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　三角函数、解三角形
1.(1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上) α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.
(2)任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝＞0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，三角函数值只与角的终边位置有关，而与终边上点P的位置无关.
[检验1]　已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________.
答案　－
2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：
tan α＝.
(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限
－α π－α π＋α 2π－α －α ＋α
sin －sin α sin α －sin α －sin α cos α cos α
cos cos α －cos α －cos α cos α sin α －sin α
[检验2]　已知sin＝，则sin α的值为(　　)
A. B.－
C.或－ D.
答案　C
3.三角函数的图象与性质
(1)五点法作图；
(2)对称轴：y＝sin x，x＝kπ＋，k∈Z；
y＝cos x，x＝kπ，k∈Z；
对称中心：y＝sin x，(kπ，0)，k∈Z；y＝cos x，，k∈Z；y＝tan x，，k∈Z.
(3)单调区间：
y＝sin x的增区间为
(k∈Z)，
减区间为(k∈Z)；
y＝cos x的增区间为(k∈Z)，
减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；
y＝tan x的增区间为(k∈Z).
(4)周期性与奇偶性：
y＝sin x是最小正周期为2π的奇函数；
y＝cos x 是最小正周期为2π的偶函数；
y＝tan x是最小正周期为π的奇函数.
注意　求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误：
(1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右端点的值弄反；
(2)忘掉写＋2kπ或＋kπ等，忘掉写k∈Z；
(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起，如[0，90°]应写为.
[检验3]　(1)把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　)
A.x＝－ B.x＝－
C.x＝ D.x＝
(2)函数y＝sin的单调递减区间是________.
答案　(1)A　(2)(k∈Z)
4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
sin(α±β)＝sin αcosβ±cos αsin β
sin 2α＝2sin αcos α.
cos(α±β)＝cos αcos β sin αsin β
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan(α±β)＝.
cos2α＝，sin2α＝，
tan 2α＝.
[检验4]　(1)若θ为锐角，cos＝－，则tan θ＋＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　法一　因为cos＝cos θcos －sin θsin ＝(cos θ－sin θ)＝－，
所以cos θ－sin θ＝－.①
又②
所以由①②可得sin θ＝，cos θ＝，
所以tan θ＝＝，
所以tan θ＋＝＋＝.
法二　因为cos＝cos θcos －sin θsin
＝(cos θ－sin θ)＝－，
所以cos θ－sin θ＝－，两边平方，
整理得1－2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝，所以tan θ＋＝＋＝＝＝.
(2)已知sin＋cos α＝，则
sin＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案　D
解析　因为sin＋cos α＝sin α－cos α＋cos α＝sin α＋cos α
＝sin＝，
所以sin＝－cos
＝－cos＝2sin2－1
＝2×－1＝－.5.在三角恒等变换中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：
α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；
α＝[(α＋β)＋(α－β)]；
α＋＝(α＋β)－，α＝－.
[检验5]　已知tan＝，则tan α＝________.
答案　
解析　法一　因为tan＝，
所以＝，即＝，
解得tan α＝.
法二　因为tan＝，所以tan α＝tan＝
＝＝.
6.解三角形
(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(ⅱ)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(ⅲ)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；②已知三角形两边及一边的对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍.
(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，cos A＝等，常选用余弦定理判定三角形的形状.
[检验6]　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b∶a＝∶，B＝，则sin A＋cos A＝________.
答案　
解析　因为b∶a＝∶＝sin ∶sin A，
所以sin A＝，所以cos A＝±.
故sin A＋cos A＝.
(2)平面四边形ABCD中，BC⊥CD，B＝，AB＝3，AD＝2，若AC＝3，则CD＝________.
答案　1或5
解析　记∠ACB＝α，∠ACD＝β，则α＋β＝，在△ABC中，由正弦定理＝，得sin α＝，∴cos β＝sin α＝.在△ACD中，由余弦定理得cos β＝＝，解得CD＝1或CD＝5.
7.有关三角形的常见结论
(1)面积公式S△ABC＝absin C＝bcsin A＝casin B.
(2)三个等价关系：△ABC中，a，b，c分别为A，B，C对边，则a＞b sin A＞sin B A＞B.
[检验7]　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A.3 B.
C. D.3
答案　C
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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