.
③当-a<-a2,即0-a2或x<-a.
综上所述,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|x>-a或x<-a2};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当0-a2 或x<-a}.
11.已知p:(x-m)2>3(x-m)是q:x2-3x-4≤0成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为(　　)
[A]{m|m≤-4或m≥4}
[B]{m|m<-4或m>4}　
[C]{m|-4[D]{m|-4≤m≤4}
12.设[x]表示不超过x的最大整数,如[4.1]=4,[-1.1]=-2,则不等式[x]2-[x]-6≤0的解集是(　　)
[A]{x|-3≤x≤4}　 [B]{x|-3≤x<4}
[C]{x|-2≤x≤4} [D]{x|-2≤x<4}
13.(16分)已知关于x的不等式(mx-2)[x-(3m-1)]≥0.
(1)当m=2时,求关于x的不等式的解集;
(2)当m∈R时,求关于x的不等式的解集.
(2)①当m=0时,原不等式可化为-2(x+1)≥0,解得x≤-1.
②当m<0时,原不等式可化为(x-)·[x-(3m-1)]≤0,令=3m-1,解得m=-或m=1(舍去).
(ⅰ)当m<-时,3m-1<,解得3m-1≤x≤;
(ⅱ)当m=-时,原不等式为(x+3)2≤0,解得x=-3;
(ⅲ)当-③当m>0时,原不等式可化为(x-)·[x-(3m-1)]≥0,令=3m-1,解得m=-(舍去)或m=1.
(ⅰ)当03m-1,解得x≥或x≤3m-1;
(ⅱ)当m=1时,原不等式为(x-2)2≥0,解得x∈R;
(ⅲ)当m>1时,<3m-1,解得x≥3m-1或x≤.
综上所述,当m<-时,原不等式的解集为{x};
当m=-时,原不等式的解集为{x|x=-3};
当-当m=0时,原不等式的解集为{x|x≤-1};
当0当m=1时,原不等式的解集为R;
当m>1时,原不等式的解集为{x}.
14.已知关于x的不等式(a2-1)x2-2ax+1<0恰有3个整数解,则实数a的取值范围是(　　)
[A]{a}
[B]{a}
[C]{a}
[D]{a}
若a2-1>0,则a>1或a<-1.
当a>1时,0<<,不等式的解集为{x},因为0<<,所以原不等式的
3个整数解为1,2,3,所以3<≤4,则≤a<;
当a<-1时,<<0,不等式的解集为{x},因为>-,所以原不等式的3个整数解为-1,-2,-3,所以-4≤<-3,则-

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