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难点
重点
1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）的关系.
2.会根据一次函数图象求解一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）.
理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）的关系.
会根据一次函数图象求解一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）.
思考1
下面 3 个方程有什么共同点和不同点？
(1) 2x+1=3； (2) 2x+1=0； (3) 2x+1=-1.
相同点：等号左边都是 2x+1.
不同点：等号右边不同.
思考1
能从函数的角度对解这 3 个方程进行解释吗？
(1) 2x+1=3； (2) 2x+1=0； (3) 2x+1=-1.
这三个方程相当于在一次函数 y=2x+1 的函数值分别为 3，0，-1 时，求自变量 x 的值.
也可以看成在直线 y=2x+1 上取纵坐标分别为 3，0，-1 的点，看它们的横坐标分别为多少.
y=2x+1
P
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程,从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时，求自变量x的值；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与x轴的交点的横坐标.
例1 一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则方程 kx+b=1
的解为（ ）

C
函数 y=kx+b (k≠0) 的图象与直线 y=1 的交点的横坐标.
例2 已知一元一次方程 ax+b=0 的解为 x=4，则一次函数 y=ax+b的图象与 x 轴的交点坐标为 .
解：∵ 一元一次方程 ax+b=0 的解为 x=4,
∴ 当 x=4 时，一次函数 y=ax+b 的函数值为 0,
∴ 一次函数图象与 x 轴的交点坐标为（4，0）.
（4，0）
思考2
下面 3 个不等式有什么共同点和不同点？
3x+2>2
3x+2<0
3x+2<-1
相同点：不等号左边都是 3x+2.
不同点：不等号及不等号右边不同.
思考2
能从函数的角度对解这 3 个不等式进行解释吗？
3x+2>2
3x+2<0
3x+2<-1
从函数的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别满足大于2、小于0、小于-1的点时，求自变量x的取值范围.
对于可化为ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围;从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.
例3 根据下列一次函数的图象，直接写出一元一次不等式的解集.
x>-2
x<-2
y
x
O
1
-2

问题3
1号探测气球从海拔5 m处出发，以1 m/min 的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15米处出发,以0.5 m/min的速度上升.两个气球都上升了1 h.
用式子分别表示两个气球所在位置的海拔(单位:m)关于上升时间(单位:min)的函数关系;
分析: (1) 气球上升时间满足0≤x≤60.
1号气球的函数解析式为y=x+5;
2号气球的函数解析式为 y=0.5x+15.
(2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度 如果能，这时气球上升了多长时间 位于什么高度
分析：(2) 在某个时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值(0 ≤ x≤60) ，函数y= x+5和y=0.5x+15有相同的值y .如能求出x和y，则问题得到解决.由此容易想到解二元一次方程组
y=x +5，
y=0.5x+15，
x-y=-5 ，
0.5x-y=-15 ，
解得
x=20 ，
y=25.
即当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度.
即
你能用一次函数图象解释上述问题吗？
思 考
能，如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数y=x +5和y=0.5x+15的图象，这两条直线的交点坐标为（20,25）.
发现这个交点坐标和上述二元一次方程组的解一致，也能说明当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度.
y
x
O
40
P(20, 25)
20
60
25
50
y=x +5
y=0.5x+15
由于每个含有未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x ，y)都是这个二元一次方程的解.
由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应着两条直线.
从“数”的角度看：解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；
从“形”的角度看：解二元一次方程组，相当于确定两条直线的交点坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
例4 考虑下面两种移动电话计费方式：
方式一 方式二
月租费/(元/月) 30 0
本地通话费/(元/min) 0.30 0.40
用函数方法解答何时两种计费方式费用相等.
解：设通话时间为x分.
若按“方式一”计费方式，则收取费用y=30+0.3x；
若按“方式二”计费方式收取费用，则收取费用y=0.4x.
在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象，如下图：
解方程组：
y=30+0.3x，
y=0.4x，
所以两图象交于点(300，120)，
当x=300时，30+0.3x=0.4x，
即当一个月内通话时间等于300分钟时，选择两种计费方式费用相等.
得：
x=300，
y=120，
1.已知一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点坐标为
（-3，0），则一元一次方程 kx+b=0 的解为 .
解：∵ 一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点坐标为（-3，0），
∴ 当 x=-3 时，一次函数 y=kx+b 的函数值为0，
∴ x=-3 为kx+b=0 的解.
x=-3
2.已知直线y=ax-b的图象如图所示，则关于x的方程ax-b=0的解为x= ，当x＝0时，y＝ .
2
-1
3.在直角坐标系中，直线y=kx+3(k≠0)过点(2，2)，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+3≤0的解集.
解：∵直线y=kx+3(k≠0)过点(2，2)，
∴2k+3=2，解得k= .
∴函数的解析式为y= x+3.
∴当y=0时， x+3=0，解得x=6，则A(6，0)
∴不等式kx+3≤0的解集为x≥6.
4.如果二元一次方程组 的解是
x+2y=1,
3x-2y=3
那么它是哪两个一次函数图象的交点坐标，求出交点坐标？
x=1,
y=0.
两个一次函数的交点坐标，交点坐标为（1，0）.
5. l1和l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用 y (元)
与照明时间 x (h)的函数图象，假设两种灯的使用寿命
都是 2 000 h，照明效果一样.
（1）根据图象分别求出l1和l2 的
函数解析式；
（2）当照明时间为多少时，两
种灯的费用一样.
则有 解得
b1=2，
17=500k1+b1，

b1=2
（1）根据图象分别求出l1和l2 的函数解析式；
解：（1）由图可知： l1 经过点（0，2）和（500，17）；l2 经过点（0，20）和（500，26）.
则有 解得
b2=20，
26=500k2+b2，

b2=20.
（1）根据图象分别求出l1和l2 的函数解析式；
（2）由图可知，当l1 和 l2 相交时，照明时间和费用都相同，此时的照明时间即为交点的横坐标.
则有 解得


x=1 000,
y=32.
当照明时间为1 000 h时，费用一样.
（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用一样.
1.解一元一次方程：相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时，求自变量x的值.
2.解一元一次不等式：相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围.
3.解二元一次方程组：从“数”的角度看相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少； 从“形”的角度看相当于确定两条直线的交点坐标.

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