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难点
重点
1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式.
2.理解并掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中所含字母的取值范围.
1.理解二次根式的概念.2.掌握二次根式有意义的条件
会利用二次根式的非负性解决相关问题.
思考 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特点？
(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形 的面积之和，则大正方形的边长为_____ _．
(1)一个长方形的围栏，若长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m．
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_____．

（1）这些式子分别表示什么意义？


（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫作二次根式.二次根式也是代数式.
注意：a可以是数，也可以是式.
中一般把根的指数2省略，写成
解读
被开方数可以是非负数或单项式、多项式、分式等
两个要素
①形式上含有“ ”
②被开方数a ≥ 0
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零. (3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
分析
例1
练习
1．下列式子一定是二次根式的是( )
A. B. 　 C. 　 D.
2．下列式子不一定是二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
C
A
3. 下列式子： 中，一定是二次根 式的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
C
4. 要画一个面积为 18 cm2的长方形，使它的长与宽之比为3 : 2，它的长、宽各应取多少？
解：设长方形的长、宽分别为3x cm，2x cm，
由题意得2x×3x＝18，
解得x ＝ (负值舍去)．
答：长方形的长、宽应分别取3 cm和2 cm.
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立，
即： 有意义 a≥0.
2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立，
即： 无意义 a＜0.
解读
式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 为二次根式的前提条件.
例2
当x满足什么条件时, 在实数范围内有意义
解：由 x-2 ≥ 0，得 x ≥ 2.
当x ≥ 2时， 在实数范围内有意义.
解：（1）由题意得x－1＞0，
∴ x＞1.
（2）∵被开方数需大于或等于零，∴x+3≥0，∴x≥－3.
∵分母不能等于零，∴x－1≠0，∴x≠1.
∴x≥－3 且x≠1.
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.
练习
1.x取何值时,下列二次根式有意义
2.已知a，b为实数，且满足
你能求出a及 a+b 的值吗？
解:依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0,所以b= ,把b= 代
代入原式，得a=1,所以a+b=1+ =
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. 对于任意一个二次根式，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a ≥ 0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥ 0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
例3
若 ，则x-y 的值为 ( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7
C
分析 根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．因为 + (y+3)2=0都是非负数，它们的和为0，所以(y+3)2=0， ，所以y+3=0，x+y-1=0，解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故选C．
1．若 ，则xy＝________.
2．实数a，b满足 ＋4a2＋4ab＋b2＝0，则ba的值为(　　)
A．2 B. C．－2 D．－
练习
B
9
1.已知一个正方形的面积是3，那么它的边长是 .
2.使 有意义的x的取值范围是 .
3.当a=3时， 的值是 .
x≥－3
4.下列各式中一定是二次根式的是（ ）
B
1
5．已知实数x，y满足|x－4|＋ ＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 (　　)
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
B
4.要使式子 有意义，a的取值范围是（ ）
A. a≠ 0 B. a＞-2且a≠ 0 C. a＞-2或a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0
C
6.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？



在有意义条件下求字母的取值范围
定义
带有二次根号
被开方数必须为非负数
被开方数为非负数（a≥0)
二次根式的双重非负性
二次根式 中,a≥0且 ≥0

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