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第二十一章 四边形
八下数学 RJ
章末小结
四边形
平行
四边形
梯形
矩形
菱形
正方形
两组对边
分别平行
只有一组对边平行
一个角是直角
一组邻边相等
一组邻边相等
一个角
是直角
本章知识结构图
一、四边形
定义 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
四边形的内角和等于_______.
四边形的外角和等于_______.
四边形具有_____________.
360°
360°
不稳定性
二、多边形
定义 与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A A ，A A ，…，An-1An，AnA 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
n边形的内角和等于_______________.
多边形的外角和等于_______________.
(n-2)×180°
360°
像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.
三、平行四边形
定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
表示方法 如图所示，平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
性质
性质1：平行四边形的对边相等.
性质2：平行四边形的对角相等.
性质3：平行四边形的对角线互相平分.
A
B
C
D
O
三、平行四边形
判定
判定1（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
O
四、三角形的中位线
定义：连接三角形两边中点的线段.
定理：三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的一半.
五、两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
六、矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
性质
四个角都是直角.
对角线相等.
是轴对称图形，有两条对称轴.
直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
六、矩形
判定
从平行四边形出发：
有一个角是直角的平行四边形.
对角线相等的平行四边形.
从四边形出发：
① 有三个角是直角的四边形.
七、菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
性质
四条边都相等.
对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
是轴对称图形，有两条对称轴.
面积
①菱形的面积=底×高；
②菱形的面积=对角线长的乘积的一半.
七、菱形
判定
从平行四边形出发：
有一组邻边相等的平行四边形.
对角线互相垂直的平行四边形.
从四边形出发：
① 四条边相等的四边形.
八、正方形
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形
叫作正方形.
性质
具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
是轴对称图形，有四条对称轴.
八、正方形
判定
从平行四边形出发：
一组邻边相等 + 一个角是直角.
从矩形出发：
① 矩形 + 一组邻边相等；
② 矩形 + 对角线互相垂直.
从菱形出发：
① 菱形 + 有一个角是直角；
② 菱形 + 对角线相等.
四边形
平行四边形
矩形
正方形
菱形
两组对边分别平行
(或两组对边分别相等或一组对边平行且相等)
两条对角线互相平分
两组对角分别相等
有一个角是直角(或对角线相等)
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一组邻边相等，有一个角是直角（定义）
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一个角是直角
(或对角线相等)
有三个角是直角
四条边都相等
九、四边形、特殊四边形之间的关系
1. 四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？ 可以都是直角吗？为什么？
解：四边形的四个角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角. 理由如下：
若四个角都是锐角，则四边形的内角和小于 360°，这与四边形的内角和等于 360°相矛盾.故四边形的四个角不可以都是锐角.
若四个角都是钝角，则四边形的内角和大于 360°，这与四边形的内角和等于 360°相矛盾. 故四边形的四个角不可以都是钝角.
若四个角都是直角，则四边形的内角和等于 360°，符合四边形的内角和定理. 故四边形的四个角可以都是直角.
2. 求正五边形和正十边形的每个内角的度数.
解：∵正五边形的每个外角的度数为 360°÷5 = 72°，
∴每个内角的度数为 180°－72°= 108°.
∵正十边形的每个外角的度数为 360°÷10 = 36°，
∴每个内角的度数为 180°－36°= 144°.
3.已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为1720°，则这个内角的度数为_______.
解析：设这个多边形的边数是 n，则其内角和为 (n - 2) × 180°.
根据题意，得 0° < (n - 2) × 180° - 1720° < 180°，
解得 11< n < 12 .
又 n 为正整数，∴ n = 12，
∴ 这个内角的度数为 (12 - 2) × 180° - 1720° = 80°.
80°
4.已知平行四边形ABCD中，AB=7，AD=4，AE平分∠BAD，
则EC的长为（ ）
4 B. 7 C. 3 D. 11
D
A
B
C
E
C
5.四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD//BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD.
从中任选两个条件，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( ).
A. 3 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种
A
B
C
D
O
（1）①②得一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形.
（2）①③，①④得△AOD≌△COB，
则有AD=BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（3）②③不能得出四边形是平行四边形.
（4）②④不能得出四边形是平行四边形.
5.四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD//BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD.
