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高考专题辅导与测试·数学
培优点1　数列的递推关系
高考专题辅导与测试·数学
PART ONE
　　数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用.
利用an与Sn的关系
【例1】　（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝4an－3，则Sn
＝（　C　）
A. 4［（ ）n－1］ B. 4［（ ）n－1］
C. 3［（ ）n－1］ D. 4（3n－1）
√
解析：当n＝1时，S1＝4a1－3，得a1＝S1＝1，当n≥2时，Sn
＝4（Sn－Sn－1）－3，化简得Sn＝ Sn－1＋1，即Sn＋3＝ （Sn－1＋
3）（n≥2），又S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为 的等
比数列，所以Sn＋3＝4×（ ）n－1，所以Sn＝4×（ ）n－1－3＝3
［（ ）n－1］，故选C.
（2）（多选）已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n
（n∈N*），Sn为数列{an}的前n项和.则下列四个结论中正确的是
（　ACD　）
A. a1＝2
B. 数列{an}的通项公式为an＝
C. S3＝
D. 数列{an}为递减数列
√
√
√
解析：对于A，令n＝1，则a1＝2×1＝2，所以A正确；对于B，当
n≥2时，由a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n，得a1＋3a2＋…＋
（2n－3）an－1＝2n－2，两式相减得（2n－1）an＝2，所以an＝
，a1＝2满足此式，所以an＝ ，所以B错误；对于C，因为
an＝ ，所以S3＝a1＋a2＋a3＝2＋ ＋ ＝ ，所以C正确；对于
D，因为an＋1－an＝ － ＝2（ － ）＝
＜0（n∈N*），所以an＋1＜an，所以数列{an}为递减
数列，所以D正确.
涉及Sn与an关系问题的求解思路
　　根据所求结果的不同要求，将问题向不同的方向转化.
（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求
解；
（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
1. 数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝λn2＋2n＋1（λ∈R），若{an}是递
增数列，则λ的取值范围为（　　）
A. （0，＋∞） B. （ ，＋∞）
C. （1，＋∞） D. （－ ，＋∞）
√
解析：　∵数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝λn2＋2n＋1（λ∈R），
∴a1＝λ＋3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝λn2＋2n＋1－[λ（n－
1）2＋2（n－1）＋1]＝2λn－λ＋2，∴a2＝3λ＋2.显然，从第二项
开始，{an}是以2λ为公差的等差数列.又{an}是递增数列，∴2λ＞0，
且a2－a1＝2λ－1＞0，得λ＞ ，故选B.
2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－ ，且5an＋1＋Sn＋16＝0.则an
＝ .
解析：当n＝1时，5a2＋a1＋16＝0，∴a2＝－ ，由5an＋1＋Sn＋16＝
0　①，得5an＋Sn－1＋16＝0（n≥2）　②，①－②得5an＋1＝4an
（n≥2），∵a2＝－ ≠0，∴an≠0，∴ ＝ （n≥2），又 ＝
，∴{an}是首项为－ ，公比为 的等比数列，∴an＝－ ·（ ）n－1
＝－4·（ ）n.
－4·（ ）n
构造辅助数列
【例2】　（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ ，则a7＝ 　 　；
解析：易知an≠0，由an＋1＝ ，得 ＝ ＋ ，所以
是首项为1，公差为 的等差数列，所以 ＝ ＋（n－1）×
＝ ，an＝ ，所以a7＝ .

解析：等式两边取以10为底的对数可得2lg an＋1＝lg an＋1，即lg an＋1－
1＝ （lg an－1），所以数列{lg an－1}是以lg a1－1＝－1为首项，
为公比的等比数列，所以lg an－1＝（－1）×（ ）n－1＝－（ ）n－
1，即lg an＝1－（ ）n－1，即an＝10×（ .
（2）已知数列{an}满足a1＝1， ＝10an（an＞0），则an＝
.
10×
（
1. 求形如an＋1＝pan＋q（p≠1）的递推公式的通项，可采用以下两种
方法：
（1）待定系数法：设an－λ＝p（an－1－λ），用待定系数法可求出
λ＝ ，进而构造新的等比数列{an－λ}，求出通项.其中λ为
方程λ＝pλ＋q的解；
（2）由an＋1＝pan＋q及an＝pan－1＋q，两式相减得an＋1－an＝p（an
－an－1），所以{an＋1－an}是首项为a2－a1，公比为p的等比数
列，先求an＋1－an，再求an.
2. 形如an＋1＝pan＋q（n）（p≠1）的递归式，等号两边同除以pn＋1，
得 ＝ ＋ ，令bn＝ ，得bn＋1＝bn＋ ，先求bn，再
求an.
3. 形如an＋1＝p （p＞0，an＞0）的递归式，等号两边取对数有lg an＋1
＝qlg an＋lg p，令bn＝lg an，则bn＋1＝qbn＋lg p，同上得bn，再求an.
