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微专题1　函数的图象与性质
函数的概念与表示
【例1】　(1)(2025·上海松江三模)已知函数f (x)＝则f (x)的值域为________．
(2)已知函数y＝f 的定义域是[2，4]，则函数g(x)＝的定义域为________．
(3)已知函数f (x)＝则f ( f (x))<2的解集为________．
(1)(0，＋∞)　(2)(2，3)　(3)(－∞，1－ln 2)　[(1)因为f (x)＝
当x≥1时，f (x)＝x2≥1，
当0f (1)＝0，
综上，函数f (x)的值域为(0，＋∞)．
(2)因为函数y＝f 的定义域是[2，4]，
所以2≤x≤4，故2≤x＋1≤3，
因为g(x)＝有意义，
所以所以2所以函数g(x)＝的定义域为(2，3)．
(3)因为当x≥1时，f (x)＝x3＋x≥2，当x<1时，f (x)＝2ex-1<2，
所以f ( f (x))<2等价于f (x)<1，此时f (x)＝2ex-1，即2ex-1<1，解得x<1－ln 2，
所以f ( f (x))<2的解集为(－∞，1－ln 2)．]
【规律方法】
1．函数定义域的求解方法
(1)给出解析式，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
(2)已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(3)已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
2．对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
【跟踪训练1】
(1)已知函数y＝f (2x－1)的定义域是[－1，3]，则y＝的定义域是(　　)
A．(－2，5]　 B．(－2，3]
C．[－1，3]　 D．[0，2]
(2)(2025·北京平谷一模)已知函数f (x)＝当a＝－1时，f (x)的值域是________，若f (x)有两个极值点，则a的取值范围是________．
(1)A　(2)　(0，2)　[(1)因为函数y＝f (2x－1)的定义域是[－1，3]，所以x∈[－1，3]，2x－1∈[－3，5]，
所以y＝f (x)的定义域为[－3，5]，又因为x＋2>0，即x>－2，所以－2所以函数y＝的定义域为(－2，5]．
(2)由a＝－1，则f (x)＝
当x≤1时，f (x)＝－x2－x，易知函数f (x)在上单调递增，在内单调递减，
此时f (x)max＝f ＝；
当x>1时，f (x)＝－x－1，易知函数f (x)在(1，＋∞)上单调递减，则f (x)<－2．
综上可得f (x)∈．
由题意可设函数f (x)的两个极值点分别为x1，x2，且x1由二次函数y＝－x2＋ax在上单调递增，在上单调递减，
一次函数y＝ax－1，当a<0时，在R上单调递减，当a>0时，在R上单调递增，
易知函数f (x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)内单调递减，
且x1＝，x2＝1，可得0<<1，解得0函数的图象
考向1　函数图象的识别
【例2】　(1)(2025·河北名校联考)函数y＝cos x＋ln x的部分图象大致为(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
(2)(2025·湖北鄂东协作体联考)已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为(　　)
A．f (x)＝ 　 B．f (x)＝
C．f (x)＝－ 　 D．f (x)＝－
(1)C　(2)C　[(1)因为2<，由余弦函数性质可知cos 2>cos ＝－，
又2>，且函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，得ln 2>＝．
所以当x＝2时，cos 2＋ln 2>－＝0，B，D错误；
又x＝3时，ln 3>1，得cos 3＋ln 3>0，A错误．故选C．
(2)由奇偶性判断可知，
f (x)＝是偶函数，f (x)＝是奇函数，f (x)＝是偶函数，f (x)＝－是奇函数，而函数图象是关于y轴对称，必然是偶函数，所以BD错误；
再当x＝0.01时，可知f (0.01)＝>0，故A错误．故选C．]
考向2　函数图象的变换及应用
【例3】　(1)已知函数f (x)＝
则下列图象错误的是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
(2)(多选)已知函数f (x)＝
若x1A．x1＋x2＝－1　 B．x3x4＝1
C．1(1)D　(2)BCD　[(1)当－1≤x≤0时，f (x)＝－2x，表示一条线段，且线段经过(－1，2)和(0，0)两点；当0f (x－1)的图象可由f (x)的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；f (－x)的图象可由f (x)的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于f (x)的值域为[0，2]，故f (x)＝|f (x)|，故|f (x)|的图象与f (x)的图象完全相同，故C正确；很明显D中f (|x|)的图象不正确．
(2)由函数f (x)＝作出其函数图象如图所示，
由图可知，x1＋x2＝－2，－2当y＝1时，令|log2x|＝1，解得x＝或x＝2，所以由f (x3)＝f (x4)，得|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3＋log2x4＝0，所以x3x4＝1，故B正确；
由图可知0【规律方法】
1．确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．
2．函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．
【跟踪训练2】
(1)(2024·全国甲卷)函数f (x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的大致图象为(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
(2)(多选)(2025·重庆模拟)已知定义在[1，＋∞)上的函数f (x)满足 x∈[1，＋∞)，2f (x)＝f (2x)，且当x∈[1，2)时，f (x)＝－x2＋3x－2，则下列说法正确的是(　　)
A．f (3)＝
B．f (x)在[4，7]上单调递增
C．函数F(x)＝f (x)－a的零点从小到大依次记为x1，x2，x3，…，若x1＋x2＝6，则a的取值范围为
