资源简介

(共45张PPT)
高考专题辅导与测试·数学
培优点2　函数的构造问题
高考专题辅导与测试·数学
PART ONE
　　构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构造一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质（单调性、极值、最值等）解决原函数的一种行之有效的解题手段.
导数中的函数构造
考向1　利用f（x）与xn构造函数
【例1】　设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）＝0，当x＜0时，有
xf'（x）－f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为
.
（－∞，－
1）∪（1，＋∞）
解析：构造函数F（x）＝ ，则F'（x）＝
，当x＜0时，xf'（x）－f（x）＞0，则F'
（x）＞0，F（x）在（－∞，0）上单调递增.∵f（x）为
偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）
在（0，＋∞）上也单调递增.根据f（1）＝0可得F（1）＝
0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的图象如图
所示，根据图象可知f（x）＞0的解集为（－∞，－1）∪
（1，＋∞）.
利用f（x）与xn构造函数的技巧
（1）对于f'（x）g（x）－f（x）g'（x）＞0（或＜0），可构造函数F
（x）＝ ；
（2）对于xf'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝xnf
（x）；
（3）对于xf'（x）－nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝
.
　设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，
且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为
.
解析：构造函数F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，则F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减.根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图
象如图所示，根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－
4）∪（0，4）.
（－∞，－4）∪（0，
4）
考向2　利用f（x）与enx构造函数
【例2】　已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，导函数f'（x）
满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　）
A. f（2）＞e2f（0），f（2 024）＞e2 024f（0）
B. f（2）＜e2f（0），f（2 024）＞e2 024f（0）
C. f（2）＞e2f（0），f（2 024）＜e2 024f（0）
D. f（2）＜e2f（0），f（2 024）＜e2 024f（0）
√
解析：　构造F（x）＝ ，则F'（x）＝ ，又导函数f'
（x）满足f'（x）＜f（x），则F'（x）＜0，F（x）在R上单调递减，
根据单调性可知选D.
利用f（x）与enx构造函数的技巧
（1）对于f'（x）＋f（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝exf
（x）；
（2）对于f'（x）－f（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝
；
（3）对于f'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝enxf
（x）；
（4）对于f'（x）－nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝
.
　已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞1，f（1）＝4，
则不等式exf（x）＞ex＋3e的解集为（　　）
A. （－∞，0） B. （－∞，1）
C. （0，＋∞） D. （1，＋∞）
√
解析：　设g（x）＝exf（x）－ex（x∈R），则g'（x）＝exf（x）＋
exf'（x）－ex＝ex[f（x）＋f'（x）－1]，因为f（x）＋f'（x）＞1，所
以f（x）＋f'（x）－1＞0，又ex＞0，所以g'（x）＞0恒成立，所以y＝g
（x）在定义域R上单调递增.故原不等式可转化为exf（x）－ex＞3e，又f
（1）＝4，所以g（1）＝ef（1）－e＝3e，所以g（x）＞g（1），所以
x＞1.故选D.
考向3　利用f（x）与 sin x， cos x构造函数
【例3】　偶函数f（x）的定义域为（－ ， ），其导函数为f'（x），
若对任意的x∈［0， ），有f'（x）· cos x＜f（x） sin x成立，则关于x
的不等式2f（x）＜ 的解集为 　（－ ，－ ）∪（ ， ）　.
（－ ，－ ）∪（ ， ）
解析：令g（x）＝f（x） cos x，x∈（－ ， ），∴g（－x）＝f（－
x） cos （－x）＝f（x） cos x＝g（x），∴g（x）为偶函数，又g'
（x）＝f'（x） cos x－f（x） sin x，∴当x∈［0， ）时，g'（x）＜
0，即g（x）在［0， ）上单调递减，又g（x）为偶函数，∴g（x）在
（－ ，0］上单调递增，不等式2f（x）＜ 可化为f（x） cos x＜f
（ ） cos ，即g（x）＜g（ ），则解得－ ＜x＜－
或 ＜x＜ .
