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微专题20　圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的定义与标准方程
【例1】　(1)(2023·北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝ (　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
(2)(2024·山东泰安一模)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为 (　　)
A．36 B．24
C．18 D．12
(3)(2025·福建福州三模)设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，A为∠F1PF2的平分线与x轴的交点．若·＝0，则|PA|＝ (　　)
A． B．
C． D．
[听课记录]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
【规律方法】　
(1)应用圆锥曲线的定义时，要注意关键条件．如双曲线定义中的“绝对值”，椭圆和双曲线定义中的定值与两定点间距离的关系，抛物线定义中定点不在定直线上等．
(2)在椭圆(双曲线)的焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理结合椭圆(双曲线)的定义，运用平方的关系，建立|PF1|±|PF2|与|PF1|·|PF2|的关系．
(3)求圆锥曲线的标准方程：先定型，后计算．“定型”，即确定曲线焦点所在坐标轴的位置，从而确定标准方程的形式；“计算”则是根据题目条件，利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
【跟踪训练1】
(1)(2025·湖北武汉模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F1作直线l(与y轴不重合)交椭圆C于M，N两点，△MNF2的周长为12，则椭圆C的标准方程是 (　　)
A．＋y2＝1 B．＋x2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
(2)已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|＝________．
(3)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝m与y轴的交点为A，与抛物线C的交点为B，且|BF|＝|AB|，则m的值是________．
椭圆、双曲线的几何性质
考向1　椭圆、双曲线的几何性质
【例2】　(1)(2025·吉林白山二模)已知双曲线C的右焦点为F(2，0)，点P在双曲线上且满足PF⊥x轴，若|PF|＝3，则双曲线C的实轴长为 (　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
(2)(多选)(2024·长沙适应性考试)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1，远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则 (　　)
A．轨道的焦距为d2＋d1
B．轨道的离心率为
C．轨道的短轴长为2
D．当越大时，轨道越扁
[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】　椭圆、双曲线性质应用的常见类型
(1)由性质可求椭圆、双曲线的标准方程．反之，由标准方程可得出椭圆、双曲线的性质(顶点、焦点、渐近线、范围等)．
(2)对称性的应用：椭圆、双曲线的对称性是几何性质中较简单而又实用的性质，在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解．
(3)范围的应用：在求解以椭圆、双曲线为载体的某内接几何图形的面积(周长)等最值问题时，往往涉及动点坐标的取值范围(极端点的位置问题)，可将问题转化为函数最值处理．
考向2　离心率
【例3】　(1)(2024·南京六校调研)已知圆C1：x2＋y2＝b2与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P可以作圆C1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，且∠APB＝，则双曲线C2的离心率的取值范围是 (　　)
A． B．
C．(1，] D．[，＋∞)
(2)(2024·湖南岳阳二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，若·＝4c2，则该椭圆离心率的取值范围是________．
[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】　求圆锥曲线离心率的值(取值范围)的方法
定义法 根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解
方程法 根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e的值(取值范围)
【跟踪训练2】
(1)(2025·河北沧州一模)已知a>b>0，椭圆C：＋＝1与双曲线E：－＝1的离心率分别为e1，e2，若3e1＝e2，则双曲线E的渐近线方程为 (　　)
A．x±y＝0　　　　 B．2x±y＝0
C．2x±y＝0 D．x±2y＝0
(2)(多选)(2024·浙江台州模拟)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是 (　　)
A．F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)
B．椭圆的短轴长为10
C．|PF1|的最小值为1
