资源简介

(共26张PPT)
第二十一章 四边形
八下数学 RJ
21.3.3 正方形 第2课时
21.3 特殊的平行四边形
1.经历正方形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握正方形的判定定理．
2.能应用正方形的判定解决简单的证明题和计算题.
问题1 正方形的定义是什么？
有一组邻边相等,而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
问题2 正方形与菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，其中正方形也是特殊的矩形、菱形.
思考 矩形得满足什么条件才能变成正方形？菱形呢？
矩形
菱形
正方形
有一个角是直角
(或对角线相等)
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个矩形也是菱形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形.
思考 分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论.
探究1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，观察边、角、对角线，推测满足怎样条件的矩形是正方形？
思考 如何证明你的猜想？
一组邻边相等
对角线互相垂直
证明：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：四边形ABCD是矩形，且AB=BC.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°.
又∵ AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.
证明： 对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC⊥DB .
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形.
∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB，
∴AD=AB,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
从矩形出发：
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形;
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形.
一组邻边相等
对角线互相垂直
探究2 准备一个可以活动的菱形框架，改变角的大小，得到一个正方形，观察边、角、对角线，推测满足怎样条件的菱形是正方形？
思考 如何证明你的猜想？
有一个角是直角
对角线相等
证明： 有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：四边形ABCD 是菱形， ∠A=90°.
求证：四边形ABCD 是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC.
又∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.
A
D
C
B
证明： 对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形.
∴AB=BC，AC⊥DB.
∵AC=DB, ∴AO=BO=CO,
∴△AOB,△BOC是等腰直角三角形.
∴∠ABC=90°.
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
从菱形出发：
(1)有一个角是直角的菱形是正方形；
(2)对角线相等的菱形是正方形.
有一个角是直角
对角线相等
从平行四边形出发：
证明有一个内角是直角，有一组邻边相等. (定义法)
平行四边形
一组邻边相等
一个内角是直角
正方形
思考 从四边形出发呢？
四边形
平行四边形
矩形
正方形
菱形
两组对边分别平行
(或两组对边分别相等或一组对边平行且相等)
两条对角线互相平分
两组对角分别相等
有一个角是直角(或对角线相等)
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一组邻边相等，有一个角是直角（定义）
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一个角是直角
(或对角线相等)
有三个角是直角
四条边都相等
例 如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，
且AE=BF=CG=DH. 求证：四边形EFGH是正方形．
分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由 △AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.
A
B
C
D
H
G
F
E
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH，∴EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE，∴∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°.
∴∠HEF=180(∠1+∠3)=90°,
∴四边形EFGH是正方形.
A
B
C
D
H
G
F
E
解析：①②组合：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AC=BD，
∴菱形ABCD是正方形.(对角线相等的菱形是正方形)
跟踪训练 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐
同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°.则正确的组合是_______________(只需填一种组合即可).
①③组合：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
又∵∠ADC=90°，
∴菱形ABCD是正方形.(有一个角是直角的菱形是正方形)
跟踪训练 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐
同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可
供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°.
则正确的组合是_______________(只需填一种组合即可).
①②或①③
1.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形；
(2)对角线互相垂直的矩形；
(3)对角线相等的菱形；
(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形.
判定一个四边形是正方形的思路
思考角度 证明思路
边 矩形+一组邻边相等→正方形.
角 菱形+一个角是直角→正方形.
对角线 矩形+对角线互相垂直→正方形.
菱形+对角线相等→正方形.
平行四边形+对角线相等且互相垂直→正方形.
四边形+对角线相等且互相垂直平分→正方形.
3.王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式，于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示），让王芳看丝巾是否完全重合，见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合，王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾，你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？
3解：这条丝巾不一定是正方形样式.
理由：根据售货员的方法，只能说明这条丝巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说这条丝巾的两条对角线所在直线是对称轴，这只能保证这条丝巾是菱形，并不能保证它是正方形.
因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线所在直线外，还有两条是对边中点的连线所在的直线，所以只要拉起一组对边的中点将这条丝巾对折，看另一组对边是否重合，若另一组对边不能重合，那么此丝巾不是正方形；若另一组对边能重合，那么此丝巾一定是正方形.
解：（1）能．理由如下：
∵DF∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形.
∵AF平分∠BAC,∴∠EAF=∠FAD.
∵AE∥DF，∴∠EAF=∠DFA，∴∠FAD=∠DFA，∴DF=DA，∴四边形ADFE是菱形.
4.△ABC中，DF∥AC，EF∥AB，AF平分∠BAC．
(1) 你能判断四边形ADFE是菱形吗？并说明理由．
解：（2）当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形.
∵四边形AEDF是菱形，∠BAC=90°，
∴四边形ADFE是正方形．
4.△ABC中，DF∥AC，EF∥AB，AF平分∠BAC．
(2) ∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？并说明理由．
正方形的判定
从平行四边形出发
从矩形出发
从菱形出发
一组邻边相等+一个角是直角
矩形+一组邻边相等
矩形+对角线互相垂直
菱形+有一个角是直角
菱形+对角线相等

展开更多......

收起↑