D．若函数F(x)＝f (x)－a在[3，16]上恰有4个零点，则a的取值范围为
(1)B　(2)AC　[(1) f (－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f (x)，
又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A，C；
又f (1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝>>0，故可排除D．
故选B．
(2)由题可知，f (3)＝2f ＝2＝，A正确；
由 x∈[1，＋∞)，2f (x)＝f (2x)可作出f (x)的部分图象，可知f (x)在[4，6)内单调递增，在[6，7]上单调递减，B不正确；
由F(x)＝0，得f (x)＝a，根据函数的对称性可知，当x1＋x2＝6时，可知x1，x2是方程f (x)＝a的两个不同的根，且x1，x2∈(2，4)，根据f (x)的图象可知，a的取值范围为，
C正确；
当函数F(x)＝f (x)－a在[3，16]上恰有4个零点时，根据f (x)的图象可知，a的取值范围为，D不正确．]
函数的性质
考向1　单调性与奇偶性
【例4】　(1)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
(2)(2025·四川绵阳模拟)已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减，若实数a满足f ，则a的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
(1)D　(2)D　[(1)法一：由题意知f (x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，且f (－2)＝f (2)＝f (0)＝0．当x＞0时，令f (x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；当x＜0时，令f (x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x＜0，所以－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D．
法二：当x＝3时，f (3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f (4－1)＝f (3)＜0，此时不符合题意，排除选项A，C．故选D．
(2)因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减，
所以f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，因为2＝f ，所以2＝，所以，
即a－1<－或a－1>，解得a<或a>，
所以a的取值范围是．]
考向2　奇偶性与周期性、对称性
【例5】　(2025·辽宁盘锦三模)已知定义域均为R的函数f (x)，g(x)满足f (2－x)＋f (x)＝2，g(4－x)＝g(x)，g(2)＝3，若f (x)＝g(2＋x)＋4，则下列说法错误的是(　　)
A．f (x)的图象关于y轴对称
B．－8为f (x)的一个周期
C．f (2 023)＝－1
D．＝16
C　[因为f (x)＝g(2＋x)＋4，所以f (－x)＝g(2－x)＋4，又因为g(4－x)＝g(x)，所以g(2＋x)＝g(2－x)，所以f (x)＝f (－x)，所以f (x)的图象关于y轴对称，故A正确；
又因为f (2－x)＋f (x)＝2，所以f (－x)＋f (2＋x)＝2，所以f (x)＋f (2＋x)＝2，即f (2＋x)＝2－f (x)，
所以f (4＋x)＝f [2＋(2＋x)]＝2－f (2＋x)＝2－[2－f (x)]＝f (x)，所以T＝4，故B正确；
在f (x)＋f (2－x)＝2中，令x＝1，得f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (3)＝f (－1)＝f (1)＝1，故C错误；
因为g(2)＝3，所以f (0)＝g(2)＋4＝7，所以f (4)＝7，所以f (2)＝2－f (0)＝－5，f (3)＝f (－1)＝f (1)＝1，
故＝[ f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]×5＋f (1)＋f (2)＝(1－5＋1＋7)×5＋1－5＝16，故D正确．]
【规律方法】
1．判断具体函数奇偶性的方法
定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．判断抽象函数奇偶性的方法
根据已知条件，对抽象函数进行合理变形，找到f (－x)与f (x)的关系，从而判断抽象函数的奇偶性．
3．函数单调性的判断方法
定义法、图象法、导数法．
[二级结论]　(1)若f (x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则2|a－b|为f (x)的周期．
(2)若f (x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则2|a－b|为f (x)的周期．
(3)若f (x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则4|a－b|为f (x)的周期．
【跟踪训练3】
(1)定义在R上的函数g(x)满足g(x)＝f (x)＋2x，g(x＋2)为偶函数，函数f (3x＋1)的图象关于点(0，2)对称，则f (27)＝(　　)
A．－46　 B．4
C．－50　 D．－4
(2)已知定义在R上的偶函数 f (x)在[0，＋∞)上单调递减，且f (1)＝2，则满足f (x)＋f (－x)>4的实数x的取值范围为________．
(1)C　(2)(－1，1)　[(1)因为f (3x＋1)的图象关于点(0，2)对称，有f (－3x＋1)＋f (3x＋1)＝4，令3x＋1＝t，则f (2－t)＋f (t)＝4，故f (x)的图象关于点(1，2)对称．
由g(x＋2)为偶函数，得g(2＋x)＝g(2－x)，
则g(x)的图象关于x＝2对称，
因为f (2－t)＋f (t)＝4，所以f (2－t)＋2(2－t)＋f (t)＋2t＝8，即g(2－t)＋g(t)＝8，则g(x)的图象关于点(1，4)对称．
所以g(x)＋g(2－x)＝8，又g(2＋x)＝g(2－x)，所以g(x)＋g(2＋x)＝8，所以g(2＋x)＋g(4＋x)＝8，所以g(x＋4)＝g(x)，所以4为g(x)的一个周期，
因为g(x)的图象关于点(1，4)对称，所以g(1)＝4，故g(27)＝g(4×6＋3)＝g(3)＝g(1)＝4，所以由g(x)＝f (x)＋2x，得f (27)＝4－2×27＝－50．
