资源简介

(共46张PPT)
高考专题辅导与测试·数学
培优点1　离心率的范围问题
高考专题辅导与测试·数学
PART ONE
　　圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
借助圆锥曲线的定义
【例1】　已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别
为F1，F2，P为C右支上一点，PF1与C的左支交于点Q. 若｜PQ｜＝｜
PF2｜，则C的离心率的取值范围是（　　）
A. （1，3] B. （2，3]
C. （ ，3] D. （2， ]
√
解析：　由题意得｜PF1｜－｜PF2｜＝｜PQ｜＋｜QF1｜－｜PF2｜
＝｜QF1｜＝2a，所以｜QF2｜＝4a，设∠F1PF2＝θ，｜PF2｜＝m，
由余弦定理的推论可得 cos θ＝ ＝ ，则m
＝ ，则c2－5a2＞0 e＞ ，设点P（x0，y0）（x0≥a），则
＝b2·（ －1），m2＝（c－x0）2＋ ＝（ex0－a）2，即m＝ex0－
a≥c－a，所以 ≥c－a （e＋1）（e＋1）（e－3）
≤0 e≤3，故e∈（ ，3].
　　解此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股
定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线
离心率自身的范围.
椭圆C1： ＋ ＝1（a＞b＞0）与双曲线C2有公共的左、右焦点F1，
F2，C1与C2在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰
三角形，若椭圆C1的离心率的取值范围是［ ， ］，则双曲线C2的离心
率的取值范围是（　　）
A. ［ ，5］ B. ［ ，5］
C. ［ ， ］ D. ［ ，＋∞）
√
解析：　设｜F1F2｜＝2c，双曲线C2的实轴长为2m，因为C1与C2在第
一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，则｜
MF2｜＝｜F1F2｜＝2c，由椭圆的定义可得｜MF1｜＝2a－2c，由双曲
线的定义可得｜MF1｜＝2m＋2c，所以2a－2c＝2m＋2c，则a－m＝
2c，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则 － ＝2，即 － ＝
2，因为 ≤e1≤ ，则 ＝ －2∈［ ， ］，故e2∈［ ，5］.
借助平面图形的性质
【例2】　（2024·南京六校调研）已知圆C1：x2＋y2＝b2与双曲线C2：
－ ＝1（a＞0，b＞0），若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P可以
作圆C1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，且∠APB＝ ，则双曲
线C2的离心率的取值范围是（　　）
A. （ 1， ］ B. ［ ，＋∞）
C. （1， ] D. [，＋∞）
√
解析：　法一　如图，∵∠APB＝ ，∴∠APO＝
（O是坐标原点），∴｜OP｜＝2｜OA｜＝2b.设P
（m，n），则｜OP｜2＝m2＋n2＝4b2，又 － ＝
1，∴m2（ ＋ ）＝5，又m2≥a2，∴5≥1＋ ，∴0
＜ ≤4， ≥ ，∴离心率e＝ ＝ ≥ .故选B.
法二　如图，∵∠APB＝ ，∴∠APO＝ （O是坐标原点），∴｜OP｜
＝2｜OA｜＝2b，∴以O为圆心，以2b为半径的圆与双曲线有公共点，
∴2b≥a，4b2≥a2，即4（c2－a2）≥a2，4c2≥5a2，∴离心率e＝
≥ .故选B.
借助平面图形的性质求离心率范围的步骤
（1）根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于
或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系；
（2）将这些量结合圆锥曲线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到
不等式；
（3）解不等式，确定离心率的取值范围.
1. 已知F1，F2分别为椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P
是椭圆C上的一点，直线l：x＝ ，且PQ⊥l，垂足为Q. 若四边
形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）
A. （ ，1） B. （ －1，1）
C. （0， －1） D. （ 0， ）
√
解析：　设P（x0，y0），则Q（ ，y0），因为四边形QPF1F2
为平行四边形，所以｜PQ｜＝｜F1F2｜，所以 －x0＝2c，即x0
＝ －2c＝ ∈（－a，a），所以－1＜ ＜1，
所以－1＜2－e2－2e＜1，又0＜e＜1，所以 －1＜e＜1.
2. 已知F1，F2分别是双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2 sin ∠PF1F2＝ sin ∠PF2F1，
则双曲线的离心率的取值范围为（　　）
A. （1，2） B. （1，3）
C. （3，＋∞） D. （2，3）
√
解析：　在△PF1F2中，由正弦定理知 ＝ ，因为2 sin
∠PF1F2＝ sin ∠PF2F1，所以2｜PF2｜＝｜PF1｜.由双曲线的定义
知，｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，因
为｜PF1｜＋｜PF2｜＞｜F1F2｜，即4a＋2a＞2c，所以e＝ ＜3.又
e＞1，所以e∈（1，3）.
