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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第七章 统计与概率
7.2 概率
概率 事件的分类及其概率
概 率 的 计 算 1.定义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为P(A).
2.概率的计算(1)公式法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率. (2)列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有等可能的结果数较多时，我们常用列表的方式，列出所有等可能的结果，再求出概率. (3)画树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素或经过多个步骤(三步或三步以上)时，为不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法. (4)几何概型的概率公式P(A)=
用频率估计概率 频率概率 区别 试验值，是试验时的统计值，随着试验次数的变化而变化理论值，是确定的值 与试验次数的多少有关与试验次数的多少无关与试验的具体环境有关与试验的具体环境无关联系通过多次重复试验，可用该事件发生的频率来估计这一事件发生的概率
■考点一　事件的分类
◇典例1：下列事件是必然事件的是（　　）
A．期末考试数学得满分 B．回家的路口遇到的都是绿灯
C．今天的太阳要落山 D．明天要下大雨
【答案】C
【解析】【解答】解：A、期末考试数学得满分，是随机事件，不符合题意；
B、回家的路口遇到的都是绿灯，是随机事件，不符合题意；
C、今天的太阳要落山，是必然事件，符合题意；
D、明天要下大雨，是随机事件，不符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查事件的分类，重点是依据必然事件的定义区分必然事件与随机事件。必然事件是指在一定条件下必定会发生的事件，而随机事件是可能发生也可能不发生的事件。分析各选项：“期末考试数学得满分”取决于个人表现，结果不确定，属于随机事件；“回家的路口遇到的都是绿灯”受交通信号灯变化影响，无法确定，是随机事件；“今天的太阳要落山”是基于自然规律的必然结果，一定会发生，属于必然事件；“明天要下大雨”受天气变化影响，结果不确定，为随机事件，因此选择该选项。
◆变式训练
1.下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．三角形的内角和是
B．负数大于正数
C．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6
D．明天太阳从西方升起
【答案】C
【解析】【解答】解：A、三角形的内角和是，是必然事件，不符合题意；
B、负数大于正数，是不可能事件，不符合题意；
C、抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6，是随机事件，符合题意；
D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
2.掷一枚均匀的骰子，下列属于确定事件的是（　　）
A．朝上的数字小于7 B．朝上的数字是奇数
C．朝上的数字是6 D．朝上的数字大于3
【答案】A
【解析】【解答】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字小于7是必然事件，即确定事件，故A符合题意；
B、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是奇数是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是6是随机事件，故C不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字大于3是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的定义，确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可解答．
■考点二 直接用概率公式求概率
◇典例2：如图，一个游戏转盘被分成灰色，白色两个扇形，其中灰色扇形的圆心角度数为，转动转盘，停止后指针落在白色区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 圆周角为，灰色扇形圆心角为，
∴白色扇形圆心角为，
∴指针落在白色区域的概率 =
故答案为：C ．
【分析】本题先根据图中信息求出白色扇形圆心角，再依据某区域概率 = 该区域圆心角÷圆周角，列式计算即可得出答案。
◆变式训练
1.不透明的盒中有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】根据题意，有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别，
∴从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，
故选：C．
【分析】本题考查概率公式的基本应用，核心是明确“所求事件概率=所求事件包含的基本事件数÷所有可能发生的基本事件总数”。首先计算所有可能发生的基本事件总数，即盒子中棋子的总数，2枚黑棋与3枚白棋相加，总共有5枚棋子；再确定所求事件“取出黑棋”包含的基本事件数，即黑棋的数量2枚。用黑棋的数量除以棋子的总数，即可得到取出黑棋的概率为。
2.二维码在日常生活中被广泛应用．如图，兴趣小组将二维码打印在面积为的正方形纸片上，利用计算机软件进行随机掷点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.4左右，据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得：（点落在黑色阴影）＝0.4，
∴（点落在黑色阴影）＝，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据点落在黑色阴影的频率稳定在0.4左右得（点落在黑色阴影）＝，即可得即可.
■考点三 用列举法求概率
◇典例1：从位男同学和位女同学中任选人参加志愿者活动，所选人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
一共有种等可能得结果，恰好是一位男同学和一位女同学有种等可能得结果，
∴所选人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率是，
故选：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好是一位男同学和一位女同学的结果，再根据概率公式即可求出答案.