1. 数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋1－2Sn＝1－n，且S1＝3，则数列
{an}的通项公式是 .
解析：∵Sn＋1－2Sn＝1－n，∴Sn＋1－（n＋1）＝2（Sn－n），且S1
－1＝2≠0，∴ ＝2，∴{Sn－n}是以2为首项，2为公比的等
比数列.∴Sn－n＝2·2n－1＝2n，Sn＝n＋2n.∴当n≥2时，an＝Sn－Sn
－1＝n＋2n－（n－1＋2n－1）＝2n－1＋1，又a1＝3不满足上式，∴an＝
an＝
2. 数列{an}满足 an＝an＋1－ ，且a1＝ ，若an＜ ，则n的最小值
为 .
4
解析：数列{an}满足 an＝an＋1－ ，即an＋1－ an＝ ，两
边同时除以 可得 － ＝1，又a1＝ ，所以数列 是
等差数列，其首项为1，公差为1，所以 ＝1＋（n－1）×1＝n，所
以an＝n· .令an＜ ，即n· ＜ ，当n＝1，2，3时，an＞ ；
当n＝4时，4× ＝ ＜ ；n≥5时，n·（ ）n＜ ，所以使an＜ 的n
的最小值为4.
累加、累乘法
【例3】　（1）已知数列{an}满足nan＋1－（n＋1）an＝2，a1＝1，则数
列{an}的通项公式an＝（　B　）
A. 2n－3 B. 3n－2
C. －2n＋3 D. 3n＋2
解析：nan＋1－（n＋1）an＝2，两边同除n（n＋1）得 －
＝ ＝2（ － ），所以 －a1＝2（1－ ＋ － ＋…
＋ － ），即 －a1＝2（1－ ），化简得an＝（2＋a1）n－
2，因为a1＝1，所以an＝3n－2.
√
（2）（2024·太原高三年级模拟考试）已知数列{an}的前n项和为Sn
（n∈N*），且满足S1＝2，3Sn＝（n＋2）an，则Sn＝ .

解析：因为3Sn＝（n＋2）an，则当n≥2时，3Sn＝（n＋2）
（Sn－Sn－1），化简得（n－1）Sn＝（n＋2）Sn－1，即 ＝
，所以当n≥2时， · · · · · ·…· ＝ × × × ×
× ×…× ，即 ＝ .因为S1＝2，所以Sn＝
，当n＝1时也成立.
1. an－an－1＝f（n）型，可用“累加法”求an，即an＝（an－an－1）＋
（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1.
2. ＝f（n）型，可用“累乘法”求an，即an＝
· ·…· · ·a1.
　设数列{an}是首项为1的正项数列，且（n＋1） －n ＋an＋1·an
＝0，则它的通项公式an＝（　　）
A. B.
C. n D. n2
解析：　由（n＋1） －n ＋an＋1·an＝0，则[（n＋1）an＋1－
nan]（an＋1＋an）＝0，又数列{an}为正项数列，即an＞0，且a1＝1，所
以（n＋1）an＋1－nan＝0，即 ＝ ，所以an＝ · ·…· ·a1＝
× ×…× ×1＝ .
√
03
课时跟踪检测
1. 已知数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝（　　）
A. 7 B. 6
C. 5 D. 4
解析：　由题意得（an＋2＋an＋1）－（an＋1＋an）＝[2（n＋1）－3]
－（2n－3），即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝（a8－a6）＋（a6－a4）
＝2＋2＝4.
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√
2. （2024·潍坊高考模拟考试）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1.若数列
{an＋an＋1}是公比为2的等比数列，则a2 024＝（　　）
A. B.
C. 21 012－1 D. 21 011－1
解析：　法一（累加法）　由题知a1＋a2＝1，所以an＋1＋an＝1·2n－1
＝2n－1，所以an＋2＋an＋1＝2n，两式相减得an＋2－an＝2n－2n－1＝2n－
1，所以a2 024＝a2＋（a4－a2）＋（a6－a4）＋…＋（a2 024－a2 022）＝1
＋21＋23＋…＋22 021＝1＋ ＝1＋ ＝ ，故选A.
√
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法二（构造数列法）　由题知a1＋a2＝1，所以an＋1＋an＝1·2n－1＝2n－1，
所以an＋1＝－an＋2n－1， ＝－ ＋1＝－ · ＋1， － ＝－
·（ － ），所以{ － }是等比数列， － ＝（ － ）·（－
）n－1＝－ （－ ）n－1，所以an＝ ，因此a2 024＝
＝ ，故选A.
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3. （2024·茂名一模）已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝2，
＝ ，则a5＝（　　）
A. 16 B. 32
C. 64 D. 128
解析：　由 ＝ ，得 ＝ ，于是 ＝ ＝ ，
则 ＝ ，两边取对数得nlg an＋1＝（n＋1）lg an，因此
＝ ，数列 是常数列，则 ＝ ＝lg 2，即lg an＝nlg 2＝
lg 2n，所以an＝2n，a5＝32.故选B.
