资源简介 微专题16 计数原理与概率排列与组合问题【例1】 (1)(2025·四川成都一模)在连续五天时间内，甲、乙、丙、丁四名同学分别到夕阳红敬老院参加志愿者活动，每天一人，其中甲参加两天，其余三人各参加一天，则甲不在相邻两天的安排方法有 ( )A．24种 B．36种C．48种 D．60种(2)(多选)某中学的3名男生和2名女生一起参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是 ( )A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法(3)(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种．[听课记录] _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【规律方法】 排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化．【跟踪训练1】(1)在某场马拉松比赛中，组委会派小王、小李等6名志愿者到甲、乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有2位引导员．若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为 ( )A．40 B．28C．20 D．14(2)婺剧深受民众喜爱，某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法种数是 ( )A．36 B．48C．60 D．72(3)(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是 ( )A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲、乙不相邻的排法为82种D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种二项式定理【例2】 (1)(2025·河北保定二模)若(x－1)n(n∈N*)的展开式中各项系数的绝对值之和为512，则(x＋1)8(x－1)n的展开式中x11的系数为 ( )A．－56 B．56C．－70 D．70(2)(多选)(2025·江西赣州二模)设(x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则 ( )A．a0＝1B．a1＋a2＋…＋a9＝0C．a4＋a5＝0D．a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝256(3)(2024·全国甲卷)二项式的展开式中，各项系数的最大值是________．[听课记录] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【规律方法】 二项式(a＋b)n的通项Tk+1＝an-kbk(k＝0，1，2，…，n)，它表示的是二项展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中是二项展开式的第k＋1项的二项式系数，而二项展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数．【跟踪训练2】(1)(2025·河北邯郸调研)的展开式中的系数为 ( )A．－192 B．－6C．6 D．192(2)(多选)(2025·青海海东三模)已知(x2－x)11＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a22x22，则 ( )A．a0＝0B．a0＋a1＋a2＋…＋a22＝0C．a0－a1＋a2－…＋a22＝222D．a0＋a2＋a4＋…＋a22＝210(3)已知a＝1＋2＋22＋23＋…＋220，则a被10除所得的余数为________． 概率考向1 古典概型【例3】 (2025·甘肃白银模拟)某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为 ( )A． B．C． D．[听课记录] _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考向2 条件概率与全概率公式【例4】 (1)(2025·江西萍乡三模)从10双不同品牌的筷子中任取两根，若其中一根筷子为品牌A，则另一根也为品牌A的概率为 ( )A． B．C． D．(2)(2025·湖北黄冈模拟)已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同)．某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，记“从乙箱中取出的球是2个黑球”为事件B，则P(B)＝ ( )A． B．C． D．[听课记录] _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考向3 相互独立事件的概率【例5】 甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛(每两队比赛一场)，比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记3分，输的球队记0分．三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线．假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比为参考．队伍 近10场胜场比 队伍甲 7∶3 乙甲 5∶5 丙甲 4∶6 丁乙 4∶6 丙乙 5∶5 丁丙 3∶7 丁(1)三轮比赛结束后甲的积分记为X，求P(X＝3)；(2)若前两轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，3，0，6，求甲队能小组出线的概率．[听课记录] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【规律方法】 求概率的方法与技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解．(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解．