资源简介

微专题14　空间向量与空间角
异面直线所成的角
【例1】　如图，已知O是圆柱下底面圆的圆心，AA1为圆柱的一条母线，B为圆柱下底面圆周上一点，OA＝1，∠AOB＝，△AA1B为等腰直角三角形，则异面直线A1O与AB所成角的余弦值为(　　)
A．　 B．　
C．　 D．
C　[法一：如图，过点B作BB1∥AA1交圆柱的上底面于点B1，连接A1B1，B1O，
则由圆柱的性质易知四边形A1B1BA为矩形，所以A1B1∥AB，
所以∠B1A1O或其补角即为异面直线A1O与AB所成的角，
在△AOB中，OA＝OB＝1，∠AOB＝，
所以AB＝2OB·sin ＝，
因为△AA1B为等腰直角三角形，且AA1⊥AB，所以A1A＝AB＝，
所以B1O＝A1O＝＝2，又A1B1＝AB＝，
所以cos∠B1A1O＝＝＝(另解：在△B1A1O中，B1O＝A1O＝2，A1B1＝AB＝，所以cos∠B1A1O＝＝)，
即异面直线A1O与AB所成角的余弦值为．
法二：以O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为OA＝1，∠AOB＝，
所以A(0，1，0)，B，所以＝，
因为△AA1B为等腰直角三角形，且AA1⊥AB，所以A1A＝AB＝，
则A1(0，1，)，＝(0，1，)，
所以|cos<，>|＝＝＝，故异面直线A1O与AB所成角的余弦值为．
法三：在△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB＝，
所以AB＝2OB·sin＝，∠OAB＝，
因为△AA1B为等腰直角三角形，且AA1⊥AB，所以AA1＝AB＝，
易知AA1⊥AO，所以A1O＝＝2，·＝0，·＝0，
所以·＝(－)·＝·－·＝||·||cos ＝，
所以cos<，>＝＝＝，则异面直线A1O与AB所成角的余弦值为．]
【规律方法】　求异面直线所成角的方法
(1)几何法：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角．
(2)向量法：①求出直线a，b的方向向量，分别记为m，n；②计算cos＝；③利用cos θ＝|cos|，以及θ∈，求出角θ．
【跟踪训练1】
(2024·四川成都模拟)如图，等边三角形ABC的边长为3，DE⊥AB，分别交AB，AC于D，E两点，且AD＝1，将△ADE沿DE折起(点A与P重合)，使得平面PDE⊥平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
D　[由题意可知DB，DE，DP两两垂直，以D为原点，以DB，DE，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
由已知得DE＝，点C到直线BD的距离为，
则P(0，0，1)，B(2，0，0)，C，E(0，，0)，
从而＝(2，0，－1)，＝．
故|cos<，>|＝＝＝，
sin<，>＝，即异面直线PB，CE所成角的正弦值为．]
直线与平面所成的角
【例2】　(2024·天津模拟)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，下底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝2A1B1＝2，BC＝8，AA1＝4，DD1⊥CD，M为BC的中点．
(1)求证：平面CDD1C1⊥平面D1DM；
(2)若DD1＝4，求直线DM与平面BCC1B1所成角的正弦值．
[解]　(1)证明：在△DCM中，CD＝2，CM＝4，∠DCM＝60°，
由余弦定理可得DM＝＝2，
所以DM2＋CD2＝CM2，所以DM⊥CD．
又CD⊥DD1，且DD1∩DM＝D，DD1，DM 平面D1DM，所以CD⊥平面D1DM，因为CD 平面CDD1C1，
所以平面CDD1C1⊥平面D1DM．
(2)因为AB＝2A1B1，所以AD＝2A1D1＝8，得A1D1＝4．
在梯形ADD1A1中，AD＝8，DD1＝4，
如图，过点A1作A1E∥DD1，A1E交AD于点E，则AE＝4，A1E＝4，又AA1＝4，所以AE2＋A1E2＝A，得A1E⊥AD，即DD1⊥AD，又DD1⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD 平面ABCD．
所以DD1⊥平面ABCD．
以D为坐标原点，DM，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，1，4)，
M(2，0，0)，＝(－2，2，0)，＝(0，－1，4)，＝(2，0，0)．
设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝12，可得n＝(4，12，3)．
设直线DM与平面BCC1B1所成的角为θ，
则sin θ＝|cos<，n>|＝＝＝，
即直线DM与平面BCC1B1所成角的正弦值为．
【规律方法】　利用向量法求直线与平面所成角的步骤
【跟踪训练2】