(2)由f (x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，故f (x)在(－∞，0)上单调递增，
又f (1)＝2，故当f (x)>2时，可得x∈(－1，1)．又f (－x)＝f (x)，故f (x)＋f (－x)>4等价于f (x)>2，故x的取值范围为(－1，1)．]
1/1微专题1　函数的图象与性质
函数的概念与表示
【例1】　(1)(2025·上海松江三模)已知函数f(x)＝则f(x)的值域为________．
(2)已知函数y＝f的定义域是[2，4]，则函数g(x)＝的定义域为________．
(3)已知函数f(x)＝则f(f(x))<2的解集为________．
[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】
1．函数定义域的求解方法
(1)给出解析式，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
(2)已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(3)已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
2．对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
【跟踪训练1】
(1)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，则y＝的定义域是 (　　)
A．(－2，5] B．(－2，3]
C．[－1，3] D．[0，2]
(2)(2025·北京平谷一模)已知函数f(x)＝当a＝－1时，f(x)的值域是________．若f(x)有两个极值点，则a的取值范围是________．
函数的图象
考向1　函数图象的识别
【例2】　(1)(2025·河北名校联考)函数y＝cos x＋ln x的部分图象大致为 (　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
(2)(2025·湖北鄂东协作体联考)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为 (　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－
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考向2　函数图象的变换及应用
【例3】　(1)已知函数f(x)＝
则下列图象错误的是 (　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
(2)(多选)已知函数f(x)＝
若x1A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】
1．确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．
2．函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．
【跟踪训练2】
(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e-x)sin x在区间[－2.8，2.8]的大致图象为 (　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
(2)(多选)(2025·重庆模拟)已知定义在[1，＋∞)上的函数f(x)满足 x∈[1，＋∞)，2f(x)＝f(2x)，且当x∈[1，2)时，f(x)＝－x2＋3x－2，则下列说法正确的是 (　　)
A．f(3)＝
B．f(x)在[4，7]上单调递增
C．函数F(x)＝f(x)－a的零点从小到大依次记为x1，x2，x3，…，若x1＋x2＝6，则a的取值范围为
D．若函数F(x)＝f(x)－a在[3，16]上恰有4个零点，则a的取值范围为
函数的性质
考向1　单调性与奇偶性
【例4】　(1)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是 (　　)
A．[－1，1]∪[3，＋∞)　 B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]
(2)(2025·四川绵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减，若实数a满足f(2|a-1|)>f(－)，则a的取值范围是 (　　)
A．
B．
C．
D．∪
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考向2　奇偶性与周期性、对称性
【例5】　(2025·辽宁盘锦三模)已知定义域均为R的函数f(x)，g(x)满足f(2－x)＋f(x)＝2，g(4－x)＝g(x)，g(2)＝3，若f(x)＝g(2＋x)＋4，则下列说法错误的是 (　　)
A．f(x)的图象关于y轴对称
B．－8为f(x)的一个周期
C．f(2 023)＝－1
D．f(k)＝16
[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】
1．判断具体函数奇偶性的方法
定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．判断抽象函数奇偶性的方法
根据已知条件，对抽象函数进行合理变形，找到f(－x)与f(x)的关系，从而判断抽象函数的奇偶性．
3．函数单调性的判断方法
定义法、图象法、导数法．
[二级结论]　(1)若f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则2|a－b|为f(x)的周期．
(2)若f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则2|a－b|为f(x)的周期．
(3)若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则4|a－b|为f(x)的周期．
【跟踪训练3】
(1)定义在R上的函数g(x)满足g(x)＝f(x)＋2x，g(x＋2)为偶函数，函数f(3x＋1)的图象关于点(0，2)对称，则f(27)＝ (　　)
A．－46 B．4
C．－50 D．－4
(2)已知定义在R上的偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝2，则满足f(x)＋f(－x)>4的实数x的取值范围为________．
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