◆变式训练
1.学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°，同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏，若小李同学同时转动4盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：画出树状图
∴共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果有3种
∴小李同学同时转动4盘和B盘，她赢得游戏的概率
故答案为：A
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果，再根据概率公式即可求出答案.
2.如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：列表如下：
　
　 ， ， ，
， 　 ， ，
， ， 　 ，
， ， ， 　
共12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的情况有4种，
∴，
故选B．
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出其中能使灯泡发光的结果，再根据概率公式即可求出答案.
3.秦腔，别称“梆子腔”，中国汉族最古老的戏剧之一，源于西府，成熟于秦，是戏曲音乐文化发展的根基，它深刻诠释了汉文化的发展，同时也承载着广大西部地区人民的精神寄托，是人们互相交流情感的一种方式.李爷爷和刘爷爷需要各自从下面四部曲目中分别随机选择一部进行表演，如图所示，其余均相同.卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上.
（1）李爷爷从中随机抽取一张，卡片正面是“D.龙凤呈祥”的概率是　 　；
（2）若李爷爷先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，刘爷爷再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，求他们两人中，有一个人抽中“A.周仁回府”这个曲目的概率.
【答案】（1）
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中李爷爷和刘爷爷两人中，有一个人抽中“A.周仁回府”这个曲目的结果有6种，
∴他们两人中，有一个人抽中“A.周仁回府”这个曲目的概率为=
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
李爷爷从中随机抽取一张，卡片正面是“D.龙凤呈祥”的概率是
故答案为
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出李爷爷和刘爷爷两人中，有一个人抽中“A.周仁回府”这个曲目的结果，再根据概率公式即可求出答案.
■考点四 用频率估计概率统
◇典例1：某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800
近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410
A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410
【答案】D
【解析】【解答】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于，
故答案为：D ．
【分析】根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由频率估计概率即可求解．
◆变式训练
1.在利用正六面体骰子进行频率估计概率的试验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．朝上的点数是5的概率 B．朝上的点数是奇数的概率
C．朝上的点数大于2的概率 D．朝上的点数是3的倍数的概率
【答案】D
【解析】【解答】解：A、朝上的点数是5的概率为，不符合试验的结果；
B、朝上的点数是奇数的概率为，不符合试验的结果；
C、朝上的点数大于2的概率，不符合试验的结果；
D、朝上的点数是3的倍数的概率是，基本符合试验的结果．
故选：D．
【分析】计算出各个选项中事件的概率，根据概率即可作出判断．
2.绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大.某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在0.95附近波动，估计1000kg这样的绿豆种子中发芽的有（　　）
A．855kg B．810kg C．950kg D．450kg
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
1000×0.95=950
故答案为：C
【分析】根据总数乘以发芽率即可求出答案.
■考点五 计与概率的综合
◇典例1：为了解九年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对九年级学生以20人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用评分模型进行评分：“完全不理解”记为0分，“了解了一个方面”记为1分，“了解了几个独立的方面”记为2分，“理解了几个方面的相关性”记为3分，“能够综合运用”记为4分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下：
【整理与描述】
（1）请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为 °；
【分析与估计】
平均数 众数 中位数
第1组 2.9 a 3
第2组 b 0 1
第3组 2.25 2 c
（2）由上表填空： ， ， ；
（3）第2组“能够综合运用”的4名学生中有2名男生，2名女生，从中任意抽取2名学生参加班级的知识问答活动，用树状图或列表法求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】解：（1）∵（人），
第1小组得分条形统计图补全如图所示：
36；
（2）4，，2；
（3）画树状图如下：
∵一共有12种等可能出现的结果，其中抽到一男一女的情况有8种，
∴P（恰好抽到一男一女）．
答：恰好是一名男生和一名女生的概率为．
【解析】【解答】解：（1）第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为；
（2）由第1小组得4分的人数最多，
∴众数；
第2小组的平均数为
；
∵第3小组的第10，11个数据分别为2，2，
∴中位数；
【分析】（1）求出3分的人数，补全图形即可，再根据360°乘以3分的占比即可求出答案.
