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第二十一章 四边形
八下数学 RJ
21.3.2 菱形 第2课时
21.3 特殊的平行四边形
1.经历菱形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握菱形的判定定理．
2.能应用菱形的判定解决简单的证明题和计算题,发展推理能力和运算能力.
复习1 菱形的定义是什么？
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
复习2 菱形有哪些性质？
菱形
边：两组对边平行，四条边都相等；
角：两组对角分别相等，邻角互补；
对角线：两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
接下来研究菱形的判定. 由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 除了此方法，还有没有其他判定方法呢？
菱形的判定（定义法）：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
符号语言：
如图，在□ABCD中，
∵AB=BC，
∴□ABCD是菱形.
与研究平行四边形、矩形的判定类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立.
思考 我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形. 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
尝试完成证明！
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O ，
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴□ABCD是菱形（菱形的定义）.
A
B
C
O
D
菱形的判定1：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的四边形是菱形吗？
关键：对角线互相垂直且互相平分！
菱形的判定1：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
符号语言：
在 ABCD中，
∵AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形.
思考 同样地，菱形是四条边相等的四边形. 反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
尝试完成证明！
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD，
∴AB=CD，BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
O
D
菱形的判定2：
四条边相等的四边形是菱形.
符号语言:
如图，在四边形 ABCD 中，
∵ AB = BC = CD = AD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
例1 如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形．
分析：已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形.由题意可知AO=CO，还需证明EO=FO.
A
B
D
C
F
E
O
1
2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//CF，∴∠1=∠2.
又∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF，∴EO=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形.
A
B
D
C
F
E
O
1
2
例1 如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形．
思考 你能利用“四条边相等的四边形是菱形”证明这个例题吗？
A
B
D
C
F
E
O
1
2
证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE=EC，AF=FC，OA=OC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠1=∠2.
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF (ASA).
∴EA=FC,
∴EA=EC=FA=FC, ∴四边形AFCE是菱形.
跟踪训练 已知□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使□ABCD成为一个菱形.你添加的条件是________.(填一个即可)
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以只要添加一组邻边相等或者对角线互相垂直，
就可以使□ABCD成为一个菱形.
故答案可以为AB=BC或BC=CD或CD=AD或AB=AD或AC⊥BD等.
AB=BC
四边形
四条边相等
平行四边形
菱形
菱形
对角线互相垂直
一组邻边相等
判定一个四边形是菱形的思路：
菱形
1.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
B
2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O且互相垂直平分，求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵BD垂直平分AC，
∴DA=DC，BA=BC.
∵AC垂直平分BD，
∴AD=AB，CD=CB，
∴AD=AB=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形.
A
D
C
O
B
3.如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
解：是一个菱形.
理由：∵这是两张对边平行的纸条，
∴重合的四边形两组对边分别平行，
∴重合的四边形是平行四边形.
又两张纸条等宽，∴AB=BC，
∴四边形ABCD是一个菱形.
A
B
C
D
4.一张三角形纸片知图所示，请你用纸片折出一个菱形，使∠A是菱形的一个内角，和点A相对的顶点在边BC上，并说明所折图形是菱形的理由.
A
C
B
解：(1)将三角形纸片折叠，使AB边落在AC边上，折痕交BC于点D.
(2)继续折叠纸片，使点A与点D重合，折痕GF分别交AB，AD，AC于点G，E，F.
D
G
F
E
(3)将纸片展开，如图，四边形AFDG就是所求的图形.
理由：∵点A与点D关于直线GF对称，
∴GF垂直平分AD,
∴AF=DF，AG=GD，∠AEG=∠AEF=90°.
∵AB关于AD折叠，点B落在AC上，
∴∠BAD=∠CAD.又AE=AE，
∴△AGE≌△AFE，∴AG=AF，∴AG=AF=DG=DF，
∴四边形AFDG是菱形.
A
C
B
D
G
F
E
菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形
四条边相等的四边形

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