利用f（x）与 sin x， cos x构造函数的技巧
（1）对于 f'（x） sin x＋f（x） cos x＞0（或＜0），可构造函数F（x）
＝f（x） sin x；
（2）对于f'（x） sin x－f（x） cos x＞0（或＜0），可构造函数F（x）
＝ ；
（3）对于f'（x） cos x＋f（x） sin x＞0（或＜0），可构造函数F（x）
＝ ；
（4）对于f'（x） cos x－f（x） sin x＞0（或＜0），可构造函数F（x）
＝f（x） cos x.
　定义在区间（0， ）上的函数f（x），f'（x）是其导函数，恒有f
（x）＞f'（x）tan x成立，则（　　）
A. f（ ）＞ f（ ） B. f（1）＞2f（ ） sin 1
C. f（ ）＜f（ ） D. f（ ）＜f（ ）
√
解析：　因为x∈（0， ），所以 sin x＞0， cos x＞0.由f（x）＞f'
（x）tan x，得f（x） cos x－f'（x） sin x＞0.设F（x）＝ ，则F'
（x）＝ ＜0，所以F（x）在区间（0， ）上单调递
减，所以F（ ）＞F（ ），即 f（ ）＞ f（ ）.同理B、C、D错
误.故选A.
函数的同构问题
【例4】　（1）若对于0＜x1＜x2＜a，都有x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2成立，
则a的最大值为（　B　）
A. B. 1
C. e D. 2e
√
解析：∵x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2，∴ － ≤ － ，即
≤ ，又0＜x1＜x2＜a，令φ（x）＝ ，∴φ（x）在
（0，a）上单调递增，φ'（x）＝ ，当x∈（0，1）时，φ'（x）
＞0，当x∈（1，＋∞）时，φ'（x）＜0，∴φ（x）在（0，1）上单
调递增，在（1，＋∞）上单调递减，故a≤1，∴a的最大值为1.
（2）设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，＋∞），不等式eλx－ ≥0恒
成立，则λ的最小值为 .

解析：eλx－ ≥0（λ＞0，x＞0） λxeλx－xln
x≥0 λxeλx≥xln x λxeλx≥eln xln x，令f（x）＝xex.上述不
等式可等价转化为f（λx）≥f（ln x），易知f（x）在R上是增函
数，所以λx≥ln x，所以λ≥ .令h（x）＝ ，则h'（x）＝
，当x∈（0，e）时，h'（x）＞0，当x∈（e，＋∞）时，h'
（x）＜0，所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上
单调递减，则h（x）max＝h（e）＝ ，即λ≥ .
　　函数的同构问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相
同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有变量分离
同构和指对跨阶同构.
（1）变量分离同构：含有地位相等的两个变量的不等式（方程），关
键在于对不等式（方程）两边变形或先放缩再变形，使不等式
（方程）两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质
解决问题；
（2）指对跨阶同构：①和、差型（ea±a＞b±ln b）；
（ⅰ）同左构造形式：ea±a＞eln b±ln b，构造函数f（x）＝
ex±x；
（ⅱ）同右构造形式：ea±ln ea＞b±ln b，构造函数f（x）＝
x±ln x.
②积型（aea≤bln b）：
（ⅰ）同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f（x）＝xex；
（ⅱ）同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f（x）＝xln x；
（ⅲ）取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln（ln b）（b＞1），构造函
数f（x）＝x＋ln x.
③商型：（ ≤ ）：
（ⅰ）同左构造形式： ≤ ，构造函数f（x）＝ ；
（ⅱ）同右构造形式： ≤ ，构造函数f（x）＝ ；
（ⅲ）取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln（ln b）（b＞1），构造函
数f（x）＝x－ln x.
1. 设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系为（　　）
A. c＜b＜a B. b＜a＜c
C. a＜c＜b D. a＜b＜c
解析：　令f（x）＝ （x＞0），则f'（x）＝ ，所以当x∈
（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，＋∞）时，f'
（x）＜0，f（x）单调递减.a＝ ＝ ＝f（e2），b＝ ＝
＝ ＝f（4），c＝ ＝ ＝f（e），因为e＜4＜e2，所以a＜b＜c.
故选D.
√
2. 已知x＞0，y＞0，且ex＋ln y＞x＋y，则下列选项正确的是（　　）
A. x＞y B. x＞ln y
C. x＜y D. x＜ln y
解析：　原不等式等价于ex－x＞y－ln y，等价于ex－ln ex＞y－ln y.