（2）根据平均数，众数，中位数的定义即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出抽到一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
◆变式训练
1.中国的数字支付正在引领未来世界的支付方式变革．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了　 　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　 　；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，将各种支付方式调查人数组成一组数据，求这组数据的“中位数”是“　 　”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求两人选同种支付方式的概率．
【答案】解：（1）100人，72°；
（2）银行卡人数为：100×15%＝15（人），
微信人数为：100×30％=30（人），
补全图形如下：
将各种支付方式调查人数组成一组数据，从小到大排列为：10，15，20，25，30，
则中位数为20；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图得：
，
∵由树状图知，共有9种等可能的结果，其中两人选用同一种支付方式的有3种，
∴P（两人选用同种支付方式）＝．
【解析】【解答】解：（1）用支付宝、现金及其他的人数和为：20+25+10=55（人），
用支付宝、现金及其他的人数所占百分比为：1-15％-30％=55％，
∴本次活动调查的总人数为55÷55%＝100人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝72°，
故答案为：100，72°；
【分析】（1）根据用支付宝、现金及其他的人数及其占比即可求出总人数，再根据360°乘以支付宝的占比即可求出答案.
（2）求出银行卡，微信人数，补全图形，再根据中位数定义即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人选用同一种支付方式的结果，再根据概率公式即可求出答案.
2.我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：（旅游管理）、（信息技术）、（酒店管理）、（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．面根号）
根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有_____人：扇统计图中（旅游管理）专业所对应的心角的度数为______：
（2）请补全条形统计图，若该中学有名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有________人：
（3）从选择（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法活画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
【答案】（1）；
（2）解：
，

（3）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共种，
∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为，
答：恰好抽到甲、丙两名同学的概率为．
【解析】【解答】（1）解：本次被调查的学生有：（人），
扇统计图中（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：；；
（2）条形统计图中，（信息技术）专业的人数为：（人），
（人）
∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有人，
故答案为：；
【分析】（1）根据C类的人数与占比可得总人数，再根据360°乘以A类的占比即可求出答案.
（2）求出B类的人数，再补全图形即可，再根据总人数乘以B类的占比即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：本次被调查的学生有：（人），
扇统计图中（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：；；
（2）条形统计图中，（信息技术）专业的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示．
（人）
∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有人，
故答案为：；
（3）画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共种，
∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为，
答：恰好抽到甲、丙两名同学的概率为．
1．（2025·深圳模拟）下列判断正确的是(　　)
A．掷一次骰子，向上一面的点数是属于必然事件
B．“平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形”是真命题
C．检测某城市的空气质量应采用全面调查方式
D．甲乙两个芭蕾舞团女演员身高的方差分别为，，则甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐
【答案】D
【解析】【解答】
解：A、骰子出现6的概率为1/6，是随机事件，非必然事件，故A错误；
B、一般平行四边形仅为中心对称图形，非轴对称图形，故B错误；
C、空气质量检测需抽样调查，无法全面调查，故C错误；
D、方差越小数据越稳定，甲方差较小，身高更整齐，故D正确；
故答案为：D .
【分析】根据事件的分类：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，由此可判断A；根据平行四边形是中心对称图形，可判断B；根据调查的特点空气质量检测适合抽样调查，可判断C；根据方差越小数据越稳定，可判断D；逐一判断即可解答.
2．（2025·深圳模拟）从甲地到乙地有三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
公交车用时的频数 公交车用时线路 合计
45 265 167 23 500
59 151 166 124 500
50 50 122 278 500
早高峰期间，乘坐哪条线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大（　　）
A．线路 B．线路 C．线路 D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】解：由表格得，样本容量相同，
∵，
∴A线路上的公交车用时超过分钟的频数最小，即从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大，
故选：A．
【分析】本题主要对利用频率估计概率进行考查。 观察统计表，在样本容量相同的情况下，可以看出A线路上公交车用时超过某分钟的频数最少，因此可以推测，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的概率最大 。
3．（2025·河源模拟）二十四节气是中国古人订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．春、夏、秋、冬四季各有二十四节气中的6个．从二十四个节气中任选一个节气，这个节气在春季的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵春季里有节气6个，
∴从二十四个节气中任选一个节气，这个节气在春季的概率是，
故答案为：D．
【分析】根据随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．再由春季里有节气6个，由概率公式求解即可解答．
4．（2025·深圳模拟） 十二地支是中国传统文化中的一个重要概念，与天干共同构成了干支纪年系统，它们也与十二生肖对应，分别是：子（鼠），丑（牛），寅（虎），卯（兔），辰（龙），巳（蛇），午（马），未（羊），申（猴），酉（鸡），戌（狗），亥（猪）．小东购买了一套十二生肖邮票，从中任选一张邮票送给小深，则恰好选中邮票“蛇”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意小东从十二生肖邮票中抽一张有12种可能性，而选中蛇的情况有1种，故概率P= .
