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第二十一章 四边形
八下数学 RJ
21.3.1 矩形 第1课时
21.3 特殊的平行四边形
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
2.探索并证明矩形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算，
提升推理能力.
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单运用.
上一节我们研究了平行四边形，当平行四边形的角、边满足某些特殊条件时，就得到特殊的平行四边形. 本节就来研究这些特殊的平行四边形.
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形.
注意：
矩形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是矩形.
一个角是直角
思考 矩形也是常见的几何图形，生活中你见过哪些矩形的形象？
与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定.
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有
性质.但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形
不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
活动1 利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察.
矩形
活动2 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
(1)请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
(2) 根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1：矩形的四个角都是直角.
猜想2：矩形的对角线相等.
B
C
D
A
O
完成证明
AB CD AD BC ∠ABC ∠BCD ∠ADC ∠BAD AC BD
书本
课桌
铅笔盒
已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与BD相交于点O. 求证(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=DB.
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等).
∵ AB∥CD(矩形的对边平行),
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC = 90°,
∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°.
B
C
D
A
O
已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O. 求证(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=DB.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC≌△DCB（SAS）.
∴AC=DB.
B
C
D
A
O
矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有的性质有：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等.
符号语言：
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°.
∴AC=BD.
B
C
D
A
O
活动3 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.矩形是不是轴对称图形 如果是，那么对称轴有几条
矩形的性质：
对称性：
对称轴：
轴对称图形
2条
矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴.
如图，直线l1，l2是矩形ABCD的两条对称轴.
例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB= 60°，AB=4，求矩形ABCD的对角线的长.
B
C
D
A
O
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OA=OB.
又∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形.
∴OA=AB=4.
∴AC=BD=2OA=8.
跟踪训练 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且
∠AOD=120°.若AB=3，则BC的长为( )
B
C
D
A
O
A. B.3 C.3 D.6
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°,OA=OB=OC.
∵∠AOD=120°,∠AOD+∠AOB=180°,
∴∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OC.
∵AB=3，
∴AC=6，∴BC= = 3.
C
当矩形两条对角线相交所成的角中有一个角是 60°或120°时，矩形中就会含有等边三角形和含30°角的直角三角形.
上一节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面利用矩形的性质研究直角三角形的一个性质.
A
B
C
O
思考 BO与AC有什么样的关系？
思考 如图，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线， BO与AC有什么关系？你能证明你发现的结论吗？
A
B
C
O
BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，BO= AC.
如何证明BO=AC ？
证明：如图，延长BO至D，使OD=BO，连接AD，DC.
∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形.
∴BD=AC，
∴BO= BD = AC.
A
B
C
O
D
直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A
B
C
O
符号语言：
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AO=CO，
∴OB = AC.
依据：矩形的对角线相等且互相平分.
性质的应用：
证明线段的倍、分、相等关系.
性质的逆命题：
“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判定一个三角形为直角三角形.（只可以在选择题或填空题中直接应用）.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=( )
A.2 B.3 C.4 D.2
解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为
AB边上的中线，CE=5，
∴AE=CE=5. ∵AD=2，∴DE=3.
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD = = = 4.
C
1.矩形有但一般平行四边形没有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分
A
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
C
3.一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线相交所成的角中有一个为 120°.求这个矩形相邻两边的长.
解：如图所示，AC与BD交于点O.
在矩形ABCD中，AC=8，∠1=120°.
∵∠1+∠2=180°，∴∠2=60°.
∵在矩形ABCD中，OA =OB，
∴△AOB为等边三角形，∴AB = OA = AC = ×8 = 4.
在Rt△ABC中，BC===4.
B
C
D
A
O
1
2
4.如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC的延长线上，DE∥AC，△DBE是等腰三角形吗？试说明理由.
B
C
D
A
E
解：△DBE是等腰三角形.
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CE，AC=BD.
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE，∴BD=DE，
∴△DBE是等腰三角形.
四个角都是直角
性质
对角线相等
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
是轴对称图形，有两条对称轴
定义
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
矩形

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