令g（x）＝x－ln x，则不等式ex－ln ex＞y－ln y，等价于g（ex）＞
g（y），因为g'（x）＝ ，所以当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＝
＞0，所以g（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，因为x＞0，所
以ex＞1.若y∈（1，＋∞），由g（ex）＞g（y），有ex＞y，若y∈
（0，1]，恒有ex＞y.综上所述，ex＞y，即x＞ln y.故选B.
√
课时跟踪检测
1. 已知α，β∈［－ ， ］，且α sin α－β sin β＞0，则下列结论正
确的是（　　）
A. α＞β B. α2＞β2
C. α＜β D. α＋β＞0
解析：　构造函数f（x）＝x sin x，则f'（x）＝ sin x＋x cos x.当x∈
［0， ］时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，当x∈［－ ，0）时，f'
（x）＜0，f（x）单调递减，又f（x）为偶函数，∴α sin α－β sin
β＞0 α sin α＞β sin β f（α）＞f（β） f（｜α｜）＞f（｜
β｜） ｜α｜＞｜β｜ α2＞β2，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
2. 若2x－2y＜3－x－3－y，则（　　）
A. ln（y－x＋1）＞0 B. ln（y－x＋1）＜0
C. ln｜x－y｜＞0 D. ln｜x－y｜＜0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：　由2x－2y＜3－x－3－y，得2x－3－x＜2y－3－y，即2x－
＜2y－ .设f（x）＝2x－ ，则f（x）＜f（y）.因为函数y＝
2x在R上为增函数，y＝－ 在R上为增函数，所以f（x）＝2x－
在R上为增函数，则由f（x）＜f（y），得x＜y，所以y－x＞
0，所以y－x＋1＞1，所以ln（y－x＋1）＞0，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（－1）＝0，当x＜0时，xf'
（x）＋f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A. （－∞，－1）∪（0，1）
B. （－1，0）∪（1，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（－1，0）
D. （0，1）∪（1，＋∞）
解析：　构造函数F（x）＝xf（x），当x＜0时，F'（x）＝f
（x）＋xf'（x）＜0，F（x）单调递减.又f（－1）＝0，则F（－1）
＝0，所以当－1＜x＜0时，F（x）＜0，所以当－1＜x＜0时，f
（x）＞0.因为f（x）为奇函数，所以F（x）＝xf（x）为偶函数，
所以当x＞1时，F（x）＞0，所以当x＞1时，f（x）＞0.综上可知，
f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（1，＋∞），故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4. 已知aln 2＝2ln a，bln 3＝3ln b，cln 5＝5ln c，且a，b，c∈（0，
e），则（　　）
A. c＜a＜b B. a＜c＜b
C. b＜a＜c D. b＜c＜a
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：　由已知得 ＝ ， ＝ ， ＝ ，令f（x）＝
（x∈（0，e）），则f'（x）＝ ＞0（x∈（0，e）），故f（c）
－f（a）＝ － ＝ ＜0，且a，c∈（0，e），所以c＜a.f
（a）－f（b）＝ － ＝ ＜0，且a，b∈（0，e），所以a＜
b，所以c＜a＜b.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5. 已知函数f（x）满足xf'（x）ln x＋f（x）＞0（其中f'（x）是f（x）
的导函数），若a＝f（ ），b＝f（e），c＝f（e2），则下列选项
中正确的是（　　）
A. a＜2b＜4c B. 2b＜4c＜a
C. 4c＜2b＜a D. a＜4c＜2b
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：　因为xf'（x）ln x＋f（x）＞0（x＞0），所以f'（x）ln x＋
f（x）＞0，所以[f（x）ln x]'＞0.令g（x）＝f（x）ln x，则g'（x）
＞0在（0，＋∞）上恒成立，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，
从而g（ ）＜g（e）＜g（e2），即f（ ）ln ＜f（e）ln e＜f
（e2）ln e2，即 f（ ）＜f（e）＜2f（e2），所以 a＜b＜2c，即a
＜2b＜4c，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6. （2024·邵阳第二次联考）已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f
