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高考专题辅导与测试·数学
培优点1　体育比赛与闯关
高考专题辅导与测试·数学
PART ONE
　　此类问题主要涉及体育比赛或闯关问题中的2n－1局n胜制、连胜制及比分差距制等，考查题型既有选择、填空题也有解答题，难度中等偏上.
2n－1局n胜制
【例1】　为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活
动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙
两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.每一个比赛项
目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项
目A中甲班每一局获胜的概率为 ，在项目B中甲班每一局获胜的概率为
，且每一局之间没有影响.
（1）求甲班在项目A中获胜的概率；
解：记事件A＝“甲班在项目A中获胜”，则P（A）＝ ×
× ＋ ×（ ）2× × ＋ ×（ ）2×（ ）2× ＝ ，
所以甲班在项目A中获胜的概率为 .
（2）设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望.
解：记事件B＝“甲班在项目B中获胜”，
则P（B）＝（ ）3＋ ×（ ）4＋ ×（ ）5＝ .
X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝P（ ）＝P（ ）P（ ）＝ × ＝ ，
P（X＝2）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝ × ＝ ，
P（X＝1）＝1－P（X＝0）－P（X＝2）＝ .
X 0 1 2
P
故E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .所以甲班获胜的项目个数
的数学期望为 .
所以X的分布列为
1. 一旦某方获得n次胜利即终止比赛，若比赛提前结束，则一定在最后一
次比赛中某方达到n胜，如：乒乓球、篮球、斯诺克比赛等.
2. 看成n重伯努利试验，利用二项分布的公式求解：P（甲胜）＝
pn（1－p）n－1＋ pn＋1（1－p）n－2＋…＋ p2n－1.
　（2024·聊城二模）甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的
概率为 ，乙获胜的概率为 ，采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况
下，比赛进行了两局的概率为 .
解析：根据题意，设甲获胜为事件A，比赛进行两局为事件B，P（A）
＝ × ＋ × × × ＝ ，P（AB）＝ × × ＝ ，故P（B｜
A）＝ ＝ ＝ ＝ .

连胜制
【例2】　甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每
场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被
淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另
一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 .
（1）求甲连胜四场的概率；
解：甲连胜四场的概率为 .
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
解：根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为 ；乙连胜四场的概率为 ；
丙上场后连胜三场的概率为 .
所以需要进行第五场比赛的概率为1－ － － ＝ .
（3）求丙最终获胜的概率.
解：丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的
胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，
概率分别为 ， ， .
因此丙最终获胜的概率为 ＋ ＋ ＋ ＝ .
　　连胜制的规则特点是：规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结
束比赛，则最后m场某方连胜且之前没有达到m场某方连胜.
　某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规
则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；
第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局
比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人连胜三局，则
此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为 ，且每
局比赛相互独立.则比赛进行四局结束的概率为 .

解析：比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙连
胜；第一局乙获胜，后三局丙连胜，第一局甲获胜，后三局丙连胜的概率
P1＝ × × × ＝ ，第一局乙获胜，后三局丙连胜的概率P2＝ ×
× × ＝ ，故比赛进行四局结束的概率P＝P1＋P2＝ ＋ ＝ .
比分差距制
【例3】　为了贯彻党的二十大提出的基础教育发展方针，全面落实“五
育并举”的战略目标，某市举办2024年秋季高中生乒乓球比赛活动，本次
活动乒乓球单打按国际比赛规则，即首先由发球员发球2次，再由接发球
员发球2次，两者交替，胜者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜
方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙
两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为 ，乙在
一次发球中，得1分的概率为 .如果在一局比赛中，由乙同学先发球.
（1）甲、乙的比分暂时为8∶8，求最终甲以11∶9赢得比赛的概率；
解：甲以11∶9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需
甲在最后一次获胜，最终甲以11∶9赢得比赛的概率为P＝ ×
（ ）2×（ ）2＋（ ）2× × ＝ .
（2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望.
解：设甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3.
P（X＝0）＝（ ）2× ＝ ，
P（X＝1）＝ ×（ ）2× ＋（ ）2× ＝ ，
P（X＝2）＝ ×（ ）2× ＋（ ）2× ＝ ，
P（X＝3）＝（ ）2× ＝ ，
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
所以随机变量X的分布列为
1. 规定某方比对方多m分即终止比赛.
