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排查练2　三角恒等变换与解三角形
1．(人A必一P217练习3)已知cos α=－，且α∈，则cos = (　D　)
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 因为α∈，cos α=－，所以sin α===，因此cos =cos cos α＋sin α=×＋×=．
2．(人A必一P229习题14)在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cos A=(　C　)
A． B．
C．－ D．－
【解析】 如图，设高AD=h，则BD=AD=h．因为BC=3h，所以DC=2h，所以AC=h，所以cos C=，sin C=，所以cos A=－cos(B＋C)=－cos cos C＋sin C=－×＋×=－．
3．(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，b2=ac，则sin A＋sin C=(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 由B=，b2=ac，及正弦定理得sin Asin C= 2B=．由余弦定理可得b2=a2＋c2－ac=ac，即a2＋c2=ac．根据正弦定理得sin 2A＋sin 2C= Asin C=，所以(sin A＋sin C)2=sin 2A＋sin 2C＋2sin Asin C=．因为A，C为三角形的内角，所以sin A＋sin C＞0，则sin A＋sin C=．
4．已知△ABC 中，A=120°，D是BC的中点，且 AD=1，则△ABC 面积的最大值为(　A　)
A． B．2
C．1 D．2
【解析】 设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．因为A=120°，所以=||||cos 120°=－bc．因为AD是中线，所以=＋)，则2=2＋2＋2)，即4=b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b=c时等号成立，所以△ABC的面积S=bcsin A≤×4×=．
5．(多选)(人A必一P223练习5改)下列各式的值为的是(　BD　)
A．sin B．cos 2－sin 2
C． D．2cos 222.5°－1
【解析】 对于A，sin ===，不符合题意；对于B，cos 2－sin 2=cos =，符合题意；对于C，===，不符合题意；对于D，2cos 222.5°－1=cos 45°=，符合题意．
6．(多选)下列式子等于cos 的是(　CD　)
A．cos B．sin
C． D．2cos 2－1
【解析】 cos =cos =－cos ≠cos ，故A不正确；sin =sin =－cos ≠cos ，故B不正确；=cos x＋ x=cos ，故C正确；2cos 2－1=cos =cos ，故D正确．
7．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，CD=3，cos∠DAC=，cos∠ACD=，则(　ABD　)
A．AD= B．cos∠BAD=－
C．=－ D．AC⊥BD
【解析】 在△ACD中，cos∠DAC=，cos∠ACD=，则sin∠DAC=，sin∠ACD=，由正弦定理知=，即AD===，故A正确；cos∠ADC=cos(π－∠DAC－∠ACD)=－cos(∠DAC＋∠ACD)=sin∠DACsin∠ACD－cos∠DACcos∠ACD=×－×=，因为AB∥CD，所以∠BAD=π－∠ADC，所以cos∠BAD=cos(π－∠ADC)=－cos∠ADC=－，故B正确；=||·||cos(π－∠BAD)=||·||·cos∠ADC=1××=，故C错误；=(＋)·(＋)=＋＋2＋=－1×3＋2＋3××=0，所以⊥，即AC⊥BD，故D正确．
8．(人A必一P220练习5)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α=，β是第三象限角，则sin =____．
【解析】 由sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α=，得sin［(α－β)－α］=－sin β=，即sin β=－．因为β是第三象限角，所以cos β=－=－=－，所以sin =sin βcos ＋cos βsin =×＋×=．
9．(苏教必二P86复习题17)如图，在半径为R、圆心角为60°的扇形的弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，则这个矩形面积的最大值为__R2__，此时相应的∠AOP=__30°__．
【解析】 因为扇形OAB的半径为R，圆心角为60°，设∠POB=α(0°＜α＜60°)，矩形PNMQ的面积为S，所以PN=Rsin α，MN=ON－OM=Rcos α－Rsin α，所以S=Rsin α·=R2sin αcos α－R2sin 2α=R2sin(2α＋30°)－R2，0°＜α＜60°，当α=30°，即∠AOP=30°时，S取最大值R2．
10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B=b(2＋cos A)，若△ABC的面积等于4，则△ABC的周长的最小值为__4＋8__．
【解析】 由正弦定理结合asin B=b(2＋cos A)，可得 Asin B=sin B(2＋cos A)．因为sin B≠0，所以 A－cos A=2sin =2，即sin =1，注意到－＜A－＜，所以A－=，解得A=．因为△ABC的面积等于4，所以S△ABC=bcsin A=bc=4，解得bc=16．在△ABC中，由余弦定理得a2=b2＋c2－2bccos A=b2＋c2＋16，△ABC的周长为a＋b＋c=＋b＋c≥＋2=4＋8，当且仅当b=c=4时等号成立．故△ABC的周长的最小值为4＋8．
11．(人A必一P254复习参考题11)(1) 已知α，β都是锐角，sin α=，cos(α＋β)=，求sin β的值；
【解答】 (1) 因为α，β都是锐角，sin α=，cos(α＋β)=，所以0＜α＋β＜π，cos α===，sin(α＋β)===，则sin β=sin(α＋β－α)=sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α=×－×=．
(2) 已知cos =，sin =－，α∈，β∈，求sin(α＋β)的值；
【解答】 因为α∈，β∈，所以－α∈，＋β∈．又cos =，sin =－，所以sin =－，cos =－，所以sin(π＋α＋β)=sin =sin －cos =－×－×=－，所以sin(α＋β)=－sin(π＋α＋β)=．
(3) 已知α，β都是锐角，tan α=，sin β=，求tan(α＋2β)的值．
【解答】 因为α，β都是锐角，tan α=，sin β=，所以cos β=，tan β=，tan(α＋β)===，tan(α＋2β)===1．
12．(北师必二P124例12)如图，直线a表示海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在点A的正东方向20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中传播速度的大小为1.5 km/s．