从中任选两个条件，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( ).
A. 3 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种
A
B
C
D
O
（5）③④得两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
B
6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=3，BD=4，点E，F分别是边AB，CD的中点，则EF的长是____________.
解析：如图，取AD的中点M，连接ME，MF.
∵E,F分别是AB，CD的中点，
∴EM是△ABD的中位线，FM是△ADC的中位线，
∴ME∥BD，MF∥AC，ME= BD，MF=AC.
∵AC⊥BD， ∴ME⊥MF. ∵AC=3，BD=4，
∴ME=2，MF= ， ∴EF= = ．
F
A
B
C
D
E
M
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，CE为△ABC斜边上的中线，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CDE；
（1）证明：∵E是AB中点，∠ACB=90°，
∴AE=EC.
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=CD.
在△ADE与△CDE中，
∴△ADE≌△CDE（SSS）.
A
B
C
D
E
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，CE为△ABC斜边上的中线，连接DE．
（2）证明DE∥CB;
（2）证明：∵△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=∠ACD=60°.
由（1）知△ADE≌△CDE，
∴∠ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=90°+60°=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．
A
B
C
D
E
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，CE为△ABC斜边上的中线，连接DE．（3）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．
（3）解：当AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．
理由：∵四边形DCBE是平行四边形,
∴DC∥BE.∴∠DCB+∠B=180°.
∵∠DCB=150°，∴∠B=30°.
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC.
A
B
C
D
E
8. 如图，已知 ABCD，延长AB到E，使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∵BE=AB，∴BE=CD，
∴四边形BECD是平行四边形.
∵AD=BC，AD=DE，
∴BC=DE，
∴ BECD是矩形.
8. 如图，已知 ABCD，延长AB到E，使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．
（2）连接AC，若AD=6，CD=3，求AC的长．
（2）解：如图，∴ AB = BE = 3,∴AE=6.
∴△ADE是等边三角形.
∴ ∠ABD = 90°，
∴ BD = = = 3，
∴ CE = 3，
∴ AC = = = 3.
9. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，
AC = 8，DB = 6，DH ⊥ AB，垂足为 H. 求 DH 的长.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC ⊥ BD，AO = AC = 4，BO =DB = 3.
∴AB = = = 5.
∵S菱形ABCD = AC·DB = AB·DH，
即×8×6 = 5DH. ∴DH = .
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E．
（1）求证：四边形CEBD是菱形；
（1）证明：∵BE∥CD，CE∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形.
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD=BD，∴四边形CEBD是菱形；
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE,CE相交于点E．
（2）过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB=10，CF=3，求DG的长．
（2）解：∵ AB = 10，∴ CD = AB = 5.
∵ DF ⊥ CE，∴ ∠DFC = 90°.
∵ CF = 3，∴ DF = = 4.
∵ 四边形 CEBD 是菱形，
∴ CE = CD = 5，∠DCG = ∠ECG，
∴ EF = CE - CF = 2.
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE,CE相交于点E．
（2）过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB=10，CF=3，求DG的长．
在 △DCG 与 △ECG 中，
∴ △DCG≌△ECG (SAS)，∴ DG = GE.
∵FG + EF = EG ，
∴ (4 - DG) + 2 = DG ，∴ DG =.
11.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且EF=AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M．
(1)求证：BE=CM；
证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AB=BC，
∴∠BAE+∠BEA=90°.
∵∠AEF=90°，
∴∠BEA+∠FEM=90°，∴∠BAE=∠FEM.
∵EF=AE，∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴AB=EM，∴BC=EM，
∴BC-EC=EM-EC，即BE=CM．
11.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且EF=AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M．
(2)延长CD至点N，使得DN=BE，求证：四边形AEFN是正方形．
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠ADN=90°，AB=AD.
∵DN=BE，∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN.
∵AE=EF,∴EF=AN.
∵∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=90°，
11.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且EF=AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M．
(2)延长CD至点N，使得DN=BE，求证：四边形AEFN是正方形．
∴∠EAN=∠AEF=90°，
∴AN∥EF，
∴四边形AEFN是平行四边形.
∵AE=EF，
∴四边形AEFN是菱形.
∵∠AEF=90°，
∴四边形AEFN是正方形．

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