(3)根据事件间的关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解．【跟踪训练3】(1)(2025·山西太原联考)某班同学利用假期在家通过网络直播观看比赛．已知该班有30名学生喜欢看排球比赛，40名学生喜欢看篮球比赛，50名学生喜欢看排球比赛或篮球比赛．若从喜欢看排球比赛的学生中抽取1人，则此学生喜欢看篮球比赛的概率为 ( )A． B．C． D．(2)(多选)(2025·安徽池州模拟)甲袋有3个红球、2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球、3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，事件A1，A2和A3分别表示从甲袋取出的球是红球、白球和黑球；再从乙袋中随机取出一球，事件B表示从乙袋取出的球是红球，则 ( )A．P(A2B)＝ B．P(A3|B)＝C．P(B)＝ D．A1与B相互独立(3)“中式八球”是受群众欢迎的台球运动项目之一．在一场“中式八球”邀请赛中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军，本次邀请赛采取“双败淘汰制”．具体赛制如下：首先，4人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的2人对阵，胜者进入最后的决赛，“败区”的2人对阵，败者直接淘汰出局，获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的2人进行最后的决赛，胜者获得冠军，败者获得亚军．现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0①经抽签，第一轮甲对阵乙，丙对阵丁，若p＝0.6．(ⅰ)求甲连胜三场获得冠军的概率；(ⅱ)求甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率．②除“双败淘汰制”外，“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．问当p满足什么条件时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1/1微专题16 计数原理与概率排列与组合问题【例1】 (1)(2025·四川成都一模)在连续五天时间内，甲、乙、丙、丁四名同学分别到夕阳红敬老院参加志愿者活动，每天一人，其中甲参加两天，其余三人各参加一天，则甲不在相邻两天的安排方法有( )A．24种 B．36种 C．48种 D．60种(2)(多选)某中学的3名男生和2名女生一起参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是( )A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法(3)(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种．(1)B (2)ACD (3)64 [(1)先排乙、丙、丁三名同学，共有＝3×2×1＝6种排法；再从三人所产生的四个空中选两个给甲，有＝6种排法．所以共有·＝6×6＝36种安排方法．(2)选项A，将2名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，则有＝48(种)，故正确；选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中，则有＝12(种)，故错误；选项C，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中，则有＝72(种)，故正确；选项D，将5名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的5个空位中，先将男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下4名同学进行全排列，则有＝72(种)，故正确．(3)若选2门，则只能在体育类和艺术类中各选1门，有＝16(种)选法；若选3门，分体育类选修课选2门，艺术类选修课选1门，或体育类选修课选1门，艺术类选修课选2门两种情况，则有＋＝48(种)选法．综上，共有16＋48＝64(种)不同的选课方案．]【规律方法】 排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化．【跟踪训练1】(1)在某场马拉松比赛中，组委会派小王、小李等6名志愿者到甲、乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有2位引导员．若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为( )A．40 B．28C．20 D．14(2)婺剧深受民众喜爱，某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法种数是( )A．36 B．48C．60 D．72(3)(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲、乙不相邻的排法为82种D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种(1)B (2)C (3)ABD [(1)若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口，共有＋＝8＋6＝14(种)方案．同理若小王在乙路口，小李在甲路口，也有14种方案．所以一共有28种不同的安排方案．故选B．(2)首先按照小生和老生不相邻的要求共有＝72(种)排法，其中老旦排在最右边时，左侧4个位置，先排花旦、正旦有种，由此所形成的3个空中将小生、老生插入有种，所以排法有＝12(种)，所以满足题意的不同排法种数是72－12＝60．(3)如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有＝24种，A正确；最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有＝24种排法；若最左端排乙，有＝18种排法，则不同的排法共有42种，B正确；甲、乙不相邻的排法有＝72种，C不正确；甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有＝20种，D正确．]