(1) 设PA=x km，用x分别表示PB，PC，并求x的值；
【解答】 依题意，PA－PB=1.5×8=12(km)，PC－PB=1.5×20=30(km)，因此PB=x－12(km)，PC=18＋x(km)．在△PAB中，AB=20 km，cos∠PAB===．同理cos∠PAC=．由cos∠PAB=cos∠PAC，得=，解得x=．
(2) 求静止目标P到海防警戒线a的距离．(精确到0.01 km)
【解答】 如图，过点P作a的垂线，垂足为D．在Rt△PDA中，PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB=x·==≈17.71(km)．因此，静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km．
13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，b=4．
(1) 若cos B＋2cos A=ccos C，求角C的大小；
【解答】 由题意得2cos B＋4cos A=2ccos C，所以acos B＋bcos A=2ccos C．由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A=2sin Ccos C，即sin(A＋B)=2sin Ccos C．又sin(A＋B)=sin C，所以sin C=2sin Ccos C，又sin C≠0，所以cos C=．因为C∈(0，π），所以C=．
(2） 若D是边AB上的一点，且CD平分∠ACB，cos∠ACB=－，求CD的长．
【解答】 由cos∠ACB=－，得2cos 2－1=－，解得cos =(舍负）．由S△ABC=S△ADC＋S△BDC，得absin∠ACB=b·CDsin ＋a·CD·sin ，即2abcos =(a＋b）CD，所以CD===．
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1．(人A必一P217练习3)已知cos α=－，且α∈，则cos = (　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．(人A必一P229习题14)在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cos A=(　　)
A． B．
C．－ D．－
3．(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，b2=ac，则sin A＋sin C=(　　)
A． B．
C． D．
4．已知△ABC 中，A=120°，D是BC的中点，且 AD=1，则△ABC 面积的最大值为(　　)
A． B．2
C．1 D．2
5．(多选)(人A必一P223练习5改)下列各式的值为的是(　　)
A．sin B．cos 2－sin 2
C． D．2cos 222.5°－1
6．(多选)下列式子等于cos 的是(　　)
A．cos B．sin
C． D．2cos 2－1
7．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，CD=3，cos∠DAC=，cos∠ACD=，则(　　)
A．AD= B．cos∠BAD=－
C．=－ D．AC⊥BD
8．(人A必一P220练习5)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α=，β是第三象限角，则sin =____．
9．(苏教必二P86复习题17)如图，在半径为R、圆心角为60°的扇形的弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，则这个矩形面积的最大值为____，此时相应的∠AOP=____．
10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B=b(2＋cos A)，若△ABC的面积等于4，则△ABC的周长的最小值为____．
(人A必一P254复习参考题11)(1) 已知α，β都是锐角，sin α=，cos(α＋β)=，求sin β的值；
(2) 已知cos =，sin =－，α∈，β∈，求sin(α＋β)的值；
(3) 已知α，β都是锐角，tan α=，sin β=，求tan(α＋2β)的值．
12．(北师必二P124例12)如图，直线a表示海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在点A的正东方向20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中传播速度的大小为1.5 km/s．
(1) 设PA=x km，用x分别表示PB，PC，并求x的值；
(2) 求静止目标P到海防警戒线a的距离．(精确到0.01 km)
13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，b=4．
(1) 若cos B＋2cos A=ccos C，求角C的大小；
(2） 若D是边AB上的一点，且CD平分∠ACB，cos∠ACB=－，求CD的长．
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排查练2　三角恒等变换与解三角形
回归基础——考前排查
【解析】
D
【解析】
C
【解析】
【答案】C
【解析】
A
【解析】
【答案】BD
【解析】
CD
【解析】
【答案】ABD
【解析】
9．(苏教必二P86复习题17)如图，在半径为R、圆心角为60°的扇形的弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在
OA上，点M，N在OB上，则这个矩形面积的最大值为_______，此时相应的∠AOP＝_______．
【解析】
30°
【解析】
【解答】
【解答】

【解答】
12．(北师必二P124例12)如图，直线a表示海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在点A的正东方向20 km处和 54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中传播速度的大小为1.5 km/s．
(1) 设PA＝x km，用x分别表示PB，PC，并求x的值；
【解答】
12．(北师必二P124例12)如图，直线a表示海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在点A的正东方向20 km处和 54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中传播速度的大小为1.5 km/s．
(2) 求静止目标P到海防警戒线a的距离．(精确到0.01 km)
【解答】
13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝4．
(1) 若cos B＋2cos A＝ccos C，求角C的大小；
【解答】
【解答】

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