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第二十一章 四边形
八下数学RJ
21.2.1平行四边形及其性质
课时1
21.2平行四边形
1.理解平行四边形的概念，增强几何直观.
2.探索并证明平行四边形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算，提升推理能力.
对于三角形，我们学习了一般三角形后，又学习了等腰三角形和直角三角形.这是在一般图形的基础上研究特殊图形，我们在研究几何图形时常用这种思路.对于四边形，从组成它的四条边的位置关系来看，如果它的两组对边分别平行，这个四边形就是平行四边形；如果它只有一组对边平行，这个四边形就是梯形（如图）.
四边形
梯形
平行四边形
两组对边分别平行
只有一组对边平行
本节我们重点学习平行四边形，研究它的性质和判定.
平行四边形是常见的几何图形.学校的伸缩门、庭院的竹篱笆等，都有平行四边形的形象.你还能举出一些例子吗？
我们知道，两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.平行四边形用“ ”表示，如图，平行四边形ABCD记作“ ABCD”.
A
D
C
B
注意：
1.表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写各顶点字母；
2.“ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用.
下面，我们从平行四边形的边、角、对角线出发，从数量关系和位置关系的角度研究平行四边形的性质.
A
D
C
B
边：AB与DC、AD与BC互为对边；
AD和AB、AD和DC、DC和BC、BC和AB互为邻边.
角：∠ABC与∠ADC，∠DAB与∠BCD互为对角，
∠ABC与∠DAB，∠DAB与∠ADC，∠ADC与∠BCD，∠BCD与∠ABC互为邻角.
对角线：线段AC和BD.
例1 如图所示，在 ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH相交于点O，则图中平行四边形共有（ ）
A.7个 B.8个 C.9个 D.11个
平行四边形的组成 个数 名称
单独1个四边形 4 DEOH， EAGO，
OGBF， HOFC
由2个四边形组成 4 DAGH， HGBC，
EABF， DEFC
由4个四边形组成 1 ABCD
C
探究 根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？你能证明你的猜想吗？把你的结论和同学比较一下.
通过观察和度量，我们猜想：
平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等.
怎么证明？
构造全等三角形.
A
D
C
B
证明：如图，连接 ABCD的对角线AC.
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA.
∴AB=CD，BC=DA，∠B=∠D.
∵∠1=∠2，∠3=∠4.
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
即∠BAD=∠DCB.
请你自己证明∠BAD=∠DCB.
不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义证明其对角相等呢
A
D
C
B
已知：四边形ABCD是平行四边形，
求证：平行四边形对角相等.
证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°.
∴∠B=∠D.
同理∠A=∠C.
这样，就得到平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等.
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD.
∴∠A=∠C，∠B=∠D.
接下来研究平行四边形的对角线.
探究 如图，在 ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O.点O把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？
利用信息技术工具，改变 ABCD的形状，你发现的结论还成立吗？证明你发现的结论.
容易发现，即便改变 ABCD的形状，
仍然有OA=OC，OB=OD.
这个结论也可以通过三角形全等证明
（请你完成证明).
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥ BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△OAD≌△OCB (ASA)，
∴OD=OB，OA=OC，
即 ABCD的对角线互相平分.
由此又得到平行四边形的一个性质：
平行四边形的对角线互相平分.
符号语言:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.
例2 如图，在△ABC中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
∵ AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理，AC===6.
∴OA=OC=AC=3，
S ABCD=BCAC=8×6=48.
跟踪训练 如图，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，
下列式子中不一定成立的是（ ）
A.AB∥ CD B.OA=OC
C.∠ABC+∠BCD=180° D.AB=BC
D
解析：由“平行四边形对边平行”可知AB∥ CD；
根据“平行四边形的对角线互相平分”可知OA=OC；
根据“平行四边形的邻角互补”可知∠ABC+∠BCD=180°；
根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AB=BC.
例3 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证：OE=OF.
A
E
D
C
B
O
F
证明：在 ABCD中，AB∥ CD,
∴∠EAO=∠FCO, ∠AEO=∠CFO.
又OA=OC,
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF.
1.在 ABCD中，
(1)已知AB=5，BC=3，求另外两边的长；
(2)已知∠A=38°，求其余各内角的度数.
解：（1）在 ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3.
（2）在 ABCD中，∵∠A=38°，
∴∠C=38°.
∵AD∥ BC，
∴∠B=∠D=180°-38°=142°，
∴∠B、∠C、∠D的度数分别是142°、38°、142°.
2.如图，在 ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=10，AB=CD，OA=OC，OB=OD.
∵ AC=8，BD=14，
∴OA=OC= AC= ×8=4，
OB=OD= BD= ×14=7，
∴△AOD的周长为OA+OD+AD=4+7+10=21，
△ABC的周长为AB+AC+BC=AB+8+10=18+AB，
2.如图，在 ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？
△DBC的周长为BC+CD+BD=10+CD+14=24+CD=24+AB.
∵24+AB >18+AB，
∴△DBC的周长比△ABC的周长长.
∵24+AB-(18+AB)=24+AB-18-AB=6,
∴△DBC的周长比△ABC的周长长6.
解：线段AD和BC的长度相等.理由如下：
由已知得AD∥ BC，AB∥ CD.
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AD=BC，
即线段AD和BC的长度相等.
3.如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形.转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
A
B
C
D
4. 如图,在 ABCD中，E是BC边上一点，BE=CD，连接AE，∠D=50°，则∠DAE的度数为（ ）
A.65° B.60° C.55° D.50°
解析：在 ABCD中，AB=CD，∠B=∠D=50°，AD∥ BC.
∵AB=CD，BE=CD,
∴AB=BE,
∴∠BAE=∠BEA==65°.
∵ AD∥ BC,
∴∠DAE=∠BEA=65°.
A
平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
边
两组对边分别平行且相等
角
两组对角分别相等，邻角互补
对角线
对角线互相平分
性质

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