2. 根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m.
3. 实例：如乒乓球和羽毛球的小局比赛.
（2024·江西重点中学协作体联考）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于
2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源.为弘扬中华传统文
化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙
队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一
场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名
次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分.若每
场比赛中两队胜、平、负的概率均为 ，则在比赛结束时丙队在输了第一
场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（　　）
A. B. C. D.
√
解析：　三队中选一队与丙比赛，丙输， × ，例如是丙甲，若丙
与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场
比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况
下，乙、丁已有3分，那么它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有
一队得分不小于4分，不合题意.若丙全赢（ 概率是（ ）2）时，丙得6分，其他3队分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，（1）若甲乙，甲丁两场比赛中甲一平一输，则一平一输的概率是 （ ）2，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能
赢，概率是 ；（2）若甲乙，甲丁两场比赛中甲两场均平，概率是（ ）2，乙丁这场比赛无论结果如何均符合题意；（3）若甲乙，甲丁两场比赛中甲都输，概率是（ ）2，乙丁这场比赛只能平，概率是 .综上，概率为 × ×（ ）2×［ ×（ ）2× ＋（ ）2＋（ ）2× ］＝ ，D正确.故选D.
课时跟踪检测
1. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，约定打满4局，获胜3局或3局以上的
赢得比赛（单局中无平局）.若甲、乙每局获胜的概率相同，则甲赢得
比赛的概率为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　甲、乙打满4局比赛的胜负情况如图所示，由树状图可知，胜负情况共有16种，其中甲赢得比赛的情况有5种，故所求概率P＝ .
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√
2. 甲、乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终
止.已知甲每局获胜的概率为 ，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为
（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析：　要使甲在第5局终止比赛并获胜，可分为2类情况：①甲前2
局均失败，后3局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p1＝
（ 1－ ）×（ 1－ ）× × × ＝ ；②甲第1局胜，第2局负，后3
局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p2＝ ×（ 1－ ）×
× × ＝ .所以甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p＝p1＋p2＝
＋ ＝ .
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3. （2024·黄冈二模）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙
两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的
对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当
两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、
乙两人每局获胜的概率分别为p1，p2，且满足p1＋p2＝ ，每局之间相
互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若E（X）＝16，
则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为（　　）
A. 27 B. 24 C. 32 D. 28
√
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解析：　设每一轮训练过关的概率为p，则p＝ ＋ ×
×p2×（1－p2）＋ × ×p1×（1－p1）＝－3 ＋2p1p2（p1＋
p2）＝－3 ＋2p1p2× ＝－3 ＋ p1p2.又0＜p1p2≤（ ）
2＝ ，当且仅当p1＝p2＝ 时等号成立.函数y＝－3x2＋ x的图象的开
口向下，对称轴为直线x＝ ，所以0＜－3 ＋ p1p2≤－3×（ ）2
＋ × ＝ ，依题意，知X～B（n，p），则E（X）＝n（ －
3 ＋ p1p2）＝16，n＝ ≥ ＝27，所以至少需要27
轮.故选A.
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4. （多选）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k（k∈N*）局，且每
局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为 .若某人获胜的局数大于k，则此
人赢得比赛.下列说法正确的是（　　）
A. k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为
B. k＝2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为
C. 在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k
D. 随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近
√
√
√
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解析：　对于A，k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为 ×
× ＝ ，故A错误；对于B，k＝2时，甲赢得比赛的概率为 ·（ ）4
＋ ·（ ）4＝ ，乙赢得比赛的概率为 ·（ ）4＋ ·（ ）4＝
，故B正确；对于C，由二项分布的数学期望公式知，在2k局比赛
中，甲获胜的局数的期望为2k× ＝k，故C正确；对于D，在2k局比赛
中，甲赢得比赛的概率为 ·［1－ ·（ ）2k］，故随着k的增大，甲
赢得比赛的概率会越来越接近 ，故D正确.
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5. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，
该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为
“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为
0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是 .
0.18
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解析：甲队以4∶1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另
外4场全胜，其概率为p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，②前5场
比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为p2＝0.6×0.4×0.5
×0.5×0.6＝0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为p4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，则甲队以4∶1获胜的概率为p＝p1＋p2＋p3＋p4＝0.036＋0.036＋0.054＋0.054＝0.18.
