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难点
重点
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形
之间的联系和区别.
理解正方形的概念.
探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形
之间的联系和区别.
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.
正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
正方形是轴对称图形，有4条对称轴.
思 考
思 考
正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方形？
把它们写出来，并和同学们交流一下。
正方形的四个角都是直角；
正方形的四条边都相等；
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
例1
求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于O.
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，
OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们讨论一下.
思 考
菱
形
正方形
平行四边形
矩形
正方形
例2
如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH是正方形.
已知：如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CG=DH.
求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH，
∴EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
例2
如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH是正方形.
已知：如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CG=DH.
求证：四边形EFGH是正方形.
∴HE=EF=FG=GH，
∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE，
∴∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°，
∴∠HEF=180°-（∠1+∠3）=90°.
∴四边形EFGH是正方形.
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
1.（1）把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？
解：由折叠可知：
∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
又AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
（2）如果是一个长方形木板，如何从中裁出一个最大的正方形木板呢？
解：在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短的一条边长，即可得到最大的正方形木板。
2.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.（ ）
（2）对角线互相垂直的矩形.（ ）
（3）对角线相等的菱形.（ ）
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.（ ）
是
是
是
是
3.如图，四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？

4.如图，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上， 且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.
∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°.
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°.
∴△AEB≌△AFD(AAS).∴AB＝AD.
∴矩形ABCD是正方形．

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