借助题目中所给的不等信息
【例3】　已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别
为F1，F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近
线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧.若｜AQ｜≥2｜AP｜，则该双曲
线的离心率的取值范围是（　　）
A. （1， ] B. [，＋∞）
C. （ 1， ］ D. ［ ，＋∞）
√
解析：　由题意知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，不妨取双
曲线的渐近线为y＝ x，如图.由解得或
∴Q（a，b），P（－a，－b）.又A为双曲线的左顶点，
∴A（－a，0），∴｜AQ｜＝ ，｜AP｜＝
＝b.∵｜AQ｜≥2｜AP｜，∴ ≥2b，即4a2≥3（c2－a2），∴e2≤ .又e＞1，∴e∈（ 1， ］.故选C.
借助题目中所给的不等信息求离心率范围的步骤
（1）找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直
线使方程成立，Δ的范围等；
（2）列出不等式（组），化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆
的顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，
则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A. （ ，1） B. （0， ）
C. （0， ） D. （ ，1）
√
解析：　设B1（0，－b），B2（0，b），F2（c，0），A2（a，
0），所以 ＝（a，－b）， ＝（－c，－b）.因为∠B1PB2
为钝角，所以 与 的夹角为锐角，所以 · ＝－ac＋b2
＞0，即a2－c2－ac＞0.两边同时除以a2并化简得e2＋e－1＜0，解得
＜e＜ ，又0＜e＜1，所以0＜e＜ .
2. （2024·湖南九校联盟第二次联考）已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）与
双曲线 － ＝1，椭圆的短轴长与长轴长之比大于 ，则双曲线离心
率的取值范围为 .
（ ， ）
解析：依题意，对于椭圆方程， ＜ ＝ ＜1，对于双曲线方程，e＝
＝ ＝ ＝ .不妨设t＝ ，则t∈（ ，
1），于是f（t）＝ ，t∈（ ，1），由复合函数的单调性可得
函数f（t）在区间（ ，1）上单调递增，故 ＜f（t）＜ ，即
＜e＜ ，故双曲线离心率的取值范围为（ ， ）.
课时跟踪检测
1. （2024·商丘模拟）若动直线mx＋ny＝2m＋n（m，n∈R）始终与椭
圆C： ＋ ＝1（a＞0且a≠ ）有公共点，则C的离心率的取值范
围是（　　）
A. （0， ） B. （0， ）
C. ［ ，1） D. ［ ，1）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
解析：　由直线m（x－2）＋n（y－1）＝0得，直线过定点（2，
1），由题意得，点（2，1）在椭圆上或椭圆内部，所以 ＋ ≤1，则
a2≥6，所以椭圆焦点在x轴上，所以e＝ ＝ ∈［ ，
1），故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. 若椭圆上存在点P，使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2∶1，则该椭
圆的离心率e的取值范围是（　　）
A. ［ ，1） B. （ 0， ］
C. ［ ，1） D. （ 0， ］
解析：　由题可设点P到椭圆两个焦点的距离分别为2m，m，所以
2m＋m＝2a，得到m＝ a，又m≥a－c，所以 a≥a－c，得到
c≥ a，所以e≥ ，又0＜e＜1，故 ≤e＜1.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直
线y＝kx（k＞0）与椭圆C相交于M，N两点（其中M在第一象限）.
若M，F1，N，F2四点都在一个圆上，则椭圆C的离心率e的取值范围
是（　　）
A. [－1，1） B. （ ， －1］
C. （ ，1） D. （0， －1]
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：　设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，短半轴长为b.由椭圆
的对称性和M，F1，N，F2四点共圆，知四边形MF1NF2为矩形，所以
以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，所以c＞b，则c2＞a2－c2，即
2c2＞a2，得 ＜e＜1.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4. （2024·南昌三模）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、
右焦点分别为F1，F2.过F2作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，
若△F1AB的周长为10b，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）
A. ［ ， ］ B. ［ ， ］
C. ［ ，2］ D. [2，＋∞）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：　由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，｜BF1｜－｜
BF2｜＝2a，两式相加可得｜AF1｜＋｜BF1｜＝4a＋｜AB｜，则
△F1AB的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝4a＋2｜AB｜＝
10b，即｜AB｜＝5b－2a，再由｜AB｜≥ ，可得5ab－2a2≥2b2，解得 ≤ ≤2，故e＝ ＝ ∈［ ， ］.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5. 设M是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的上顶点，P是C上的一个动
点.当P运动到下顶点时，｜PM｜取得最大值，则C的离心率的取值范
围是（　　）
A. ［ ，1） B. （ 0， ］
C. ［ ，1） D. （ 0， ］
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：　设P（x0，y0），M（0，b），因为 ＋ ＝1，a2＝b2＋
c2，所以｜PM｜2＝ ＋（y0－b）2＝a2（ 1－ ）＋（y0－b）2＝－
（ y0＋ ）2＋ ＋a2＋b2，－b≤y0≤b，由题意知，当y0＝－b
时，｜PM｜2取得最大值，所以－ ≤－b，可得a2≥2c2，即e2≤ ，
则0＜e≤ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6. 已知双曲线E： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，
F2，若E上点A满足｜AF1｜＝2｜AF2｜，且向量 ， 夹角的取
值范围为［ ，π］，则E的离心率的取值范围是（　　）
A. [， ] B. [，3]
C. [3，5] D. [7，9]
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：　由双曲线定义得｜｜AF1｜－｜AF2｜｜＝2a，∵｜AF1｜＝
2｜AF2｜，∴｜AF2｜＝2a，｜AF1｜＝4a，在△AF1F2中，由余弦定
理得 cos ∠F1AF2＝ ＝ ＝
，由题意得∠F1AF2∈［ ，π］，∴ cos ∠F1AF2∈［－1，－
］，∴－1≤ ≤－ ，∴－1≤ － ≤－ ，∴7≤e2≤9，
∴e∈[，3].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7. （2024·黄山第一次质量检测）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞
