资源简介

(共18张PPT)
第二十一章 四边形
八下数学 RJ
21.2.3 三角形的中位线
21.2 平行四边形
1.理解三角形中位线的概念；
2.能够利用三角形的中位线的性质解决相关问题.
前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题. 下面利用平行四边形研究三角形的有关问题.
如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
一个三角形有几条中位线？
三角形的中位线和中线一样吗？
符号语言：
如图所示，∵AD=BD，AE=CE，
∴DE 是△ABC的中位线.
F
三角形的中位线 三角形的中线
图示
符号语言 ∵ D,E,F 分别是 BC,CA,AB 边的中点，∴ DE,EF,FD 是△ABC 的中位线. ∵ D,E,F 分别是 BC,CA,AB 边的中点，∴ AD,BE,CF 是△ABC 的中线.
区别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段. 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段.
辨析 三角形的中位线与三角形的中线的区别
探究
观察图，你能发现 △ABC 的中位线 DE 与边 BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与 BC 之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？
我们猜想：DE ∥ BC，DE = BC.
怎么证明呢？
如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 的中点.
求证：DE ∥ BC，且 DE = BC.
分析：我们既要证明两条线段所在的直线平行，
又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半.
F
如图，将DE延长一倍（得到点F）后，可以将证明DE∥ BC，且DE = BC 转化为证明DF BC，而这只要证明以B，C，F，D为顶点的四边形是平行四边形，进而只要证明四边形ADCF是平行四边形.由于DE=EF，E是AC 的中点，所以四边形ADCF是平行四边形可以利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明.
F
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.
∵ AE = EC，DE = EF，
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形，
∴ CF DA.
又 D 是 AB 的中点，
∴ CF BD.
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形.
∴ DF BC.
又 DE = DF，
∴ DE ∥ BC，且 DE = BC.
通过上述证明，得到三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
符号语言：
如图所示， ∵ DE为△ABC的中位线，
∴ DE∥ BC，DE =BC.
例 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四
边形.
A
B F C
H
D
G
E
已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点.
求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形.
例 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四
边形.
A
B F C
H
D
G
E
证明：连接 AC.
∵ AH = HD，CG = GD，
∴ HG ∥ AC，且 HG = AC.
同理 EF ∥ AC，且 EF = AC.
∴ HG EF.
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
跟踪训练 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=，点D，E分别是 AC，BC的中点，连接DE.
求：(1) ∠CED的度数；(2) 线段DE的长.
解：(1) ∵ D，E 分别是 AC，BC 的中点，
∴ DE 是 △ABC 的中位线，
∴ DE ∥ AB，∴ ∠CDE = ∠A = 30°.
∵∠C = 90°，∴ ∠CED = 90° - ∠CDE = 60°.
跟踪训练 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=，点D，E分别是 AC，BC的中点，连接DE.
求：(1) ∠CED的度数；(2) 线段DE的长.
解： (2) 在 Rt △ABC 中，∵ ∠C = 90°，
∠A = 30°，AC = ，
∴ AB = 2BC，BC + AC = AB ，
即 BC + 3 = 4BC ，∴ BC = 1，∴ AB = 2.
由 (1) 知，DE 是 △ABC 的中位线，
∴ DE = AB = 1.
1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么它们是平行四边形？
解：能画出 3 个，
分别为 BDFE， DECF， DEFA.
理由如下：
由三角形的中位线定理可得 DF ∥ BC，DE ∥ AC，EF ∥ AB，
∴ 四边形 BDFE，四边形 DECF，四边形 DEFA 均为平行四边形.
B C
A
E D
F G
O
2. 如图，△ABC 的中线 BD，CE 相交于点 O，且 F，G 分别是 OB，OC 的中点. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形.
证明：∵ BD 和 CE 是 △ABC 的两条中线，
∴ DE 是 △ABC 的中位线，
∴ DE =BC，DE ∥ BC.
∵ F，G 分别是 OB，OC 的中点，
∴ FG 是 △OBC 的中位线，
∴ FG = BC，FG ∥ BC，
∴ DE = FG，DE ∥ FG，
∴ 四边形 DEFG 是平行四边形.
A
C B
3. 如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC 和 BC. 怎样利用三角形的中位线定理测出A，B两点间的距离？
解：分别取 CA 和 CB 的中点 M，N，连接 MN，然后测出 MN 的长度，则 AB = 2MN.
M
N
4.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长到点F，使EF=ED，连接CF．四边形DBCF是平行四边形吗？说明理由．
F
E
D
C
B
A
解：是，理由如下：
∵ D，E 分别是 AB，AC 的中点，
∴ DE = BC，DE ∥ BC，
又 EF = DE，
∴ DF = DE + EF = BC，
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形.
三角形的中位线
定义
连接三角形两边中点的线段
定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半

展开更多......

收起↑