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6. （2024·郑州第二次质量预测）有甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛，
其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一
方下场.第1局由甲、乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负
的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中
双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果相互独立.
（1）求前3局比赛甲都取胜的概率；
解：前3局比赛甲都获胜的概率为P＝ × × ＝ .
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（2）用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.
解：X的所有可能取值为0，1，2，3，
其中，X＝0表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则P（X
＝0）＝ × ＝ ；
X＝1表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢，或者第1局乙
赢，且第2局乙输，
则P（X＝1）＝ × ＋ × ＝ ；
X＝2表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，
则P（X＝2）＝ × × ＝ ；
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X＝3表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，
则P（X＝3）＝ × × ＝ .
综上，X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故X的数学期望为E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
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7. （2024·河南五市第一次联考）某档电视节目举行了关于迎奥运知识竞
赛活动，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答
题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一
方净胜2分结束，且多得2分的一方最终胜出.已知甲、乙两名选手分在
同一组，两人都参与每一次抢题，且每次抢到题的概率都为 .甲、乙两
人每道题答对的概率分别为 ， ，并且每道题两人答对与否相互独
立，假设准备的竞赛题足够多.
（1）求第二题答完比赛结束的概率；
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解：由条件，每次抢答题，甲得1分的概率为P甲＝ × ＋
× ＝ ，
每次抢答题乙得1分的概率为P乙＝1－P甲＝1－ ＝ ，
若第二题答完比赛结束，则前两次答题甲得2分或者乙得2分，
因此第二题答完比赛结束事件发生的概率P＝（ ）2＋（ ）2
＝ .
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（2）求知识竞赛结束时，抢答题目总数X的期望E（X）.
解：根据题意，竞赛结束时抢答题目的总数X的所有可能取
值为2，4，6，8，…，2n，…（n∈N*），
记pn＝P（X＝2n），
由（1）知，当X＝2时，p1＝P（X＝2）＝ ，且pn＋1＝ pn
（n∈N*），
则X的分布列可表示为：
X 2 4 6 … 2n …
P p1 p2 p3 … pn …
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∴E（X）＝2p1＋4p2＋6p3＋8p4＋…＋2n·pn＋…＝ ＋4×
p1＋6× p2＋8× p3＋…＋2n× pn－1＋…＝ ＋ [4p1
＋6p2＋8p3＋…＋2n·pn－1＋（2n＋2）·pn＋…]＝ ＋
[（2p1＋4p2＋6p3＋…＋2n·pn＋…）＋2（p1＋p2＋p3＋…＋pn
＋…）]＝ ＋ [E（X）＋2]，解得E（X）＝ .
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8. （2024·茂名第二次综合测试）在一场球赛中，甲、乙、丙、丁四人角
逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签
两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”
的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰
出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜
者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠
军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概
率均为p（0＜p＜1），且不同对阵的结果相互独立.
（1）若p＝0.6，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.
①求甲获得第四名的概率；
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②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望.
解：①记“甲获得第四名”为事件A，
则P（A）＝（1－0.6）2＝0.16.
②记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X，
则X的所有可能取值为2，3，4.
连败两局：P（X＝2）＝（1－0.6）2＝0.16.
X＝3可分为连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负，
P（X＝3）＝0.62＋（1－0.6）×0.6×（1－0.6）＋0.6×（1－
0.6）×（1－0.6）＝0.552，
P（X＝4）＝（1－0.6）×0.6×0.6＋0.6×（1－0.6）×0.6＝
0.288，
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X 2 3 4
P 0.16 0.552 0.288
故数学期望E（X）＝2×0.16＋3×0.552＋4×0.288＝3.128.
故X的分布列如下：
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（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两
两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对
甲夺冠有利？请说明理由.
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解： “双败淘汰制”下，甲获胜的概率为p3＋p（1－p）p2
＋（1－p）p3＝（3－2p）p3.
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为p2.
因为（3－2p）p3－p2＝p2（3p－2p2－1）＝p2（2p－1）（1－
p），且0＜p＜1，
所以p∈（ ，1）时，（3－2p）p3＞p2，“双败淘汰制”对甲夺
冠有利；
p∈（ 0， ）时，（3－2p）p3＜p2，“单败淘汰制”对甲夺冠
有利；
p＝ 时，两种赛制甲夺冠的概率一样.
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