故答案为：B.
【分析】直接根据总数与抽中蛇的数量，可得概率.
5．（2025·雷州模拟）从下列四个食品标识图中，随机取出一个图形，是轴对称图形的概率为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：上图中第2和4两个图形是轴对称图形，
∴随机取出一个图形，是轴对称图形的概率为，
故选：A．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形，结合概率公式即可求出答案.
6．（2025·高州模拟）数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　）
A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色
【答案】A
【解析】【解答】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在，
∵，
∴抽出某个球的颜色最有可能的是黑色；
故选：A．
【分析】根据频率表示概率即可求出答案.
7．（2025·金湾模拟）2025年春节期间《哪吒2》在珠海市金湾区的幸福蓝湾国际影城、珠海洛富特影城、中影星天地影城同一时间首映，志愿者团队为奖励表现优秀的哥哥和妹妹，让哥哥和妹妹分别从这三家影院随机抽取一家观看《哪吒2》首映，则哥哥和妹妹抽到同一家影院的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：将幸福蓝湾国际影城、珠海洛富特影城、中影星天地影城分别记为1、2、3，
画树状图如下：
由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中哥哥和妹妹抽到同一家影院的结果有3种，
∴哥哥和妹妹抽到同一家影院的概率是．
故答案为：B．
【分析】由题意，先画树状图，根据树状图的信息可得：所有等可能的结果数以及哥哥和妹妹抽到同一家影院的结果数，最后根据概率公式计算即可求解．
8．（2025·高要模拟）如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：将开关依次编号为，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能发光的结果有4种，
使得小灯泡能发光的概率为，
故答案为：C．
【分析】
先利用树状图法与列表法不重复不遗漏的列出所有可能的结果：共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果有4种，再根据公式概率所求情况数与总情况数之比，计算求解即可解答．
9．（2025·广东）如图，在直径BC为 的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：已知圆的直径BC＝2，根据半径是直径的一半，可得圆的半径R=。
∴该圆形的面积S=R2=2
∵∠BAC=90°
∴BC为小圆的直径
∴AB=AC
∴三角形BAC为等腰直角三角形
由三角函数可得r=AB=AC=2
∴扇形S==
由几何概率得P===
故答案为：D.
【分析】 先分别求出圆的面积和扇形的面积，再用扇形面积除以圆的面积得到米粒落在扇形内的概率。
10．（2025·深圳一模）如图，等边三角形ABC是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往△ABC内投一粒米，这粒米落在阴影区域的概率为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：因为等边三角形ABC由9个大小相等的等边三角形构成，阴影部分有5个小等边三角形，根据概率公式，可得概率为
故填：.
【分析】 本题考查几何概率，利用 概率 = 阴影区域面积与总面积的比值 求解。由于所有小等边三角形面积相等，只需数出阴影小三角形个数和总个数，其比值就是米落在阴影区域的概率，体现了 用频率估计概率中面积比与概率的关系.
11．（2025·龙华模拟）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．以下是深圳市非物质文化遗产的场景图：上川黄连胜醒狮舞（记作A），大船坑舞麒麟（记作B），潮俗皮影戏（记作C），沙头角鱼灯舞（记作D）．
（1）小聪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中潮俗皮影戏的概率是　 　；
（2）小聪和小颖商定从以下四幅图中各随机选择一幅，用于宣传深圳的非物质文化遗产，求两人恰好选中同一幅图的概率？
【答案】（1）
（2）解：根据题意画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一幅图的情况有4种，
（两人恰好选中同一幅图）．
【解析】【解答】（1）解：共有四幅图，小聪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中潮俗皮影戏的概率是，
故答案为：．
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：共有四幅图，小聪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中潮俗皮影戏的概率是，
故答案为：．
（2）解：根据题意画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一幅图的情况有4种，
（两人恰好选中同一幅图）．
12．（2025·增城模拟）2024年11月4日，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功，为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某班组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从．“北斗导航”；．“时代”；．“东风快递”；．“无人智能”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）该班共有__________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）小明和小丽从、、、四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【答案】（1）50
（2）解：根据题意得：
主题的学生人数为：（名），
补全折线统计图如下：
．
（3）解：根据题意画出树状图如下：
由图可知，小明和小丽从四个主题中任选一个主题共有16种等可能的结果，其中，他们选择相同主题的结果共有4种，
∴他们选择相同主题的概率为，
∴他们选择相同主题的概率为．
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：（名），
∴该班学生的总人数为50名.
