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　函数与导数
1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.
[检验1]　函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A.[－2，0)∪(0，2] B.[0，2]
C.[－2，2] D.(0，2]
答案　D
2.求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等.用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题.
[检验2]　已知f()＝x＋2，则f(x)＝________.
答案　x2＋2x(x≥0)
3.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.
[检验3]　已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a的值为(　　)
A.0或1 B.－1或1
C.0或－2 D.－2或－1
答案　D
解析　当x≤0时，函数单调递增，有f(x)≤f(0)＝2；
当x>0时，x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号，
故f(x)≥f(1)＝2，f(0)＝f(1)＝2.
令f(a)＝t，则f(t)＝2，因此t＝0或t＝1.
当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，
由a＋2＝0得a＝－2；
当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，
由a＋2＝1得a＝－1.
综上，a＝－2或a＝－1，故选D.
4.函数的奇偶性
若f(x)的定义域关于原点对称，则
f(x)是偶函数 f(－x)＝f(x)＝f(|x|);
f(x)是奇函数 f(－x)＝－f(x).
定义域含0的奇函数满足f(0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，若其定义域关于原点对称，再找f(x)与f(－x)的关系.
[检验4]　(1)若f(x)＝2x＋2－xlg a是奇函数，则实数a＝________.
(2)已知f(x)为偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f(lg x)＞f(1)，则x的取值范围是________.
答案　(1)　(2)
5.函数的周期性
由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a≠0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：
①若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(x)(a≠0)，则f(x)是周期T＝2a的周期函数；
②若f(x＋a)＝(a≠0)恒成立，则T＝2a；
③若f(x＋a)＝－(a≠0)恒成立，则T＝2a.
[检验5]　若定义域为R的奇函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(3)＝2，则f(4)＋f(2 023)＝(　　)
A.2 B.1
C.0 D.－2
答案　A
解析　由f(x)是定义域为R的奇函数，
得f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)；
由f(1－x)＝f(1＋x)，得f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝f(x)，
所以f(4)＝f(0)＝0，f(2 023)＝f(3)＝2.
所以f(4)＋f(2 023)＝0＋2＝2.
6.函数的单调性
(1)定义法：设任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 ＞0 f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 ＜0 f(x)在[a，b]上是减函数.
(2)导数法：注意f ′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，∴f ′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件.(3)复合函数由同增异减的判定法则来判定.
(4)求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.
[检验6]　(1)函数f(x)＝的单调减区间为________.
(2)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)(－∞，0)，(0，＋∞)　(2)D
7.求函数最值(值域)常用的方法
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；
(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；
(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；
(4)导数法：适合于可导函数；
(5)换元法(特别注意新元的范围)；
(6)分离常数法：适合于一次分式；
(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子.
无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域.
[检验7]　函数y＝的值域为________.
答案　(0，1)
8.函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”.
(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|).
(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；
②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称.
[检验8]　(1)函数y＝的图象关于点________对称.
(2)函数f(x)＝|lg x|的单调递减区间为________.
答案　(1)(－2，3)　(2)(0，1]
9.二次函数问题
(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.
(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数，Δ与0的关系，对称轴与区间的关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图.尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.
[检验9]　关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根的充要条件是________.
答案　a∈
10.指数与对数的运算性质
(1)指数运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r，s∈Q).
(2)对数运算性质：已知a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN，
loga＝logaM－logaN，logaMn＝nlogaM，
对数换底公式：logaN＝.
推论：logamNn＝logaN；logab＝.
[检验10]　设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　)
A. B.10
C.20 D.100
答案　A11.指数函数与对数函数的图象与性质
可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，0).
[检验11]　(1)已知a＝log32，b＝log23，c＝20.3，则(　　)
A.aC.b答案　A
解析　由题意，0＝log31即0所以＝log22 1＝20<20.3<20.5＝，即1所以a(2)已知f(x)＝logax＋b的图象如图所示，那么g(x)＝ax＋b的图象可能为(　　)
答案　B
解析　因为y＝logax的图象过定点(1，0)，当a>1时，y＝logax在定义域上单调递增，且f(x)＝logax＋b在定义域上单调递增，f(x)＝logax＋b的图象是由y＝logax的图象向下平移(－b)个单位长度得到的，所以a>1，1<－b<2.
当a>1时，y＝ax 为增函数，其图象过定点(0，1).
g(x)＝ax＋b的图象是由y＝ax的图象向下平移(－b)个单位长度得到的，观察选项知，只有B满足题意，故选B.
12.函数与方程
(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根.
(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根；反之不成立.
[检验12]　函数f(x)＝x3＋x－4的零点所在的区间为(　　)
A.(－1，0) B.(0，1)
C.(1，2) D.(2，3)
答案　C
解析　因为f(－1)＝－1－1－4＝－6<0，f(0)＝0＋0－4＝－4<0，f(1)＝1＋1－4＝－2<0，f(2)＝8＋2－4＝6>0，
所以f(1)·f(2)<0，又f(x)在R上单调递增，所以函数f(x)的零点所在的区间为(1，2)，故选C.
13.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).
注意　过某点的切线不一定只有一条.
[检验13]　已知函数f(x)＝ex＋2x，过点(1，2)作曲线y＝f(x)的切线，则切线方程为________.
答案　(e2＋2)x－y－e2＝0
解析　把x＝1代入f(x)＝ex＋2x得f(1)＝e1＋2≠2，点(1，2)不在曲线y＝f(x)上.
设切点为(x0，y0)，因为f(x)＝ex＋2x，
所以f′(x)＝ex＋2，则所求切线的斜率k＝ex0＋2，又k＝，所以e x0＋2＝.
因为y0＝e x0＋2x0，所以x0＝2，y0＝e2＋4.
故所求的切线方程为
y－(e2＋4)＝(e2＋2)(x－2)，
即(e2＋2)x－y－e2＝0.
14.几个常用的基本初等函数的导数公式
(1)(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x.
(2)(ln x)′＝(x>0)，
(logax)′＝(x>0，a>0，且a≠1).
(3)(ex)′＝ex，(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1).
[检验14]　已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝______；已知f(x)＝，则f′(x)＝________.
答案　ln x＋1　
15.利用导数判断函数的单调性
设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)＜0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数.
注意　如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0，增函数亦如此.
[检验15]　已知f(x)＝ln x＋ax在g(x)＝x2－2x＋b的单调递增区间上也单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1] B.[0，＋∞)
C.(－∞，0] D.(－1，0]
答案　B
解析　g(x)＝x2－2x＋b的单调递增区间为[1，＋∞)，依题意得，f(x)在[1，＋∞)上也单调递增，则f′(x)＝＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－在[1，＋∞)上恒成立，令m(x)＝－(x≥1)，则m(x)在[1，＋∞)上单调递增，又当x→＋∞时，m(x)→0且m(x)<0，所以当x∈[1，＋∞)时，－∈[－1，0)，所以a≥0，故选B.
16.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点.
[检验16]　函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是(　　)
A.2 B.1
C.0 D.由a确定
答案　C
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