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难点
重点
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．
会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
问题1 什么是菱形？
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
（1）菱形是轴对称图形；
（2）菱形的四条边都相等.
（3） 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条
对角线平分一组对角.
问题2 菱形有哪些性质？
根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？
平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,
猜想：对角线垂直的平行四边形是菱形.
下面我们一起证明这个结论.
想一想
A
B
C
O
D
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC.
又AC⊥BD,
∴直线BD是线段AC的垂直平分线，
∴BA=BC，∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
证一证
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
O
D
∵四边形ABCD是平行四边形（如图），
又∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
几何语言：
例1
如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，∴∠1＝∠2.
又∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF.∴EO＝FO.
∴四边形AFCE是平行四边形，
又AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形.
A
B
C
O
D
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB= ，OA=2，OB=1. 求证：□ ABCD是菱形.
证明：在△AOB中,
∵AB= ， OA=2，OB=1，
∴AB2=AO2+OB2.
∴ △AOB是直角三角形，∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).
练 习
我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
思 考
证一证
已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB=BC，
∴□ABCD是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
∵AB=BC=CD=DA（如图），
∴四边形ABCD是菱形(四边相等的四边形为菱形).
A
B
C
D
几何语言：
例2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10 cm，
DF＝AC.
例2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10 cm，
∴四边形ACFD是菱形．
四边形
四条边都相等
判定
条件
对角线互相垂直
一组邻边相等
菱形
平行四边形
1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ 　 ）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
B
2.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是(　　)
A. ∠BAC＝90°
B. ∠DAE＝90°
C. AB＝AC
D. AB＝AE
A
3.判断：
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形. （ ）
（2）对角线垂直且平分的四边形是菱形 . （ ）
（3）对角线互相平分的平行四边形是菱形. （ ）
（4）一组邻边相等的四边形是菱形. （ ）
（5）有一条对角线平分一组对角的四边形
是菱形. （ ）
×
×
×
√
√
A
B
C
O
D
4.如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式1： .
添加方式2： .
AC⊥BD
AB=BC
5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝8，DB＝6，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：在平行四边形ABCD中，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴ ，
∵32+42＝52，
∴OD 2+OA 2＝AD 2，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵∠1＝∠2，
∴∠AED＝∠CFB，
在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF；
证明：（2）∵∠1＝∠2，
∴DE∥BF．
由（1）知，△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又BE＝ED，
∴平行四边形EBFD是菱形．
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形．
7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，F在DE上，且AF＝CE＝AE，试探索当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？
解：当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．
理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠EAC＝60°，
∵ED垂直平分BC，∴EB＝EC，∠BDE＝90°，
∴∠BED＝60°，∠B＝∠ECD＝30°，
∴∠FEA＝60°，∠ECA＝60°，
∵AF＝CE＝AE，∴△AEF是等边三角形，△EAC是等边三角形，
∴AF＝EF＝EC＝CA，
∴四边形ACEF是菱形．

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