D．当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取到最大值
(3)(2025·山东菏泽二模)已知M为双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，直线MF1交y轴于点N，O为坐标原点，若|NF1|＝|MF2|＝|OM|，则双曲线的离心率为________．
抛物线的几何性质
【例4】　(1)(2025·山东菏泽一模)已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2＝4x上，三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，若－＋＝1，则点A的坐标为 (　　)
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(2，－1) D．(2，1)
(2)(多选)(2025·海南万宁调研)已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是 (　　)
A．＋＝1 B．|AF|＝6
C．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点
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【规律方法】　抛物线的焦点弦性质
已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝．
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)．
(3)＋为定值．
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(6)过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)．
【跟踪训练3】
(1)已知抛物线的方程为x2＝4y，过其焦点F的直线与抛物线交于M，N两点，且|MF|＝5，O为坐标原点，则△MOF的面积与△NOF的面积之比为 (　　)
A． B．
C．5 D．4
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则 (　　)
A．焦点F的坐标为(4，0)
B．|AB|＝x1＋x2＋4
C．y1y2＝－8
D．＋＝
1/3微专题20　圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的定义与标准方程
【例1】　(1)(2023·北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　　)
A．7　 B．6　
C．5　 D．4
(2)(2024·山东泰安一模)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为(　　)
A．36　 B．24　
C．18　 D．12
(3)(2025·福建福州三模)设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，A为∠F1PF2的平分线与x轴的交点．若·＝0，则|PA|＝(　　)
A．　 B．　
C．　 D．
(1)D　(2)D　(3)B　[(1)抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，
因为点M在C上，由定义知M到准线x＝－2的距离为|MF|，
又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4．
(2)设双曲线的左焦点为F1，由双曲线定义知，|PF|＝2a＋|PF1|，
所以△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋2a＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋2a，
由于2a＋|AF|是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|＋|PF1|最小，即P，A，F1共线，
因为A(0，6)，F1(－3，0)，所以直线AF1的方程为－＋＝1．
即x＝－3，代入x2－＝1，整理得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍)，所以P点的纵坐标为2，
所以S△APF＝－＝×6×6－×6×2＝12．
(3)依题意，a＝7，c＝＝5，
不妨设点P位于第一象限，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝14①，且m>n>0．
因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，所以m2＋n2＝4c2＝100②．
由①②解得，m＝8，n＝6．
法一：因为PA平分∠F1PF2，由角平分线定理可得＝＝＝，故＝，
所以＝，即|PA|·|PF2|sin 45°＝×|PF1|·|PF2|，
故×6·|PA|＝××8×6，所以|PA|＝．
法二：由＋＝，得m·|PA|sin 45°＋n·|PA|sin 45°＝mn，所以|PA|＝＝＝．]
【规律方法】　
(1)应用圆锥曲线的定义时，要注意关键条件．如双曲线定义中的“绝对值”，椭圆和双曲线定义中的定值与两定点间距离的关系，抛物线定义中定点不在定直线上等．
(2)在椭圆(双曲线)的焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理结合椭圆(双曲线)的定义，运用平方的关系，建立|PF1|±|PF2|与|PF1|·|PF2|的关系．
(3)求圆锥曲线的标准方程：先定型，后计算．“定型”，即确定曲线焦点所在坐标轴的位置，从而确定标准方程的形式；“计算”则是根据题目条件，利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
【跟踪训练1】