故答案为：50．
【分析】（1）根据主题的人数主题的人数所占百分比即可得该班学生的总人数.
（2）先求出主题的学生人数为（名），进一步补全折线统计图即可.
（3）根据题意画出树状图，根据图形得小明和小丽从四个主题中任选一个主题共有16种结果，其中，他们选择相同主题的结果共有4种，根据概率公式求解即可.
（1）解：该班学生的总人数为（名），
故答案为：50．
（2）解：主题的学生人数为（名），
补全折线统计图如下：
．
（3）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，小明和小丽从四个主题中任选一个主题共有16种等可能的结果，其中，他们选择相同主题的结果共有4种，
则他们选择相同主题的概率为，
答：他们选择相同主题的概率为．
1．（2025·兴宁模拟）二十四节气， 它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑）， 秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气， 则抽到的节气在夏季的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，共有24节气，夏季的节气有6个，故概率P=.
故选：D.
【分析】共24节气，夏季的季气有6个，比值即为概率.
2．（2025·东莞模拟）如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影三角形内的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，则：，故选D．
【分析】求出阴影部分的面积与整个网格的面积，根据几何概率即可求出答案.
31．（2025·广州模拟）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干，将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：在4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干中，属于物理变化的是①冰化成水和④衣服晾干两张卡片，
所以，所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是，
故答案为：C．
【分析】由题意，先找出物理变化的卡片的张数，然后用概率公式计算即可求解．
3．（2025·澄海模拟）为增强数学传统文化教育学老师布置同学们查阅资料了解祖冲之、刘徽、赵爽这3大成就对数学发展起到的巨大推动作用，数学课上老师让甲乙两位同学均随机选取这3位数学家的成就进行分享，则选到不同数学家的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：用分别表示这3位数学家的成就，列表如下：
A B C
A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
共9种等可能的结果，其中，选到不同数学家的结果有6种，
∴；
故答案为：B．
【分析】用分别表示这3位数学家的成就，列出表格，由表格中的信息可得：共9种等可能的结果，其中，选到不同数学家的结果有6种，然后用概率公式计算即可求解．
4．（2025·深圳模拟）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（　　）
A．8 B．12 C．15 D．20
【答案】A
【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
∴，
∴．
经检验， 是方程的解，且符合题意．
故答案为：A。
【分析】用红球的个数除以箱子里球的总数，然后令其等于频率，最后再进行求解即可。
5．（2025·广东模拟）从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第一、第三象限的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵只有当时，正比例函数的图象经过第一、第三象限，
∴三个数字中只有数字3能使得正比例函数的图象经过第一、第三象限，
∴从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第一、第三象限的概率是，
故选：B．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系，结合概率公式即可求出答案.
6．（2025·白云模拟）如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，若小华从A处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面出口离开的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵共有5个出口，其中北面有B，C两个出口，
∴恰好从北面出口离开的概率为，
故答案为：D．
【分析】共有5个出口，故小华离开公园共有5种等可能的情况数，其中北面有两个出口，故选择从北面离开公园共有2种等可能的情况数，从而直接利用概率公式得出答案．
7．（2025·深圳模拟）对联是一种传统的中国文化艺术形式，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．一副对联包括上下两联，小鑫无意间将两副内容不同的对联打乱，他从中随机抽取两张，则恰好是一副对联的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设一张对联的两联为A，a，另一副对联的两联为B，b，从中随机抽取两张的结果为(A，a)(A，B)，(A，b)，(a，B)，(a，b)，(B，b)，其中 恰好是一副对联结果为(A，a)，(B，b)，
∴ 恰好是一副对联的概率是，
故答案为：B.
【分析】利用列举法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算解题.
8．（2025·福田模拟）在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个绿球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是绿球的概率为，则绿球的个数为　 　个．
【答案】12
【解析】【解答】解：根据题意可知，盒子中共有4÷（1-）=4÷=16个球，
∴绿球的个数为16-4=12个，
故答案为：12．
【分析】由绿球的概率可求得白球的概率，进而求得盒子中总球数，即可得出答案.