二项式定理【例2】 (1)(2025·河北保定二模)若(x－1)n(n∈N*)的展开式中各项系数的绝对值之和为512，则(x＋1)8(x－1)n的展开式中x11的系数为( )A．－56 B．56 C．－70 D．70(2)(多选)(2025·江西赣州二模)设(x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则( )A．a0＝1B．a1＋a2＋…＋a9＝0C．a4＋a5＝0D．a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝256(3)(2024·全国甲卷)二项式的展开式中，各项系数的最大值是________．(1)A (2)CD (3)5 [(1)(x－1)n的展开式中各项系数的绝对值之和等于(x＋1)n的展开式中各项系数之和，则(1＋1)n＝512，得n＝9，则(x＋1)8(x－1)9＝(x2－1)8(x－1)，因为(x2－1)8的展开式中没有含x11的项，所以(x＋1)8(x－1)9的展开式中x11的系数为(x2－1)8的展开式中x10的系数，即(－1)3＝－56．(2)对于A，令x＝0，则a0＝(0－1)9＝－1，故A错误；对于B，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a9＝0，①又a0＝－1，则a1＋a2＋…＋a9＝1，故B错误；对于C，Tk+1＝x9-k(－1)k＝(－1)kx9-k，k＝0，1，…，9，所以k＝4时，T5＝(－1)4x5，则a5＝；k＝5时，T6＝(－1)5x4，则a4＝－；所以a4＋a5＝0，故C正确；对于D，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…－a9＝－29，②①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝29，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝28＝256，故D正确．(3)法一：由于＝，＝，＝，＝，则展开式中系数最大的项一定在下面的5项中：＝，＝，＝，＝5，＝，故系数的最大值为＝5．法二：的展开式的通项为Tk+1＝xk，若第k＋1项的系数最大，则解得≤k≤，因为k∈N*，所以k＝8，所以系数的最大值为＝5．]【规律方法】 二项式(a＋b)n的通项Tk+1＝an-kbk(k＝0，1，2，…，n)，它表示的是二项展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中是二项展开式的第k＋1项的二项式系数，而二项展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数．【跟踪训练2】(1)(2025·河北邯郸调研)的展开式中的系数为( )A．－192 B．－6C．6 D．192(2)(多选)(2025·青海海东三模)已知(x2－x)11＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a22x22，则( )A．a0＝0B．a0＋a1＋a2＋…＋a22＝0C．a0－a1＋a2－…＋a22＝222D．a0＋a2＋a4＋…＋a22＝210(3)已知a＝1＋2＋22＋23＋…＋220，则a被10除所得的余数为________．(1)A (2)ABD (3)1 [(1)的展开式的通项为Tk+1＝(－2)kx3(6-k)·x-k＝(－2)k·x18-4k，令18－4k＝－2，得k＝5，所以的系数为－32×6＝－192．故选A．(2)对于A，令x＝0，得a0＝0，A正确；对于B，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a22＝0，B正确；对于C，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a22＝211，C错误；对于D，由选项BC，得a0＋a2＋a4＋…＋a22＝＝210，D正确．(3)a＝1＋2＋22＋23＋…＋220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10，由(10－1)10＝1010－109＋…－10＋＝10(109－108＋…－)＋1，故a被10除所得的余数为1．]概率考向1 古典概型【例3】 (2025·甘肃白银模拟)某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为( )A． B． C． D．C [6人分成3个小组，每个小组2人，共有＝＝15种方法，3个年级中选1个，该年级的2名学生组成一个小组，有＝3 种选择，剩余两个年级(设为A，B年级)各有2名学生，A年级学生记为 A1，A2，B年级学生记为 B1，B2，分组方式有(A1，B1)和(A2，B2)，(A1，B2)和(A2，B1)，共2种情况．所以，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为＝．]考向2 条件概率与全概率公式【例4】 (1)(2025·江西萍乡三模)从10双不同品牌的筷子中任取两根，若其中一根筷子为品牌A，则另一根也为品牌A的概率为( )A． B． C． D．(2)(2025·湖北黄冈模拟)已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同)．某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，记“从乙箱中取出的球是2个黑球”为事件B，则P(B)＝( )A． B． C． D．(1)A (2)D [(1)设事件M为“从所有筷子中任取两根均为品牌A”，则P(M)＝＝．设事件N为“任取的两根筷子中有品牌A”，则P(N)＝＝．所求概率即为P(M|N)＝＝＝．(2)记“从甲箱中取出的球为红球”为事件A1，“从甲箱中取出的球为黑球”为事件A2，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝．]考向3 相互独立事件的概率【例5】 甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛(每两队比赛一场)，比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记3分，输的球队记0分．