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难点
重点
1.经历矩形判定定理的探索过程，理解并掌握矩形的判定方
法.
2.能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.
经历矩形判定定理的探索过程，理解并掌握矩形的判定方法.
能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.
如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
α
α
α
思 考
问题1 随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
猜想：当∠α= 90°时，平行四边形是矩形.
问题2 当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想：当两条对角线相等时，平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
如图，在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
D
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = DC,AB ∥ DC，
∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
又∵BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB .
∴∠ABC = ∠DCB = 90°.
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
已知：如图，在□ABCD中，AC ，DB是它的两条对角线， AC=DB. 求证：□ABCD是矩形.
A
B
D
C
证一证
前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
思 考
A
B
C
D
定理 有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
如图，在四边形ABCD中，
∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证一证
A
B
D
C
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA= OC，OB = OD.
又∵△ABO是等边三角形，
∴OA= OB=AB= 4，∴OA= OB=OC = OD= 4.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
A
B
D
C
O
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB 2 + BC 2 =AC 2 ,
∴BC= .
∴S□ABCD=AB·BC=4× = .
如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度数.
练 习
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF+∠ADF= ∠BAD+ ∠ADC= （∠BAD+∠ADC）=90°，∴∠F=90°.
同理∠H=∠AEB=90°，∴∠FEH=∠AEB=90°,
∴四边形EFGH是矩形.
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD ， EC.
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形.
证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠ACB.
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴∠B=∠EDC，AB=DE，
∴∠ACB=∠EDC，∴△ADC≌△ECD.
A
D
C
E
B
练 习
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD ， EC.
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形.
A
D
C
E
B
(2)∵AB=AC,BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°.
∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE平行且等于BD，
即AE平行且等于DC，∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
练 习
矩形的判定方法 几何语言 图形
定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，
∴ 四边形ABCD是矩形.
定理 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形
定理 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
A
B
D
C
A
B
D
C
C
1.如图,直线EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C两点,AB,CB,CD,AD分别是∠EAC, ∠MCA, ∠ ACN,∠CAF的角平分线,则四边形ABCD是（ ）
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(　　)
A．AB＝CD　　　
B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
D
3.下列命题是真命题的是（ ）
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.有三个角是直角的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的四边形是矩形
C
4. 如图，在△ABC中，AD 为 BC 边上的中线，延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE，CE.
（1）试判断四边形 ABEC 的形状;
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？
解:（1）四边形 ABEC 是平行四边形．
（2）当△ABC 满足∠BAC＝90°时,四边形 ABEC 是矩形．
A
B
C
E
D
5.已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是 AD 边的中点，且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：在□ ABCD 中，AB = CD，
∵M 是 AD 边的中点，∴MA = MD，且 MB = MC，
即△ABM≌△DCM，∴∠A =∠D.
又∵∠A +∠D = 180°，
∴∠A =∠D = 90°，∴四边形ABCD是矩形.
A
B
D
C
M
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM,
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°.
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°,
∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角
的四边形是矩形）．

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