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高考专题辅导与测试·数学
培优点　极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心
极化恒等式及应用
极化恒等式：已知a，b是两个平面向量，a·b＝ [（a＋b）2－（a－
b）2].
变式：a·b＝ － ，a·b＝ － .
（1）平行四边形形式：平行四边形ABCD中， · ＝ （ －
）；
（2）三角形形式：△ABC中， · ＝ － （O为BC的中
点），即向量的数量积等于对应中线长与对边长一半的平方差.
【例1】　（1）设向量a，b满足｜a＋b｜＝ ，｜a－b｜＝
，则a·b＝（　A　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
解析：由极化恒等式可知，a·b＝ ＝ ＝1.故选A.
√
（2）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球球O的
一条弦（球面上任意两点连成的线段为球的弦），P为正方体表面上
的动点，当弦MN的长度最大时， · 的取值范围是 .
解析：当弦MN的长度最大时，MN为球O的
直径，连接PO，如图所示，则 · ＝ －
＝ －1.因为P为正方体表面上的动点，故
PO∈[1， ]，所以 · ∈[0，2].
[0，2]
利用极化恒等式快速求解平面向量问题的高分大招
　　适用范围：①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接转化；②
不共起点和不共终点的两向量的数量积问题可通过向量的平移，等价转化
为共起点或共终点的两向量的数量积问题.在确定求数量积的两个向量共
起点的情况下，可使用如下大招：
1. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分
别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则 · ＋ · ＝ .
解析：连接EG，FH交于点O（图略），则 · ＝ － ＝1－
（ ）2＝ ， · ＝ － ＝1－（ ）2＝ ，因此 · ＋
· ＝ .