9．（2025·深圳模拟）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为
画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，
（两人恰好选中同一种）．
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人恰好选中同一种的结果，再根据概率公式即可求出答案.
10．（2025·自贡模拟）10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
AI
根据上述信息，解决下列问题．
（1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数；
（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）解：200，
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
∴该校参加环保调查学生人数约为810人；
（3）解：根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是．
【解析】【解答】解：（1）结合两幅图可得：（人），
∴本次调查总人数为200；
∵（人），
∴喜欢自制地球仪的有50人；
故答案为：200；
【分析】
（1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可；
（2）用学校人数2700乘以选择C类的学生人数的占比，计算即可求解；
（3）利用画树状图法画出图形，得到共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，再利用概率公式求解即可解答．
（1）解：结合两幅图可得：（人），
∴本次调查总人数为200；
∵（人），
∴喜欢自制地球仪的有50人；
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
∴该校参加环保调查学生人数约为810人；
（3）解：根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是．
11．（2025·四会模拟）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有 人；
（2）扇形统计图中， ，等级对应的圆心角为 度；
（3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率．
【答案】（1）40
（2），
（3）设小永用表示，其他三位同学分别用、、，从中任意选取人，所有可能出现的情况如下：
共有种等可能出现的情况，其中小永被选中的有种，
所以小永被选中参加区知识竞赛的概率为．
【解析】【解答】（1）（人），
故答案为：，
（2），．
故答案为：，；
【分析】
本题主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率；
（1）根据等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数=12÷30%；
（2）m=等级的频数除以总人数；圆心角度数=°乘以等级所占的比例即可；
（3）树状图表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可．
12．（2025·广州模拟）某学校九年级拟开展一次研学活动，经过前期考察，初步拟定以下五个活动基地：A．虎门鸦片战争博物馆（东莞市）；B．广州起义烈士陵园（广州市）；C．黄埔军校旧址纪念馆（广州市）；D．孙中山故里旅游区（中山市）；E．叶剑英纪念园（梅州市）．为了解学生对这五个基地的选择情况，从该年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如图1、图2所示．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了______名学生，并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查结果，估计该校九年级名学生中选择基地C的人数；
（3）在学生自主选择基地的过程中，小明和小红都确定选择位于广州市外的基地，请用列表法或树状图求他们两人选择同一基地研学的概率．
【答案】（1）解：
补全的条形统计图如图所示：
（2）解：根据题意，可得
（人），
答：估计该校九年级名学生中选择基地C的人数为人。
（3）解：位于广州市外的基地有A，D，E．
画树状图如图所示：
共有种等可能结果，其中两人选中同一基地研学的有种情况，
∴（两人选中同一基地研学的概率）。
【解析】【解答】（1）解：本次共调查了（人），
D基地的人数为：（人），
故答案为：。
【分析】（1）用B基地的人数除以其对应的占比，求出本次调查的学生总人数，然后再用调查学生总人数减去A、B、C、E的人数，即可求出D的人数，然后再在条状统计图中补充完整即可；
（2）用C基地的学生人数除以本次调查的学生人数，求出C基地的占比，然后再乘以该校9年级的学生总人数，即可求解。
（3）根据题干信息，可知，广州以外的基地有A，D，E三个基地，根据题干要求，列出所有可能发生的结果，然后再找出满足题干要求的结果，最后再根据概率公式，代入数据即可求解。
（1）解：本次共调查了（人），
D基地的人数为：（人），
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级名学生中选择基地C的人数为人；
（3）解：位于广州市外的基地有A，D，E．画树状图如图所示：
共有种等可能结果，其中两人选中同一基地研学的有种情况，
∴（两人选中同一基地研学的概率）．
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第七章 统计与概率
7.2 概率
概率 事件的分类及其概率
概 率 的 计 算 1.定义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生 的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为P(A).
