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第二十一章 四边形
八下数学 RJ
21.2.2平行四边形的判定
课时1
21.2 平行四边形
1.理解并掌握平行四边形的 3 种判定方法（两组对边分别相等、两组对角分别相等、对角线互相平分），能区分判定定理与性质定理的关系（互逆）.
2.能运用平行四边形的判定定理，解决 “证明四边形是平行四边形” 的简单几何问题，并初步学会从 “性质逆推判定” 的逻辑思考方式.
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
A
B
C
D
四边形ABCD
如果AB∥ CD, AD∥ BC
问题1 平行四边形的定义是什么？有什么作用？
B
D
ABCD
A
C
可以用平行四边形的定义来判定平行四边形，如：
平行四边形的判定定理（定义法）：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
符号语言:
∵ AD∥ BC，AB∥ CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
问题2 除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？
边：平行四边形的对边相等;
角：平行四边形的对角相等;
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
讨论平行四边形的判定，就是确定当四边形的边、角、对角线满足怎样的位置关系和数量关系时，它是平行四边形. 根据平行四边形的定义，可以从边的位置关系的角度来判定，还有其他判定平行四边形的方法吗？
思考 我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
逆命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
逆命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
逆命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
逐个研究证明吧？
逆命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知： 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A
D
C
B
证明：连接AC，
在△ABC和△CDA中,
，
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言:
∵AD =BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
例1 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.
求证：四边形PONM是平行四边形．
证明：Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
逆命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知： 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A
D
C
B
证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
∴ AD∥ BC.
同理得 AB∥ CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理2：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
∵ ∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
例2 如图，四边形ABCD中，AB∥ DC，∠B＝55°，∠1＝85°，
∠2＝40°.
（1）求∠D的度数；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°.
例2 如图，四边形ABCD中，AB∥ DC，∠B＝55°，∠1＝85°，
∠2＝40°.
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
(2)证明：∵AB∥ DC，∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，
∴四边形ABCD是平行四边形．
逆命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，
OB=OD. 求证： 四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD (SAS)，
∴ ∠OAB=∠OCD ,
∴AB∥ CD ,
同理 AD∥ BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
D
C
B
O
平行四边形的判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言：
∵ OA=OC，OB=OD ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
例3 如图， ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，并且AE = CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO，BO = DO.
∵ AE = CF，
∴ AO - AE = CO - CF，即 EO = FO.
又 BO = DO，
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形.
你还有其他证明方法吗？
证明：如图所示，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 AB = CD，AB ∥ CD，
所以 ∠BAE = ∠DCF.
在△BAE和△DCF中，
因为AB = CD，∠BAE = ∠DCF，AE = CF，
所以△BAE≌△DCF (SAS)，
所以 BE = DF.
例3 如图， ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，并且AE = CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形.
同理可得 BF = DE，
所以四边形BFDE是平行四边形.
1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是 ( )
A.两组对边分别相等
B.两条对角线互相平分
C.两条对角线相等
D.两组对边分别平行
C
2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.
如果AC=8cm，BD=10cm，
那么当AO=_____cm，BO=_____cm时，
四边形ABCD是平行四边形.
4
5
3.如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠CBD，∠C+∠ABC=180°，
四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由.
A
D
C
B
解：四边形 ABCD 是平行四边形.
理由：∵ ∠ADB = ∠CBD，∴ AD ∥ BC.
∵ ∠C + ∠ABC = 180°，∴ AB ∥ CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
4.如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.
图中有哪些互相平行的线段？
解：因为 AB = DC， AD=BC ，
所以四边形 ABCD 是平行四边形.
因为 DC = EF，DE = CF，
所以四边形 DCFE 是平行四边形，
所以 AD ∥ BC，DE ∥ CF，AB ∥ DC ∥ EF.
A
B
D
C
E
F
5. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F分别是 OA，OC 的中点，连接 DE，DF，BE，BF.
求证：四边形DEBF是平行四边形.
D
A
C
B
E
O
F
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
又 E，F 分别是 OA，OC 的中点，
∴ OE = OF，
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形.
平行四边形的判定定理
定义法:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
第二十一章 四边形
八下数学 RJ
21.2.2平行四边形的判定
课时2
21.2 平行四边形
1. 理解 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 这一判定定理，能通过逻辑推理证明该定理.
2. 会运用 “一组对边平行且相等” 的判定方法，解决平行四边形相关的证明问题.
根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形. 如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？
思考 对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四边形的方法吗？
性质：
如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.
进而猜想：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，AB CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
1
2
证明：连接 AC.
∵ AB ∥ CD，
∴ ∠1 = ∠2.
又 AB = CD，AC = CA，
∴ △ABC≌△CDA.
∴ BC = DA.
又 AB = CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理4：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
∵ AD BC，(或 AB CD)
∴四边形ABCD是平行四边形.
例 如图 ，在 ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点.
求证 ：DE BF.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB CD.
又EB = AB，DF = CD，
∴ EB DF.
∴ 四边形 EBFD 是平行四边形.
∴ DE BF.
D F C
A E B
1.如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗？
解：因为互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以判定：两根枕木及两条铁轨组成的四边形是平行四边形，所以两条直铺的铁轨互相平行.
2. 如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形 AFCE 是平行四边形.
D
E
C
F
B
A
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD BC，∴ ∠ADE = ∠CBF.
∵ AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，
∴ ∠AED = ∠CFB = 90°，
∴ △AED≌△CFB，∴ AE = CF.
∵∠AEF = ∠CFE = 90°，∴ AE ∥ CF，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.
3.如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个平行四边形？为什么？
解：如图所示，有6个平行四边形，分别为 AFOB、 AOEF、 FODE、 COED、 BODC、 ABCO.
理由如下：
由题意知六个三角形是全等的正三角形，
即 AF = OB，OF = AB，
所以四边形 AFOB 是平行四边形.(其他证明略)
4.已知：如图，在 ABCD中，E为BA延长线上一点，F为DC延长线上一点，且AE=CF，连接 BF，DE.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
A
C
D
B
E
F
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥ CD，AB=CD.
又∵AE=CF，
∴BE=BA+AE=DC+CF=DF.
又BE∥ DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
平行四边形的判定定理
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

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