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微专题22　定点(线)、定值问题
定点问题
【例1】　(2025·山东聊城三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为．
(1)求C的方程．
(2)若A1，A2分别是C的左、右顶点，不与x轴垂直的动直线l与C交于P，Q两点(不同于A1，A2)，且直线A1P的斜率等于直线A2Q的斜率的2倍，求证：直线l经过定点．
[解]　(1)由题意得2b＝2 b＝1 a2－c2＝1，
＝ c2＝a2，解得a2＝4，c2＝3，
故椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)证明：设直线l的方程为y＝kx＋m，与椭圆方程＋y2＝1联立，消去y得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
其中Δ＝16(4k2＋1－m2)>0 4k2＋1>m2，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
由已知得＝ ＝ ＝，
再化简得(2k2＋1)x1x2＋(2km＋2)(x1＋x2)＋2m2＋4＝0，
代入得(2k2＋1)＋(2km＋2)＋2m2＋4＝0，
整理得(2k－3m)(2k－m)＝0，
因为直线l不经过点A1(－2，0)，所以2k－m≠0，
即2k－3m＝0 m＝k，
所以直线l的方程为y＝kx＋k＝k，
因此直线l经过定点．
【规律方法】　动线过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题．设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，从而动直线过定点(－m，0)．
(2)动曲线C过定点问题．引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，可得出定点．
【跟踪训练1】
(2025·山西吕梁一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，点A(，)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若直线l交椭圆C于M，N两点，且线段MN的中点P的横坐标为－2，过P作直线l'⊥l．证明：直线l'恒过定点，并求出该定点的坐标．
[解]　(1)由点A(，)在椭圆C上，得＋＝1，由椭圆C的焦距为4，得a2－b2＝8，
解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1．
(2)证明：设P(－2，y0)，将x＝－2代入椭圆方程得y＝±，由题知－≤y0≤．
当y0≠0时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然x1≠x2，
由
两式相减得＋＝0，
即·＝－，
由P为线段MN的中点，得·＝－，直线l的斜率k＝＝，
由l'⊥l，得直线l'的方程为y－y0＝－(x＋2)，
即y＝－，
因此直线l'过定点．当y0＝0时，直线l：x＝－2，此时l'为x轴，过点，
所以直线l'恒过定点．
定直线问题
【例2】　(2025·吉林长春质检)过抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F，且斜率为－1的直线l与抛物线E交于A，B两点，|AB|＝8．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l'交抛物线E于C，D两点，直线AC与BD的交点是否恒在一条直线上 若是，求出该直线的方程；否则，说明理由．
[解]　(1)由题意知，F，
则直线l：y＝－x＋．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，与抛物线方程联立得
消去y并整理得x2－3px＋＝0，
Δ1＝(－3p)2－4×1×＝8p2>0，所以x1＋x2＝3p，x1x2＝．由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x．
(2)由(1)可得y1y2＝－4，F(1，0)．由题意知，直线l'的斜率不为0，设直线l'：x＝my＋1，C(x3，y3)，D(x4，y4)，与抛物线方程联立得消去x并整理得y2－4my－4＝0，Δ2＝(－4m)2－4×1×(－4)＝16(m2＋1)>0，所以y3y4＝－4．直线AC：y－y3＝(x－x3)＝(x－x3)＝(x－x3)，即y＝．①
同理得直线BD：y＝．②
由①②消去y得＝，即4(y1－y2＋y3－y4)x＝y1y2(y3－y4)＋y3y4(y1－y2)＝－4(y1－y2＋y3－y4)，解得x＝－1，所以直线AC与直线BD的交点恒在直线x＝－1上．
【规律方法】　定直线问题的求解策略
(1)联立方程消参．
(2)挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标．
(3)将横纵坐标分别用参数表示，再消参．
(4)对方程变形解得定直线．
【跟踪训练2】
已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，左、右顶点分别为C，D，过右焦点F(1，0)的直线l交椭圆E于A，B两点(不与C，D重合)，直线AC与直线BD交于点T．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求证：点T在定直线上．
[解]　(1)依题意，b＝，半焦距c＝1，则a＝＝2，
所以椭圆E的方程为＋＝1．
(2)证明：显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB：x＝ty＋1，
由消去x并整理得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，
Δ＝36t2＋36(3t2＋4)＝144(t2＋1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
且有ty1y2＝(y1＋y2)，
直线AC：y＝(x＋2)，直线BD：y＝(x－2)，
联立消去y得(x＋2)＝(x－2)，即x＝＋，整理得[y2(x1＋2)－y1(x2－2)]x＝2y1(x2－2)＋2y2(x1＋2)，
即[y2(ty1＋3)－y1(ty2－1)]x＝2y1(ty2－1)＋2y2(ty1＋3)，
于是(3y2＋y1)x＝4ty1y2－2y1＋6y2，
而ty1y2＝(y1＋y2)，
则(3y2＋y1)x＝6(y1＋y2)－2y1＋6y2，
因此x＝＝＝4，
所以点T在定直线x＝4上．
定值问题
【例3】　(2025·甘肃白银模拟)已知抛物线C：y2＝－2px(p>0)的焦点为F，点M(x0，2)在C上，且|MF|＝2|OF|，其中O为坐标原点，过点A(0，1)的直线l与C相交．
(1)求C的方程；
(2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率；