2.概率的计算(1)公式法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率. (2)列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有等可能的结果数较多时，我们常用列表的方式，列出所有等可能的结果，再求出概率. (3)画树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素或经过多个步骤(三步或三步以上)时，为不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法. (4)几何概型的概率公式P(A)=
用频率估计概率 频率概率 区别 试验值，是试验时的统计值，随着试验次数的变化而变化理论值，是确定的值 与试验次数的多少有关与试验次数的多少无关与试验的具体环境有关与试验的具体环境无关联系通过多次重复试验，可用该事件发生的频率来估计这一事件发生的概率
■考点一　事件的分类
◇典例1：下列事件是必然事件的是（　　）
A．期末考试数学得满分 B．回家的路口遇到的都是绿灯
C．今天的太阳要落山 D．明天要下大雨
◆变式训练
1.下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．三角形的内角和是
B．负数大于正数
C．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6
D．明天太阳从西方升起
2.掷一枚均匀的骰子，下列属于确定事件的是（　　）
A．朝上的数字小于7 B．朝上的数字是奇数
C．朝上的数字是6 D．朝上的数字大于3
■考点二 直接用概率公式求概率
◇典例2：如图，一个游戏转盘被分成灰色，白色两个扇形，其中灰色扇形的圆心角度数为，转动转盘，停止后指针落在白色区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.不透明的盒中有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是（　　）
A． B． C． D．
2.二维码在日常生活中被广泛应用．如图，兴趣小组将二维码打印在面积为的正方形纸片上，利用计算机软件进行随机掷点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.4左右，据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）
A． B． C． D．
■考点三 用列举法求概率
◇典例1：从位男同学和位女同学中任选人参加志愿者活动，所选人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°，同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏，若小李同学同时转动4盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　）
A． B． C． D．
2.如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
3.秦腔，别称“梆子腔”，中国汉族最古老的戏剧之一，源于西府，成熟于秦，是戏曲音乐文化发展的根基，它深刻诠释了汉文化的发展，同时也承载着广大西部地区人民的精神寄托，是人们互相交流情感的一种方式.李爷爷和刘爷爷需要各自从下面四部曲目中分别随机选择一部进行表演，如图所示，其余均相同.卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上.
（1）李爷爷从中随机抽取一张，卡片正面是“D.龙凤呈祥”的概率是　 　；
（2）若李爷爷先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，刘爷爷再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，求他们两人中，有一个人抽中“A.周仁回府”这个曲目的概率.
■考点四 用频率估计概率统
◇典例1：某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800
近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410
A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410
◆变式训练
1.在利用正六面体骰子进行频率估计概率的试验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．朝上的点数是5的概率 B．朝上的点数是奇数的概率
C．朝上的点数大于2的概率 D．朝上的点数是3的倍数的概率
2.绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大.某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在0.95附近波动，估计1000kg这样的绿豆种子中发芽的有（　　）
A．855kg B．810kg C．950kg D．450kg
■考点五 计与概率的综合
◇典例1：为了解九年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对九年级学生以20人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用评分模型进行评分：“完全不理解”记为0分，“了解了一个方面”记为1分，“了解了几个独立的方面”记为2分，“理解了几个方面的相关性”记为3分，“能够综合运用”记为4分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下：
【整理与描述】
（1）请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为 °；
【分析与估计】
平均数 众数 中位数
第1组 2.9 a 3
第2组 b 0 1
第3组 2.25 2 c
（2）由上表填空： ， ， ；
（3）第2组“能够综合运用”的4名学生中有2名男生，2名女生，从中任意抽取2名学生参加班级的知识问答活动，用树状图或列表法求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
◆变式训练
1.中国的数字支付正在引领未来世界的支付方式变革．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了　 　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　 　；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，将各种支付方式调查人数组成一组数据，求这组数据的“中位数”是“　 　”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求两人选同种支付方式的概率．
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人选用同一种支付方式的结果，再根据概率公式即可求出答案.
