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1.理解定义、命题及定理的概念，能区分命题的题设和结论.
2.能判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.
定义、命题及定理的概念，命题的题设和结论.
定义、命题及定理的区分
难点
重点
性质
同位角相等；
内错角相等；
同旁内角互补
两直线平行
判定
线的关系
角的关系
秦哲学家公孙龙(约公元前320-前250年)提出一个非常经典的辩论“白马非马”，也就是白马并不是马.他提出多种理由来论证，比如，只要是马，黄马黑马都可以，但白马只能是白马，不能是黄马黑马，所以白马非马.你同意公孙龙的观点吗？
前面，我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述.例如:
(1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；
(2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；
(3)从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线；
(4)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
这样的描述称为数学对象的定义.
知识点1 定义
知识点2 命题
观察下列语句能否判断对错，若能，在后面的括号内打“√”或“×”.
等式两边加同一个数，结果仍相等； （ ）
对顶角相等； （ ）
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （ ）
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （ ）
如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除. （ ）
√
√
√
×
√
都能判断对错．
像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作命题．
注意：
1.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. 如：相等的角是对顶角.
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. 如：画线段AB = CD.
命题的种类：
(1)真命题：被判断为正确(或真)的命题叫作真命题．
(2)假命题：被判断为错误(或假)的命题叫作假命题．
等式两边加同一个数，结果仍相等；
对顶角相等；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
命题(3)(5)都是“如果……那么……”的形式，命题(1)(2)(4)能否也写成这样的形式呢？
(1)等式两边加同一个数，结果仍相等.
(2)对顶角相等.
(4)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
如果等式两边加同一个数，那么结果仍相等.
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补.
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论. 例如，上面命题(3)中，“两条直线都与第三条直线平行”是题设，“这两条直线也互相平行”是结论.
例1 下面哪些语句是命题，哪些不是？
（1）邻补角互补. （ ）
（2）画一个角等于已知角. （ ）
（3）两直线平行，同位角相等. （ ）
（4）a，b两条直线平行吗？ （ ）
（5）玫瑰花是动物. （ ）
（6）啊，太美了！ （ ）
（7）请你帮我倒杯水. （ ）
疑问句、祈使句、感叹句等不是命题.
是
不是
是
不是
是
不是
不是
例2 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；
(2)同角的余角相等；
(3)锐角小于它的余角.
解：（1）如果一个三角形的一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形.
（2）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.
（3）如果一个角是锐角，那么这个角小于它的余角.
例3 指出下列命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题．
(1)互为补角的两个角相等；
(2)若a＝b，则a＋c＝b＋c；
(3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形的面积相等．
解：(1)题设：两个角互为补角；结论：这两个角相等．假命题．
(2)题设：a＝b；结论：a＋c＝b＋c.真命题．
(3)题设：两个长方形的周长相等；结论：这两个长方形的面积相等．假命题．
知识点2 定理
在前面，我们学过的一些图形的性质，都是真命题.
其中有些命题是基本事实，如“两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.
还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理. 定理也可以作为继续推理的依据.
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
下面，我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明.
证明：∵a⊥b (已知)，
∴∠1 = 90°(垂直的定义).
∵b//c(已知)，
∴∠1 = ∠2(两直线平行，同位角相等).
∴ ∠2= 90°(等式的基本事实).
∴a⊥c(垂直的定义).
例4 如图，已知直线a⊥b，b//c，求证a⊥c.
1
2
a
b
c
判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是错误的，可以举出如下反例：下图中，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.
1
2
O
A
B
C
例4 如图，已知 AD//BC，∠A =∠C.
求证：AB//CD.
证明：∵ AD//BC (已知) ，
∴ ∠A =∠ABF (两直线平行，内错角相等).
∵ ∠A=∠C (已知)，
∴ ∠ABF=∠C (等式的基本事实)，
∴ AB//CD (同位角相等，两直线平行).
1.下列语句是命题的是( )
A.你有橡皮擦吗 B.小华是男生
C.垃圾要分类 D.出门戴口罩
B
A
3.分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式，指出其题设和结论，并判断其真假.
(1)等角的余角相等；
(2)负数之和仍为负数.
解：(1)如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等.
题设：两个角是等角的余角.结论：这两个角相等.真命题.
(2)如果几个负数相加，那么它们的和为负数.
题设：几个负数相加.结论：它们的和为负数.真命题.
4.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP. 求证：PG∥HQ.
A
B
C
D
M
N
P
Q
H
G
1.下列命题：
① 两个锐角之和一定是钝角；
② 内错角相等；
③ 若 x=y，则 x2=y2；
④ 若x2=y2，则x=y；
⑤ 两点之间，线段最短.
其中，真命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
2.如图所示，已知AC与BD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，
可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例的是( )
A. ∠AOB＝∠DOC
B. ∠EOC＜∠DOC
C. ∠EOB＝∠EOC
D. ∠EOC＞∠DOC
C
3.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB∥CD，CB∥DE ,
求证∠B+∠D=180°.
证明：∵ AB∥CD，
∴∠B=∠C( ).
∵CB∥DE，
∴∠C+∠D=180°( )，
∴∠B+∠D=180°( ).
等式的基本事实
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
定义、命题、定理
定义
分类
真命题
假命题
对数学对象进行清晰、明确的描述
形式
如果……那么……
证明
举反例
命题
定理
可以判断正误的陈述句
正确性是经过推理证明的真命题
证明
题设
结论

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