(3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值，并求出该定值．
[解]　(1)由抛物线的定义可知|MF|＝－x0＋，
又|MF|＝2|OF|，则|MF|＝p．
即－x0＝p，所以x0＝－．
又M在抛物线上，
所以4＝－2p·，且p>0，
解得p＝2．则C的方程为y2＝－4x．
(2)设直线l的斜率为k，则l：y＝kx＋1．
联立
得k2x2＋(2k＋4)x＋1＝0，
当k＝0时，l：y＝1，符合题意；
当k≠0时，则Δ＝(2k＋4)2－4k2＝0，解得k＝－1．
综上，直线l的斜率为0或－1．
(3)证明：由题得l的斜率存在且不为零．
设l的方程为y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立可得k2x2＋(2k＋4)x＋1＝0，
Δ＝(2k＋4)2－4k2＝16k＋16>0，即k>－1．
可得x1＋x2＝－，x1x2＝．
故k1＝＝，k2＝＝．
则k1＋k2＝＋＝2k＋＝－4，
所以k1＋k2为定值－4．
【规律方法】　参数法解决圆锥曲线中定值问题的一般步骤
【跟踪训练3】
(2025·湖南长沙三模)已知动点M(x，y)与定点F(3，0)的距离与它到定直线l：x＝的距离的比是常数．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)过上述轨迹上一点P作轨迹的切线与两直线y＝x，y＝－x分别交于A，B两点，证明：△AOB的面积是定值．(O为坐标原点)
[解]　(1)根据题意得＝，
则可得＝，
将上式两边平方，得(x－3)2＋y2＝2，
整理得x2－6x＋18＋y2＝2x2－6x＋9，所以x2－y2＝9，
所以动点M的轨迹方程为－＝1．
(2)证明：设点P的坐标为(x0，y0)，当切线的斜率不存在时，不妨取点P的坐标为(3，0)，切线方程为x＝3，与y＝x联立得点A的坐标为(3，3)，与y＝－x联立得点B的坐标为(3，－3)，由题意可知S△AOB＝×3×|3－(－3)|＝9；
当切线的斜率存在时，设曲线在点P处的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，
与双曲线方程联立得
消去y，可得x2－[k(x－x0)＋y0]2＝9，
整理得(1－k2)x2＋(2k2x0－2ky0)x－k2＋2ky0x0－－9＝0，
所以1－k2≠0且Δ＝(2k2x0－2ky0)2－4(1－k2)(－k2＋2ky0x0－－9)＝0，
解得k＝，代入y－y0＝k(x－x0)，得y0y－＝x0x－，
所以切线方程为x0x－y0y＝9，
与y＝x联立得xA＝，与y＝－x联立得xB＝，
故S△AOB＝|xA·xB|＝＝＝9．
综上，△AOB的面积是定值9．
2/2微专题22　定点(线)、定值问题
定点问题
【例1】　(2025·山东聊城三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为．
(1)求C的方程；
[听课记录]　_________________________________________________________
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(2)若A1，A2分别是C的左、右顶点，不与x轴垂直的动直线l与C交于P，Q两点(不同于A1，A2)，且直线A1P的斜率等于直线A2Q的斜率的2倍，求证：直线l经过定点．
[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】　动线过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题．设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，从而动直线过定点(－m，0)．
(2)动曲线C过定点问题．引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，可得出定点．
【跟踪训练1】
　(2025·山西吕梁一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，点A(，)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若直线l交椭圆C于M，N两点，且线段MN的中点P的横坐标为－2，过P作直线l'⊥l．证明：直线l'恒过定点，并求出该定点的坐标．
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定直线问题
【例2】　(2025·吉林长春质检)过抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F，且斜率为－1的直线l与抛物线E交于A，B两点，|AB|＝8．
(1)求抛物线E的方程．
(2)过焦点F的直线l'交抛物线E于C，D两点，直线AC与BD的交点是否恒在一条直线上 若是，求出该直线的方程；否则，说明理由．
[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】　定直线问题的求解策略
(1)联立方程消参．
(2)挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标．
(3)将横纵坐标分别用参数表示，再消参．
(4)对方程变形解得定直线．
【跟踪训练2】
已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，左、右顶点分别为C，D，过右焦点F(1，0)的直线l交椭圆E于A，B两点(不与C，D重合)，直线AC与直线BD交于点T．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求证：点T在定直线上．
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【例3】　(2025·甘肃白银模拟)已知抛物线C：y2＝－2px(p>0)的焦点为F，点M(x0，2)在C上，且|MF|＝2|OF|，其中O为坐标原点，过点A(0，1)的直线l与C相交．
(1)求C的方程；
(2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率；
(3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值，并求出该定值．
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【规律方法】　参数法解决圆锥曲线中定值问题的一般步骤
【跟踪训练3】
(2025·湖南长沙三模)已知动点M(x，y)与定点F(3，0)的距离与它到定直线l：x＝的距离的比是常数．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)过上述轨迹上一点P作轨迹的切线与两直线y＝x，y＝－x分别交于A，B两点，证明：△AOB的面积是定值．(O为坐标原点)
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