(1)(2025·湖北武汉模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F1作直线l(与y轴不重合)交椭圆C于M，N两点，△MNF2的周长为12，则椭圆C的标准方程是(　　)
A．＋y2＝1　 B．＋x2＝1
C．＋＝1　 D．＋＝1
(2)已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|＝________．
(3)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝m与y轴的交点为A，与抛物线C的交点为B，且|BF|＝|AB|，则m的值是________．
(1)D　(2)2　(3)±2　[(1)如图，依题意，△MNF2的周长为|MF2|＋|MN|＋|NF2|＝|MF1|＋|MF2|＋|NF1|＋|NF2|＝4a＝12，解得a＝3．
设椭圆C的半焦距为c，因为椭圆C的离心率为，所以e＝＝，解得c＝2．
所以b＝＝＝．
故椭圆C的标准方程为＋＝1．
(2)双曲线－＝1的实半轴长为a＝2，
延长F2N交直线MF1于点H，由题意有|MH|＝|MF2|，|NH|＝|NF2|，
又O是F1F2的中点，所以|ON|＝|F1H|＝(|MH|－|MF1|)＝(|MF2|－|MF1|)＝a＝2．
(3)因为C：y2＝4x，所以p＝2，抛物线的准线方程为x＝－1，
设BM垂直于准线，垂足为M，
则|BM|＝|BF|，|AM|＝1，
又因为|BF|＝|AB|，
所以|BM|＝|AB|，
又|BM|＝|AM|＋|AB|，
所以|AM|＝|AB|＝1，所以|AB|＝2，所以B点横坐标为x＝2，
将x＝2代入C：y2＝4x，则y2＝8，y＝±2，
所以B(2，±2)，
所以m的值是±2．]
椭圆、双曲线的几何性质
考向1　椭圆、双曲线的几何性质
【例2】　(1)(2025·吉林白山二模)已知双曲线C的右焦点为F(2，0)，点P在双曲线上且满足PF⊥x轴，若|PF|＝3，则双曲线C的实轴长为(　　)
A．1　 B．2　
C．4　 D．8
(2)(多选)(2024·长沙适应性考试)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1，远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则(　　)
A．轨道的焦距为d2＋d1
B．轨道的离心率为
C．轨道的短轴长为2
D．当越大时，轨道越扁
(1)B　(2)BC　[(1)因为PF⊥x轴，且|PF|＝3，双曲线C的右焦点为F(2，0)，
所以P(2，3)，设双曲线方程为－＝1，且a2＋b2＝4，
将P(2，3)代入双曲线方程，得到－＝1，联立解得a＝1(负根舍去)，
则双曲线C的实轴长为2，故B正确．
(2)设该椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由题意可知a－c＝d1，a＋c＝d2，所以a＝，c＝，b2＝a2－c2＝d1d2，即b＝，椭圆的焦距为d2－d1，离心率e＝＝，短轴长为2b＝2，所以A错误，B，C正确；因为e＝＝＝＝＝－1＋，所以当越大时，椭圆的离心率e越小，即椭圆越圆，所以D错误．故选BC．]
【规律方法】　椭圆、双曲线性质应用的常见类型
(1)由性质可求椭圆、双曲线的标准方程．反之，由标准方程可得出椭圆、双曲线的性质(顶点、焦点、渐近线、范围等)．
(2)对称性的应用：椭圆、双曲线的对称性是几何性质中较简单而又实用的性质，在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解．
(3)范围的应用：在求解以椭圆、双曲线为载体的某内接几何图形的面积(周长)等最值问题时，往往涉及动点坐标的取值范围(极端点的位置问题)，可将问题转化为函数最值处理．
考向2　离心率
【例3】　(1)(2024·南京六校调研)已知圆C1：x2＋y2＝b2与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P可以作圆C1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，且∠APB＝，则双曲线C2的离心率的取值范围是(　　)
A．　 B．
C．(1，]　 D．[，＋∞)
(2)(2024·湖南岳阳二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，若·＝4c2，则该椭圆离心率的取值范围是________．
(1)B　(2)　[(1)如图，∠APB＝，又|PA|＝|PB|，所以|AB|＝|PA|＝|PB|，
而PA，PB是圆的切线，所以∠APO＝，且PA⊥OA，又|OA|＝|OB|＝b，所以|PO|＝2b，
因为P在双曲线－＝1上，
所以|OP|≥a，所以2b≥a，
所以a2≤4b2＝4(c2－a2)，从而5a2≤4c2，≥，即e＝≥，故选B．
(2)设点A(x1，y1)，而F1(－c，0)，F2(c，0)，则＝(－c－x1，－y1)，＝(c－x1，－y1)，
由·＝4c2，得(－c－x1，－y1)·(c－x1，－y1)＝－c2＋＝4c2，即＋＝5c2，
因此点A在以(0，0)为圆心，半径为c的圆上，而A点在椭圆上，则圆x2＋y2＝5c2与椭圆＋＝1有公共点，
由椭圆的几何性质知b≤c≤a，即b2≤5c2≤a2，亦即a2－c2≤5c2≤a2，
整理得5c2≤a2≤6c2，即≤≤，所以椭圆离心率e∈．]
【规律方法】　求圆锥曲线离心率的值(取值范围)的方法
定义法 根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解
方程法 根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e的值(取值范围)
【跟踪训练2】
(1)(2025·河北沧州一模)已知a>b>0，椭圆C：＋＝1与双曲线E：－＝1的离心率分别为e1，e2，若3e1＝e2，则双曲线E的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0　　 B．2x±y＝0