√
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4. 已知数列{an}满足 ＋ ＋…＋ ＝n（n∈N*），bn＝λ（an－1）
－n2＋4n，若数列{bn}为递增数列，则λ的取值范围是（　　）
A. （ ，＋∞） B. （ ，＋∞）
C. ［ ，＋∞） D. ［ ，＋∞）
√
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解析：　由 ＋ ＋…＋ ＝n（n∈N*），得 ＋ ＋…＋ ＝
n－1（n≥2），两式相减可得 ＝1（n≥2），则an＝2n（n≥2），
当n＝1时，由 ＝1可得a1＝2，满足上式，故an＝2n（n∈N*），所
以bn＝λ（2n－1）－n2＋4n.因为数列{bn}为递增数列，即 n∈N*，
bn＋1－bn＞0，则λ（2n＋1－1）－（n＋1）2＋4（n＋1）－[λ（2n－
1）－n2＋4n]＝λ·2n－2n＋3＞0，整理得λ＞ ，令cn＝ ，
则cn＋1－cn＝ － ＝ （n∈N*），当n≤2时，cn＋1＞cn，
当n≥3时，cn＋1＜cn，即当n＝3时， 取得最大值 ，从而得λ＞
，所以λ的取值范围为（ ，＋∞）.故选A.
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5. （多选）如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算
法》中，被后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有
3个球，第三层有6个球……设第n层有an个球，从上往下n层球的总个
数为Sn，记bn＝（－1）n·（an＋1－an），则下列结论正确的是
（　　）
A. an＋1－an＝n＋1
B. b1＋b2＋…＋b20＝20
C. Sn－Sn－1＝ ，n≥2
D. 的最大值为
√
√
√
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解析：　a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n（n≥2），所
以an＋1－an＝n＋1，故A正确.因为bn＝（－1）n（an＋1－an）＝（－
1）n（n＋1），所以b1＋b2＋…＋b20＝－2＋3－4＋5－…－20＋21＝
10，故B不正确.因为a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝
n（n≥2），所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝ （n≥2），经检验
a1＝1也满足该式，故an＝ ，当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝
，故C正确.
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＝ ＝ ， － ＝ － ＝ ，所以当n＝1时， ＞ ，当n＝2时， ＝ ，当n≥3时， ＜ ，所以当n＝2或n＝3时， 取得最大值 ，故D正确.故选A、C、D.
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6. （2024·南京、盐城调研测试）若数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋an＋1＋
an＋2＝n2（n∈N*），则a100＝ .
解析：∵an＋an＋1＋an＋2＝n2，∴an＋1＋an＋2＋an＋3＝（n＋1）2，两
式相减得an＋3－an＝2n＋1，∴a4－a1＝2×1＋1，a7－a4＝2×4＋
1，…，a97－a94＝2×94＋1，a100－a97＝2×97＋1，累加得a100＝a1＋
（2×1＋1）＋（2×4＋1）＋…＋（2×94＋1）＋（2×97＋1）＝2×
（1＋4＋…＋94＋97）＋34＝（1＋97）×33＋34＝3 268.
3 268
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7. 已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2（n≥3），则
数列{an}的通项公式为 .
解析：∵an＝2an－1＋3an－2（n≥3），∴an＋an－1＝3（an－1＋an－2）
（n≥3），又a1＋a2＝7，∴{an＋an－1}是首项为7，公比为3的等比数
列，则an＋an－1＝7×3n－2　①，又an－3an－1＝－（an－1－3an－2）
（n≥3），a2－3a1＝－13，∴{an－3an－1}是首项为－13，公比为－1的等比数列，则an－3an－1＝（－13）×（－1）n－2　②，由①×3＋②，4an＝7×3n－1＋13×（－1）n－1，∴an＝ ×3n－1＋ ×（－1）n－1.
×3n－1＋ ×（－1）n－1
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8. （2024·江西鹰潭一模）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－
2n＋1＋1（n∈N*），且a1，a2＋5，a3成等差数列.
（1）求a1的值；
解：2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
令n＝2得2S2＝a3－23＋1，即2a1＋2a2＝a3－7，　①
因为a1，a2＋5，a3成等差数列，所以2（a2＋5）＝a1＋a3，即a3
＝2（a2＋5）－a1.　②
将②代入①可得2a1＋2a2＝2（a2＋5）－a1－7，解得a1＝1，
故a1的值为1.
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（2）求数列{an}的通项公式.
解：因为2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
当n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1，
两式作差可得an＋1＝3an＋2n，所以an＋1＋2n＋1＝3（an＋2n），
n≥2，
易知a2＝5，所以an＋2n＝（a2＋22）×3n－2＝（5＋4）×3n－2＝
3n，即an＝3n－2n，n≥2，
将n＝1代入an＝3n－2n得a1＝31－21＝1，符合题意.
故数列{an}的通项公式为an＝3n－2n.
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