2.我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：（旅游管理）、（信息技术）、（酒店管理）、（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．面根号）
根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有_____人：扇统计图中（旅游管理）专业所对应的心角的度数为______：
（2）请补全条形统计图，若该中学有名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有________人：
（3）从选择（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法活画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
1．（2025·深圳模拟）下列判断正确的是(　　)
A．掷一次骰子，向上一面的点数是属于必然事件
B．“平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形”是真命题
C．检测某城市的空气质量应采用全面调查方式
D．甲乙两个芭蕾舞团女演员身高的方差分别为，，则甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐
2．（2025·深圳模拟）从甲地到乙地有三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
公交车用时的频数 公交车用时线路 合计
45 265 167 23 500
59 151 166 124 500
50 50 122 278 500
早高峰期间，乘坐哪条线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大（　　）
A．线路 B．线路 C．线路 D．不能确定
3．（2025·河源模拟）二十四节气是中国古人订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．春、夏、秋、冬四季各有二十四节气中的6个．从二十四个节气中任选一个节气，这个节气在春季的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳模拟） 十二地支是中国传统文化中的一个重要概念，与天干共同构成了干支纪年系统，它们也与十二生肖对应，分别是：子（鼠），丑（牛），寅（虎），卯（兔），辰（龙），巳（蛇），午（马），未（羊），申（猴），酉（鸡），戌（狗），亥（猪）．小东购买了一套十二生肖邮票，从中任选一张邮票送给小深，则恰好选中邮票“蛇”的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·雷州模拟）从下列四个食品标识图中，随机取出一个图形，是轴对称图形的概率为（　　）
A． B． C． D．1
6．（2025·高州模拟）数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　）
A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色
7．（2025·金湾模拟）2025年春节期间《哪吒2》在珠海市金湾区的幸福蓝湾国际影城、珠海洛富特影城、中影星天地影城同一时间首映，志愿者团队为奖励表现优秀的哥哥和妹妹，让哥哥和妹妹分别从这三家影院随机抽取一家观看《哪吒2》首映，则哥哥和妹妹抽到同一家影院的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·高要模拟）如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·广东）如图，在直径BC为 的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·深圳一模）如图，等边三角形ABC是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往△ABC内投一粒米，这粒米落在阴影区域的概率为　 　.
11．（2025·龙华模拟）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．以下是深圳市非物质文化遗产的场景图：上川黄连胜醒狮舞（记作A），大船坑舞麒麟（记作B），潮俗皮影戏（记作C），沙头角鱼灯舞（记作D）．
（1）小聪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中潮俗皮影戏的概率是　 　；
（2）小聪和小颖商定从以下四幅图中各随机选择一幅，用于宣传深圳的非物质文化遗产，求两人恰好选中同一幅图的概率？
12．（2025·增城模拟）2024年11月4日，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功，为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某班组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从．“北斗导航”；．“时代”；．“东风快递”；．“无人智能”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）该班共有__________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）小明和小丽从、、、四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
1．（2025·兴宁模拟）二十四节气， 它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑）， 秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气， 则抽到的节气在夏季的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·东莞模拟）如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影三角形内的概率是（　　）
A． B． C． D．
31．（2025·广州模拟）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干，将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·澄海模拟）为增强数学传统文化教育学老师布置同学们查阅资料了解祖冲之、刘徽、赵爽这3大成就对数学发展起到的巨大推动作用，数学课上老师让甲乙两位同学均随机选取这3位数学家的成就进行分享，则选到不同数学家的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳模拟）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（　　）
A．8 B．12 C．15 D．20
5．（2025·广东模拟）从，，3中任意取一个数作为正比例函数中的k，则正比例函数的图象经过第一、第三象限的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·白云模拟）如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，若小华从A处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面出口离开的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·深圳模拟）对联是一种传统的中国文化艺术形式，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．一副对联包括上下两联，小鑫无意间将两副内容不同的对联打乱，他从中随机抽取两张，则恰好是一副对联的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·福田模拟）在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个绿球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是绿球的概率为，则绿球的个数为　 　个．
9．（2025·深圳模拟）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是　 　．
10．（2025·自贡模拟）10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
AI
根据上述信息，解决下列问题．
（1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数；
（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
11．（2025·四会模拟）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有 人；
（2）扇形统计图中， ，等级对应的圆心角为 度；
（3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率．
12．（2025·广州模拟）某学校九年级拟开展一次研学活动，经过前期考察，初步拟定以下五个活动基地：A．虎门鸦片战争博物馆（东莞市）；B．广州起义烈士陵园（广州市）；C．黄埔军校旧址纪念馆（广州市）；D．孙中山故里旅游区（中山市）；E．叶剑英纪念园（梅州市）．为了解学生对这五个基地的选择情况，从该年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如图1、图2所示．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了______名学生，并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查结果，估计该校九年级名学生中选择基地C的人数；
（3）在学生自主选择基地的过程中，小明和小红都确定选择位于广州市外的基地，请用列表法或树状图求他们两人选择同一基地研学的概率．
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