C．2x±y＝0　 D．x±2y＝0
(2)(多选)(2024·浙江台州模拟)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是(　　)
A．F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)
B．椭圆的短轴长为10
C．|PF1|的最小值为1
D．当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取到最大值
(3)(2025·山东菏泽二模)已知M为双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，直线MF1交y轴于点N，O为坐标原点，若|NF1|＝|MF2|＝|OM|，则双曲线的离心率为________．
(1)C　(2)ACD　(3)　[(1)依题意，e1＝，e2＝，又3e1＝e2，
所以9(a2－b2)＝a2＋b2，整理得4a2＝5b2，所以＝，
所以双曲线E的渐近线方程为y＝±x，即2x±y＝0．
(2)椭圆＋＝1，其中a2＝9，b2＝5，所以c2＝a2－b2＝4．
对于A，c＝2，F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，所以正确；
对于B，椭圆的短轴长为2，所以错误；
对于C，a－c≤|PF1|≤a＋c，所以|PF1|的最小值为1，所以正确；
对于D，当P在椭圆的长轴端点时，∠F1PF2＝0；当P不在长轴端点时，0<∠F1PF2<π，利用余弦定理可知cos∠F1PF2＝＝＝－1≥－1＝－1，当|PF1|＝|PF2|，即P在椭圆的短轴端点时，cos∠F1PF2最小，此时∠F1PF2最大，所以正确．
(3)如图，由于|MF2|＝|OM|，可作MH⊥x轴，垂足为H，可知H为OF2中点，
由|OF1|＝|OF2|＝c，可知|OH|＝，
由ON∥MH，可知＝＝＝2，
令|NF1|＝|MF2|＝m，则|MN|＝，即|MF1|＝，
根据双曲线定义，|MF1|－|MF2|＝－m＝＝2a m＝4a，即|MF1|＝6a，|MF2|＝4a，
再由勾股定理可得，|MF1|2－|F1H|2＝|MF2|2－|F2H|2，
即36a2－c2＝16a2－c2 20a2＝2c2 e2＝10，即e＝．]
抛物线的几何性质
【例4】　(1)(2025·山东菏泽一模)已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2＝4x上，三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，若－＋＝1，则点A的坐标为(　　)
A．(1，－2)　 B．(1，2)
C．(2，－1)　 D．(2，1)
(2)(多选)(2025·海南万宁调研)已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是(　　)
A．＋＝1　 B．|AF|＝6
C．|BD|＝2|BF|　 D．F为AD的中点
(1)B　(2)BCD　[(1)设B，C，A，
则k1＝＝，
k2＝＝，k3＝＝，
所以－＋＝－＋＝＝1，
解得y3＝2，故＝1，
故点A的坐标为(1，2)．
(2)如图，过点B作准线的垂线，垂足为B'，又F，直线l的斜率为，则直线l的方程为y＝．联立
得12x2－20px＋3p2＝0．解得xA＝，xB＝．由|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝＝8，得p＝3．所以抛物线的方程为y2＝6x，则|AF|＝xA＋＝2p＝6，故B正确；|BF|＝8－|AF|＝2，|BD|＝＝＝4，所以|BD|＝2|BF|，故C正确；|AF|＝|DF|＝6，则F为AD的中点，故D正确；而＋＝，故A错误．故选BCD．]
【规律方法】　抛物线的焦点弦性质
已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝．
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)．
(3)＋为定值．
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(6)过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)．
【跟踪训练3】
(1)已知抛物线的方程为x2＝4y，过其焦点F的直线与抛物线交于M，N两点，且|MF|＝5，O为坐标原点，则△MOF的面积与△NOF的面积之比为(　　)
A．　 B．
C．5　 D．4
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则(　　)
A．焦点F的坐标为(4，0)
B．|AB|＝x1＋x2＋4
C．y1y2＝－8
D．＋＝
(1)D　(2)BD　[(1)由解析式可知，焦点F(0，1)，准线为y＝－1，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，lMN：y＝kx＋1，|MF|＝y1＋1＝5，所以y1＝4，x1＝±4．
由抛物线的对称性，不妨设M在第一象限，则M(4，4)，
联立
所以x2－4kx－4＝0，x1·x2＝－4，
即x2＝－1，所以＝＝4．
(2)由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2，0)，故A错误；
由抛物线的性质可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正确；
设直线AB的方程为x＝my＋2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，
则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，故C错误；
＋＝＋＝＋
＝＋
＝
＝
＝＝，
故D正确．]
2/2

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