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是矩形，AC⊥DB1，AA1＝AB＝2，点P是棱DD1上的一点，且DP＝2PD1．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)求直线AD1与平面PAC所成角的正弦值．
[解]　(1)证明：连接BD，由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1知，B1B⊥平面ABCD，因为AC 平面ABCD，所以B1B⊥AC，又因为AC⊥DB1，DB1∩B1B＝B1，DB1 平面DBB1，BB1 平面DBB1，所以AC⊥平面DBB1，又BD 平面DBB1，所以AC⊥BD，因为四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD，所以四边形ABCD是正方形．
(2)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(，0，0)，C(0，，0)，D1(0，0，2)，P，
所以＝，
＝，
＝(－，0，2)，
设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，
则由n⊥，n⊥，可得令z＝3，可得x＝y＝2，
故平面PAC的一个法向量为n＝(2，2，3)，
设直线AD1与平面PAC所成角的大小为θ，所以sin θ＝|cos|＝
＝
＝，即直线AD1与平面PAC所成角的正弦值为．
平面与平面的夹角
【例3】　(2024·全国甲卷改编)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝，FB＝2，M为AD的中点．
(1)证明：BM∥平面CDE；
(2)求平面BFM与平面EMB夹角的正弦值．
[解]　(1)证明：因为BC∥AD，BC＝2，AD＝4，M为AD的中点，所以BC∥MD，BC＝MD，
所以四边形BCDM为平行四边形，所以BM∥CD，
又因为BM 平面CDE，CD 平面CDE，所以BM∥平面CDE．
(2)如图所示，过点B作BO⊥AD交AD于点O，连接OF，
因为四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，AD＝4，AB＝BC＝2，所以CD＝2，
结合(1)四边形BCDM为平行四边形，可得BM＝CD＝2，又AM＝2，
所以△ABM为等边三角形，O为AM的中点，所以OB＝．
又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为AD的中点，所以EF＝MD，EF∥MD，
四边形EFMD为平行四边形，FM＝ED＝AF，
所以△AFM为等腰三角形，△ABM与△AFM底边上中点O重合，OF⊥AM，OF＝＝3．
又因为BF＝2，则OB2＋OF2＝BF2，所以OB⊥OF，所以OB，OD，OF互相垂直，
以为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则F(0，0，3)，B(，0，0)，M(0，1，0)，
E(0，2，3)，＝(－，1，0)，＝(－，0，3)，＝(－，2，3)，设平面BFM的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
令x1＝，得y1＝3，z1＝1，即m＝(，3，1)是平面BFM的一个法向量，
设平面EMB的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则即
令x2＝，得y2＝3，z2＝－1，
即n＝(，3，－1)是平面EMB的一个法向量，则cos＝＝＝，则sin＝，
故平面BFM与平面EMB夹角的正弦值为．
【规律方法】　利用向量法求平面与平面夹角的步骤
【跟踪训练3】
(2025·河北石家庄一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，F是PA的中点，E是BC的中点．
(1)求证：EF∥平面PCD；
(2)若平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AD＝2AB＝2，PA＝2，求平面EFD与平面PAB夹角的余弦值．
[解]　(1)证明：取PD的中点G，连接GF，CG，
又F是PA的中点，则GF∥AD且GF＝AD，
由E是BC的中点，底面ABCD为矩形，则CE∥AD，
故GF∥CE，GF＝AD＝BC＝CE，所以GF＝CE，
所以四边形EFGC为平行四边形，则EF∥CG，
又因为CG 平面PCD，EF 平面PCD，所以EF∥平面PCD．
(2)法一：由底面ABCD为矩形，可得AB⊥AD，
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA⊥AB，PA 平面PAB，
所以PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，