0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且与双曲线C的一条渐近线平
行的直线l交C于M，且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，当λ∈[2，4]时，双
曲线C的离心率的最大值为（　　）
A. B.
C. 2 D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：　如图所示，不妨取渐近线方程为y＝ x，
又易知F1（－c，0），则直线l的方程为y＝ （x
＋c），联立直线l与双曲线的方程得
可得M（ － ， ），所以｜F1M｜＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
＝ ＝ ＝ ＝ ，且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，由双曲线定义可得｜F2M｜
－｜F1M｜＝（λ－1）｜F1M｜＝2a，当λ∈[2，4]时，可得λ－1＝ ＝ ＝ ∈[1，3]，所以e2－1∈［ ，4］，解得
≤e≤ ；因此双曲线C的离心率的最大值为 .故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8. （多选）设F1，F2同时为椭圆C1： ＋ ＝1（a＞b＞0）与双曲线
C2： － ＝1（a1＞0，b1＞0）的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2
在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O
为原点，下列说法正确的是（　　）
A. 若｜F1F2｜＝2｜MO｜，则 ＋ ＝
B. 若｜F1F2｜＝2｜MO｜，则 ＋ ＝2
C. 若｜F1F2｜＝4｜MF2｜，则e1e2的取值范围是（ ， ）
D. 若｜F1F2｜＝4｜MF2｜，则e1e2的取值范围是（ ，2）
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：　如图，连接MF1，设｜MF1｜＝m，｜
MF2｜＝n，焦距为2c.由椭圆的定义，得m＋n＝
2a.由双曲线的定义，得m－n＝2a1，解得m＝a＋
a1，n＝a－a1.当｜F1F2｜＝2｜MO｜时，∠F1MF2
＝90°，所以m2＋n2＝4c2，即a2＋ ＝2c2.由离心
率的公式，得 ＋ ＝2，故A错误，B正确.当｜
F1F2｜＝4｜MF2｜时，n＝ c，即a－a1＝ c，所以
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
－ ＝ ，则e1＝ .由0＜e1＜1，得 ＞1，所以
＞ ，即1＜e2＜2，则e1e2＝ .设2＋e2＝t（3＜t
＜4），则 ＝ ＝2（ t＋ －4）.令f（t）
＝t＋ －4，易知f（t）在（3，4）上单调递增，所
以f（t）∈（ ，1），所以e1e2∈（ ，2），故C错
误，D正确.选B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9. 已知双曲线E： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，
F2，｜F1F2｜＝4.若线段x－y＋4＝0（－2≤x≤8）上存在点M，使
得线段MF2与E的一条渐近线的交点N满足｜F2N｜＝ ｜F2M｜，则
E的离心率的取值范围是 .
［ ， ］
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：设M（x0，x0＋4）（－2≤x0≤8），易知F2（2，0）.因为｜
F2N｜＝ ｜F2M｜，所以 ＝ ＝ （x0－2，x0＋4）.设N
（xN，yN），则（xN－2，yN）＝ （x0－2，x0＋4），则xN＝ ，
yN＝ ，－2≤x0≤8.易知xN＞0，yN＞0，点N在渐近线y＝ x上，
所以 ＝ · ，则 ＝ ＝1－ .由－2≤x0≤8，得 ≤
≤ ，所以 ≤ ≤ .又 －1＝ ，所以 ≤ ≤ ，所以
≤e≤ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. （2024·杭州二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母
线长为12 cm，开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯
内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于 .

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：如图，由题意可知，｜AB｜＝8，｜PB｜＝
12，｜MA｜＝｜MP｜＝6.设椭圆长轴长为2a，焦
距为2c，则｜MB｜＝2a. cos ∠AMB＋ cos ∠PMB
＝ ＋ ＝0，解得｜
MB｜＝2 ，即2a＝2 ，a＝ .假设一小球
刚好与圆锥的母线PA，PB分别切于点N，E，与椭
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
圆切于点F，则｜MN｜＝｜MF｜，｜PN｜＝｜PE｜，｜BF｜＝｜BE｜，又由椭圆的性质可知，｜MN｜＝｜MF｜＝a－c＝ －c，｜BE｜＝｜BF｜＝a＋c＝ ＋c，所以由｜MP｜＝6，｜PB｜＝12得｜PN｜＝6－｜MN｜＝6－ ＋c，｜PE｜＝12－｜BE｜＝12－ －c，所以6－ ＋c＝12－ －c，解得c＝3.所以椭圆的离心率为e＝ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
谢谢您的观看
高考专题辅导与测试·数学

展开更多......

收起↑