三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线．假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比为参考．队伍 近10场胜场比 队伍甲 7∶3 乙甲 5∶5 丙甲 4∶6 丁乙 4∶6 丙乙 5∶5 丁丙 3∶7 丁(1)三轮比赛结束后甲的积分记为X，求P(X＝3)；(2)若前两轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，3，0，6，求甲队能小组出线的概率．[解] (1)甲第i轮比赛获胜记为Ai(i＝1，2，3)，根据表格可知甲对乙、丙、丁比赛获胜的概率分别为，，，则P(X＝3)＝P(A1 )＋P(A2)＋P( A3)＝××＋××＋××＝．(2)分以下三种情况：(ⅰ)若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙胜丙，则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为6，6，0，6，此时甲、乙、丁三支球队积分相同，要抽签决定排名，甲抽中前两名的概率为，所以这种情况下，甲出线的概率P1＝××＝；(ⅱ)若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙输丙，则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为6，3，3，6，此时甲一定出线，甲出线的概率P2＝×＝；(ⅲ)若第三轮甲输丁，另一场比赛乙输丙．则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为3，3，3，9，此时甲、乙、丙三支球队要抽签决定排名，甲抽到第二名的概率为，所以这种情况下，甲出线的概率P3＝××＝．综上，甲出线的概率P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．【规律方法】 求概率的方法与技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解．(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解．(3)根据事件间的关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解．【跟踪训练3】(1)(2025·山西太原联考)某班同学利用假期在家通过网络直播观看比赛．已知该班有30名学生喜欢看排球比赛，40名学生喜欢看篮球比赛，50名学生喜欢看排球比赛或篮球比赛．若从喜欢看排球比赛的学生中抽取1人，则此学生喜欢看篮球比赛的概率为( )A． B． C． D．(2)(多选)(2025·安徽池州模拟)甲袋有3个红球、2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球、3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，事件A1，A2和A3分别表示从甲袋取出的球是红球、白球和黑球；再从乙袋中随机取出一球，事件B表示从乙袋取出的球是红球，则( )A．P(A2B)＝ B．P(A3|B)＝C．P(B)＝ D．A1与B相互独立(3)“中式八球”是受群众欢迎的台球运动项目之一．在一场“中式八球”邀请赛中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军，本次邀请赛采取“双败淘汰制”．具体赛制如下：首先，4人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的2人对阵，胜者进入最后的决赛，“败区”的2人对阵，败者直接淘汰出局，获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的2人进行最后的决赛，胜者获得冠军，败者获得亚军．现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0①经抽签，第一轮甲对阵乙，丙对阵丁，若p＝0.6．(ⅰ)求甲连胜三场获得冠军的概率；(ⅱ)求甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率．②除“双败淘汰制”外，“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．问当p满足什么条件时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠 (1)B (2)AC [(1)法一：设有x人两种比赛都喜欢，则有30－x人只喜欢看排球比赛，40－x人只喜欢看篮球比赛，所以30－x＋40－x＋x＝50，解得x＝20，所以从喜欢看排球比赛的学生中抽取1人，则此学生喜欢看篮球比赛的概率为＝．故选B．法二：根据题意，作出Venn图，如图所示．则所求概率为＝．(2)P(A2)＝，P(B|A2)＝，P(A2B)＝P(A2)·P(B|A2)＝×＝，选项A正确．P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)，P(B)＝×＋×＋×＝，故选项C正确．P(A3|B)＝＝＝，选项B错误．又P(B|A1)＝，P(B)＝，P(B|A1)≠P(B)，选项D错误．](3)[解] ①记甲在第i场比赛获胜的事件为Ai，i＝1，2，3，4，则P(Ai)＝0.6，P()＝0.4．由于不同对阵结果相互独立，所以：(ⅰ)甲连胜三场获得冠军的概率为P(A1A2A3)＝0.63＝0.216．(ⅱ)甲在“双败淘汰制”下获得冠军的情况有：胜胜胜、胜败胜胜、败胜胜胜，故概率为P＝P(A1A2A3＋A1A3A4＋A2A3A4)＝0.63＋2×0.63×(1－0.6)＝0.388 8．②“双败淘汰制”下甲夺冠的概率为P1＝P(A1A2A3＋A1A3A4＋A2A3A4)＝p3＋2p3(1－p)．“单败淘汰制”下甲夺冠的概率为P2＝p2．令P1>P2，得p3＋2p3(1－p)>p2，解得0.5所以当0.51/1 展开更多...... 收起↑ 资源列表 微专题16 计数原理与概率(原卷版).docx 微专题16 计数原理与概率(解析版).docx
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