以A为坐标原点，AB，AD，PA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，
E(1，1，0)，F(0，0，)，所以＝(1，－1，0)，＝(0，－2，)．
设平面EFD的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则令x＝1，则m＝(1，1，)，
依题意，可得平面PAB的一个法向量为n＝(0，1，0)，
故|cos |＝＝，
所以平面EFD与平面PAB夹角的余弦值为．
法二：因为底面ABCD为矩形，所以AD⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD 平面ABCD，所以AD⊥平面PAB．
延长AB，DE交于点K，连接FK，
过点A作AH⊥FK，垂足为H，连接DH．
因为AD⊥平面PAB，FK 平面PAB，所以AD⊥FK，
因为AH⊥FK，AD∩AH＝A，AD，AH 平面ADH，所以FK⊥平面ADH，
因为DH 平面ADH，所以FK⊥DH，
所以∠AHD为二面角A-FK-D的平面角，
因为BE∥AD，BE＝AD，所以AB＝BK＝1，AF＝，
FK＝＝，S△FAK＝×AH＝×2×，解得AH＝，
在Rt△DAH中，DH＝＝，cos∠AHD＝＝，
所以平面EFD与平面PAB夹角的余弦值为．
1/1微专题14　空间向量与空间角
异面直线所成的角
【例1】　如图，已知O是圆柱下底面圆的圆心，AA1为圆柱的一条母线，B为圆柱下底面圆周上一点，OA＝1，∠AOB＝，△AA1B为等腰直角三角形，则异面直线A1O与AB所成角的余弦值为 (　　)
A． B．
C． D．
[听课记录]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【规律方法】　求异面直线所成角的方法
(1)几何法：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角．
(2)向量法：①求出直线a，b的方向向量，分别记为燮m，燮n；②计算cos<燮m，燮n>＝；③利用cos θ＝|cos<燮m，燮n>|，以及θ∈，求出角θ．
【跟踪训练1】
(2024·四川成都模拟)如图，等边三角形ABC的边长为3，DE⊥AB，分别交AB，AC于D，E两点，且AD＝1，将△ADE沿DE折起(点A与P重合)，使得平面PDE⊥平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为 (　　)
A． B．
C． D．
直线与平面所成的角
【例2】　(2024·天津模拟)如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，下底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝2A1B1＝2，BC＝8，AA1＝4，DD1⊥CD，M为BC的中点．
(1)求证：平面CDD1C1⊥平面D1DM；
(2)若DD1＝4，求直线DM与平面BCC1B1所成角的正弦值．
[听课记录]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【规律方法】　利用向量法求直线与平面所成角的步骤
【跟踪训练2】
如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，四边形ABCD是矩形，AC⊥DB1，AA1＝AB＝2，点P是棱DD1上的一点，且DP＝2PD1．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)求直线AD1与平面PAC所成角的正弦值．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
平面与平面的夹角
【例3】　(2024·全国甲卷改编)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝，FB＝2，M为AD的中点．
(1)证明：BM∥平面CDE；
(2)求平面BFM与平面EMB夹角的正弦值．
[听课记录]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【规律方法】　利用向量法求平面与平面夹角的步骤
【跟踪训练3】
(2025·河北石家庄一模)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，F是PA的中点，E是BC的中点．
(1)求证：EF∥平面PCD；
(2)若平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AD＝2AB＝2，PA＝2，求平面EFD与平面PAB夹角的余弦值．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1/1

展开更多......

收起↑