2. 已知AB是圆O的直径，AB＝2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆
O所在平面上任意一点，则（ ＋ ）· 的最小值是 .
解析：如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为
AB的中点，所以（ ＋ ）· ＝2 · ，由极化恒
等式得 · ＝ － ＝ － ，因此当P为OC
的中点，即｜ ｜＝0时，（ ＋ ）· 取得最小值
－ .
－
“奔驰定理”与三角形的四心
1. 奔驰定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC· ＋S△PAC·
＋S△PAB· ＝0.
2. “奔驰定理”与三角形的“四心”（四心在三角形内部）
（1）O是△ABC的重心 S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1 ＋
＋ ＝0；
（2）O是△ABC的内心 S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c a
＋b ＋c ＝0；
（3）O是△ABC的外心 S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝ sin 2A∶ sin 2B∶
sin 2C sin 2A· ＋ sin 2B· ＋ sin 2C· ＝0；
（4）O是△ABC的垂心 S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tan A∶tan B∶tan
C tan A· ＋tan B· ＋tan C· ＝0.
【例2】　（1）已知O，N，P在△ABC所在平面内，且｜ ｜
＝｜ ｜＝｜ ｜， ＋ ＋ ＝0，且 · ＝ ·
＝ · ，则点O，N，P依次是△ABC的（　C　）
A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心
C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心
√
解析：因为｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，所以点O为△ABC的外心，因为 ＋ ＋ ＝0，所以点N为△ABC的重心，因为 · ＝ · ＝ · ，所以点P为△ABC的垂心.故选C.
（2）已知O是△ABC内部一点，满足 ＋2 ＋m ＝0，且
＝ ，则实数m＝（　C　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
√
解析：法一　延长CO到点M（图略），使得 ＝－ ，因为
＋2 ＋m ＝0，所以－ ＝ ＋ ，即 ＝ ＋ ，所以A，B，M三点共线，又因为 与 反向共线，所以 ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ ，解得m＝4.
法二（奔驰定理法）　根据奔驰定理，由 ＋2 ＋m ＝0，所以
S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.所以 ＝ ＝ m＝4.
1. 已知P为△ABC内一点，且x ＋y ＋z ＝0（x，y，z∈R，
xyz≠0，x＋y＋z≠0），则有：
（1）S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝｜x｜∶｜y｜∶｜z｜；
（2） ＝｜ ｜， ＝｜ ｜， ＝｜
｜.
2. 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂
心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题
时，要注意观察题目有无这一条件.
1. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若 ＝
λ ＋μ ，则3λ＋6μ＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　 ＝λ ＋μ 可化为 ＋λ －λ ＋μ －
μ ＝0，整理得（1－λ） ＋（λ－μ）· ＋μ ＝0，所以
（1－λ）∶（λ－μ）∶μ＝4∶3∶2，解得λ＝ ，μ＝ ，所以3λ
＋6μ＝3× ＋6× ＝3.
√
2. 设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC＝ ，如图.若
△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为 ，x，y，求x＋y的最大值.
解：由奔驰定理得， ＋x ＋y ＝0，即 ＝2x ＋2y ，
两边平方得 ＝4x2 ＋4y2 ＋8xy｜ ｜·｜ ｜· cos
∠BPC，∵点P是△ABC的外心，∴｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，且
∠BPC＝2∠BAC＝ ，∴x2＋y2＋xy＝ ，从而（x＋y）2＝ ＋
xy≤ ＋（ ）2，解得0＜x＋y≤ ，当且仅当x＝y＝ 时取等
号，∴（x＋y）max＝ .
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1. 如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径， ＝2 ，则 ·
＝（　　）
A. － B. －
C. － D. －
解析：　由极化恒等式得 · ＝ － ＝ －1＝－ .
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√
2. 点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设 ＝
λ ＋μ ，则实数λ和μ的值分别为（　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
解析：　根据奔驰定理，得3 ＋2 ＋4 ＝0，即3 ＋2（
＋ ）＋4（ ＋ ）＝0，整理得 ＝ ＋ .故选A.
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3. 已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则 · 的最大值是
（　　）
A. B. 2
C. D.
解析：　如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化
恒等式可得 · ＝ － ＝｜ ｜2－ ，所以
当P与A（B）重合时，｜ ｜＝ 最大，从而
（ · ）max＝2.
√
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4. O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
＝ ＋λ（ ＋ ），λ∈[0，＋∞），则P的轨迹一
定通过△ABC的（　　）
A. 外心 B. 内心
C. 重心 D. 垂心
√
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解析：　∵ － ＝ ，∴ ＝λ（ ＋ ），令
＋ ＝ ，则 是以A为始点，向量 与
为邻边的菱形的对角线对应的向量，即 在∠BAC的平分线上，
∵ ＝λ ，∴ ， 共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内
心，故选B.
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5. △ABC的重心为G，AB＝6，AC＝8，BC＝2 ，则△BGC的面积为
（　　）
A. 12 B. 8
C. 4 D. 4
解析：　 cos A＝ ＝ ＝ ，又A∈（0，π），
∴A＝ ，∴S△ABC＝ ×6×8× sin ＝12 ，又G为△ABC的重心，
∴ ＋ ＋ ＝0，即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC＝1∶1∶1，∴S△BGC
＝ S△ABC＝4 .
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6. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则
·（ ＋ ）的最小值为（　　）
A. －2 B. －
C. － D. －1
√
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解析：　取BC的中点D，连接AD，PD，取AD的中点E，连接PE.
由△ABC是边长为2的等边三角形，E为中线AD的中点得AE＝ AD＝
，则 ·（ ＋ ）＝2 · ＝2（｜ ｜2－｜ ｜2）＝2
［｜ ｜2－（ ）2］≥2×（0－ ）＝－ ，当且仅当｜ ｜＝0
时，取等号，∴ ·（ ＋ ）的最小值为－ .
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7. （多选）如图，设P，Q为△ABC内的两点，且 ＝ ＋ ，
＝ ＋ ，则（　　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
√
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解析：　由 ＝ ＋ ，可得 ＋ － ＋ －
＝0，整理得 ＋ ＋ ＝0，所以2 ＋2 ＋ ＝0，
＝ ＝ .由 ＝ ＋ ，可得 ＋ － ＋
－ ＝0，整理得 ＋ ＋ ＝0，所以 ＝ ＝
， ＝ .
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8. （多选）已知在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上一定点，
满足P0B＝ AB，且对于边AB上任一点P，恒有 · ≥ · ，
则（　　）
A. · ＝ －
B. 存在点P，使｜ ｜＜｜ ｜
C. · ＝0
D. AC＝BC
√
√
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解析：　如图所示，取BC的中点D，连接PD，根
据向量的极化恒等式，有 · ＝ － ，
· ＝ － .又 · ≥ · ，所
以｜ ｜≥｜ ｜，A正确，B错误；由点P为边AB
上任意一点知，点D到边AB上点的距离的最小值为｜
｜，从而DP0⊥AB，所以 · ≠0，C错误；取
AB的中点E，连接CE，则由P0B＝ AB知，
CE∥DP0，故CE⊥AB，于是AC＝BC，D正确.
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9. △ABC的内切圆圆心为O，半径为2，且S△ABC＝14，2 ＋2 ＋
3 ＝0，则△ABC的外接圆面积为 .
解析：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.∵2 ＋
2 ＋3 ＝0，且O为内心，∴a∶b∶c＝2∶2∶3，令a＝2k，则b
＝2k，c＝3k，设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，又S△ABC
＝ （a＋b＋c）·r，∴ ×7k×2＝14，解得k＝2，∴a＝4，b＝4，
c＝6，∴ cos C＝－ ， sin C＝ ，又2R＝ ＝ R＝ ＝
，∴外接圆面积S＝πR2＝ .

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10. 已知点P，Q在△ABC内， ＋2 ＋3 ＝2 ＋3 ＋5 ＝
0，则 ＝ 　 　.

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解析：根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，
S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝ S△ABC，
∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝ S△ABC，S△QBC＝ S△ABC，∴ ＝
－ ＝ .
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