（x）的导函数.若f（1）＝e，且f'（x）＋ex＜f（x）在R上恒成立，
则不等式f（x）＜（2－x）ex的解集为（　　）
A. （－∞，2） B. （2，＋∞）
C. （－∞，1） D. （1，＋∞）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：　设函数g（x）＝ ＋x，可得g'（x）＝
＋1＝ ＜0，所以函数g（x）在R上
单调递减，由f（x）＜（2－x）·ex，可得f（x）＋xex＜2ex，即
＋x＜2＝ ＋1，可得g（x）＜g（1），所以x＞1，即不
等式f（x）＜（2－x）ex的解集为（1，＋∞）.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7. 设a，b都是正数，若aea＋1＋b＜bln b（其中e是自然对数的底数），
则（　　）
A. ab＞e B. b＞ea＋1
C. ab＜e D. b＜ea＋1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：　由已知aea＋1＋b＜bln b，移项整理得aea＋1＜bln ，两边
同时除以e得aea＜ ln ，为了实现“两边结构相同”，对左边“降
阶”得aea＝ea·ln ea，故ea·ln ea＜ ln .设f（x）＝x·ln x，则有f
（ea）＜f（ ），因为a＞0，所以ea＞1.因为b（ln b－1）＞0，b＞
0，所以ln b＞1，故b＞e， ＞1，当x＞1时，f'（x）＝1＋ln x＞0，f
（x）单调递增，所以ea＜ ，即ea＋1＜b.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8. （多选）已知定义在［0， ）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且
f（0）＝0，f'（x） cos x＋f（x） sin x＜0，则下列判断中正确的是
（　　）
A. f（ ）＜ f（ ） B. f（ln ）＞0
C. f（ ）＞ f（ ） D. f（ ）＞ f（ ）
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：　令g（x）＝ ，x∈［0， ），则g'（x）＝
，因为f'（x） cos x＋f（x） sin x＜0，所以g'
（x）＝ ＜0在［0， ）上恒成立，因此函数g
（x）＝ 在［0， ）上单调递减，故g（ ）＞g（ ），即
＞ ，即f（ ）＞ f（ ），故A错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
又f（0）＝0，所以g（0）＝ ＝0，所以g（x）＝ ≤0在［0，
）上恒成立，因为0＝ln 1＜ln ＜ln e＝1＜ ，所以f（ln ）＜0，故B错
误；又g（ ）＞g（ ），所以 ＞ ，即f（ ）＞ f（ ），
故C正确；又g（ ）＞g（ ），所以 ＞ ，即f（ ）＞ f
（ ），故D正确.故选C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9. 已知函数f（x）＝ex－aln（ax－a）＋a（a＞0），若关于x的不等
式f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为 .
解析：因为f（x）＝ex－aln（ax－a）＋a＞0（a＞0）恒成立，所
以 ＞ln（x－1）＋ln a－1，所以ex－ln a＋x－ln a＞ln（x－1）＋x－
1，即ex－ln a＋x－ln a＞eln（x－1）＋ln（x－1）.令g（x）＝ex＋x，易
得g（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以x－ln a＞ln（x－1），则
有－ln a＞ln（x－1）－x.因为ln（x－1）－x≤x－2－x＝－2，所以
－ln a＞－2，解得0＜a＜e2.所以实数a的取值范围为（0，e2）.
（0，e2）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. （2024·长沙调研）已知对任意x1，x2∈（0，＋∞），且当x1＜x2时，
都有 ＜1＋ ，则a的取值范围是 .
解析：因为对任意x1，x2∈（0，＋∞），且当x1＜x2时，
＜1＋ 恒成立，所以aln x2－aln x1＜x2－x1＋
恒成立，即aln x2－aln x1＜x2－x1＋ － 恒成立，即aln x2－x2＋
＜aln x1－x1＋ ①恒成立，令f（x）＝aln x－x＋ ，x∈（0，＋
∞），由①式可得当x1＜x2时，f（x2）＜f（x1），
（－∞，2]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以f'（x）＝－ ≤0在
（0，＋∞）上恒成立，所以x2－ax＋1≥0在（0，＋∞）上恒成立，所以
a≤x＋ 在（0，＋∞）上恒成立，又x＋ ≥2 ＝2，当且仅当x＝ ，
即x＝1时取等号，所以a≤2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
谢谢您的观看
高考专题辅导与测试·数学

展开更多......

收起↑