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难点
重点
1.探索并证明平行四边形的判定定理.
2.能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明.
探索并证明平行四边形的判定定理.
能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明.
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分.
问题二 平行四边形具有哪些性质？
问题一 平行四边形的定义是什么？
定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
问题二 我们得到的这些逆命题都成立吗？
平行四边形的对角线互相平分。
问题一 你能说出上述三条性质的逆命题吗？
逆命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
逆命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
逆命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．　　
　 证明：∵　OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，
∴ △AOB≌△COD．
∴ ∠OAB=∠OCD．
∴ AB∥CD．
同理AD∥BC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
证一证
　　证明：如图，连接BD．
∵　AB=CD，AD=BC，BD是公共边，
∴　△ABD≌△CDB．
∴　∠1=∠2，∠3=∠4．
∴　AB∥DC，AD∥BC．
∴　四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．　　
D
A
B
C
1
2
3
4
证一证
D
A
B
C
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．　　
证一证
　　证明：∵　多边形ABCD是四边形，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°．
∴AD∥BC，AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C∠B=∠D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
例1 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC 上的两点，并且 AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO.
∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.
又BO=DO，∴四边形BFDE是平行四边形.
如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
练习
解：四边形BFDE是平行四边形．
理由：在 ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∠CDF＝∠ADF＝ ∠ADC，
∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE.
∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形．
我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形，如果只考虑四边形的一组对边，他们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
思 考
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等。反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
思 考
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证一证
证明：如图，连接AC.
∵AB∥CD，∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
1
2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形.
思 考
　　例2　如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：DE BF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB CD，EB∥FD.
又EB= AB，FD= CD，
∴EB DF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
∴DE BF.
练习
如图，在四边形ABCD中，对角线 AC,BD 相交于点 O，OA=OC. BA⊥AC，DC⊥AC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
C
D
B
┐
┐
O
证明：∵ BA⊥AC，DC⊥AC，∴∠BAC=∠DCA=90 ，
∴ AB//CD.
∵∠BAC=∠DCA，OA=OC，∠AOB=∠COD,
∴ △AOB≌△COD,
∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
平行四边形的5种判定方法
1.不能判定四边形ABCD为□的条件是( )
A.AD∥BC，AD=BC B.∠A=∠C，∠B=∠D
C.AB=CD，AD=BC D.AB∥CD，AD=BC
D
　　2.如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．求证：AB∥EF．
　　证明：∵　AB=DC，AD=BC，
∴　四边形ABCD是平行四边形．
∴　AB∥DC．
又∵　DC=EF，DE=CF，
∴　四边形DCFE也是平行四边形．
∴　DC∥EF．
∴　AB∥EF．
3.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.求证：BE=DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=OB，AO=OC，
又E，F分别是OA，OC的中点，
∴EO=FO，
在△DOF与△BOE中，
DO=BO，∠DOF=∠BOE，FO=EO，
∴△DOF≌△BOE，
∴BE=DF.
4.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了，你能说出其中的道理吗？
解：由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知，两条直铺的铁轨互相平行.
5.如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，
又∠AED=∠CFB=90°，
∴△AED≌△CFB，
∴AE=CF.
又∵∠AEF=∠CFE=90°，
∴ AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形.

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