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微专题3　导数的几何意义及函数的单调性
导数的几何意义
【例1】　(1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　)
A． B．
C． D．
(2)(2024·福建适应性练习卷)已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln(－x)的切线，则 (　　)
A．k＝，b＝0 B．k＝1，b＝0
C．k＝，b＝－1 D．k＝1，b＝－1
[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】
1．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
2．切点的注意事项
①曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
②切点既在切线上，又在曲线上．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x．
【跟踪训练1】
(1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为 (　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
(2)过坐标原点作曲线f(x)＝ex(x2－2x＋2)的切线，则切线共有 (　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
利用导数研究函数的单调性
【例2】　已知函数f(x)＝(x－2)ex＋x2－ax，讨论函数f(x)的单调性．
[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】
(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视定义域的限制．
(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论．
(3)在不能通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据不等式对应方程的根的情况进行分类讨论．
【跟踪训练2】
已知函数f(x)＝ln x＋ax＋1，a∈R，讨论f(x)的单调性．
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由函数的单调性求参数的值或取值范围
【例3】　若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1，4]上单调递减，则a的取值范围为______．
[听课记录]　_________________________________________________________
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【一题多变】
1．若本例条件变为“函数h(x)在[1，4]上单调递增”，则a的取值范围为________．
2．若本例条件变为“函数h(x)在[1，4]上存在单调递减区间”，则a的取值范围为________．
3．若本例条件变为“函数h(x)在[1，4]上不单调”，则a的取值范围为________．
【规律方法】　
(1)已知函数单调性求参数取值范围问题主要采用等价转化法，但要注意函数在某一区间上单调递增(递减)与存在单调递增(递减)区间的区别，前者是恒成立问题，后者是不等式有解问题．
(2)解决这类问题主要与参数处理相关，因此尽量采取措施合理地规避分类讨论，简化求解过程，否则就要运用分类讨论的思想解决问题．
【跟踪训练3】
(1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)内单调递增，则a的最小值为 (　　)
A．e2 B．e
C．e-1 D．e-2
(2)已知函数f(x)＝x－cos x，若f(x1)＋f(x2)＝π，则f(x1＋x2)等于 (　　)
A．π－1 B．π＋1
C．π D．0
1/1微专题3　导数的几何意义及函数的单调性
导数的几何意义
【例1】　(1)(2024·全国甲卷)设函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
(2)(2024·福建适应性练习卷)已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln (－x)的切线，则(　　)
A．k＝，b＝0 　 B．k＝1，b＝0
C．k＝，b＝－1 　 D．k＝1，b＝－1
(1)A　(2)A　[(1) f ′(x)＝，
所以f ′(0)＝3，所以曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为＝，故选A．
(2)法一(设点法)：设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x相切于点(x1，y1)，直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln (－x)相切于点(x2，y2)，对y＝ln x求导得y′＝，对y＝－ln (－x)求导得y′＝(－1)＝－，
所以有
即解得
所以k＝＝．
法二(代入法)：对于A，对y＝ln x求导得y′＝，令＝k＝，得x＝e，又ln e＝1，所以曲线y＝ln x在点(e，1)处的切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x，同理得曲线y＝－ln (－x)在点(－e，－1)处的切线方程也为y＝x，故A正确．
法三(数形结合法)：由题意得y＝ln x与y＝－ln (－x)的图象关于原点对称，作出两个函数的图象如图所示，由图象得，只有A选项满足题意．
]
【规律方法】
1．导数的几何意义
函数f (x)在x＝x0处的导数就是曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线的斜率．
2．切点的注意事项
①曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
②切点既在切线上，又在曲线上．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x．
【跟踪训练1】
(1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A．y＝x　 B．y＝x
C．y＝　 D．y＝
(2)过坐标原点作曲线f (x)＝ex(x2－2x＋2)的切线，则切线共有(　　)
A．1条　 B．2条
C．3条　 D．4条
(1)C　(2)A　[(1)由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝，故选C．
(2)设切点为，
由f (x)＝ex(x2－2x＋2)，可得f ′(x)＝x2ex，
则切线的斜率k＝，
所以切线方程为＝(x－x0)，
代入原点(0，0)，得＋2x0－2＝0，
故(x0－1)＋2(x0－1)＝0，
即＝0，
解得x0＝1，故过坐标原点的切线共有1条．]
利用导数研究函数的单调性
【例2】　已知函数f (x)＝(x－2)ex＋x2－ax，讨论函数f (x)的单调性．
[解]　f (x)＝(x－2)ex＋x2－ax，函数f (x)的定义域为R，
f ′(x)＝(x－1)ex＋a(x－1)＝(x－1)(ex＋a)．
①当a≥0时，
若x∈(－∞，1)，则f ′(x)<0，所以f (x)在(－∞，1)上单调递减；
若x∈(1，＋∞)，则f ′(x)>0，所以f (x)在(1，＋∞)上单调递增．
②当－e若x∈(－∞，ln (－a))∪(1，＋∞)，则f ′(x)>0，
所以f (x)在(－∞，ln (－a))，(1，＋∞)上单调递增；
若x∈(ln (－a)，1)，则f ′(x)<0，所以f (x)在(ln (－a)，1)内单调递减．
③当a＝－e时，ln (－a)＝1，
x∈R，f ′(x)≥0，所以f (x)在R上单调递增．
④当a<－e时，ln (－a)>1，
若x∈(－∞，1)∪(ln (－a)，＋∞)，则f ′(x)>0，所以f (x)在(－∞，1)，(ln (－a)，＋∞)上单调递增；
若x∈(1，ln (－a))，则f ′(x)<0，所以f (x)在(1，ln (－a))内单调递减．
综上所述，当a≥0时，f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
当－e当a＝－e时，f (x)在R上单调递增；
当a<－e时，f (x)在(－∞，1)，(ln (－a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln (－a))内单调递减．
【规律方法】
(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视定义域的限制．
(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论．
(3)在不能通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据不等式对应方程的根的情况进行分类讨论．
【跟踪训练2】
已知函数f (x)＝ln x＋ax＋1，a∈R，讨论f (x)的单调性．
[解]　函数f (x)＝ln x＋ax＋1，a∈R的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝＋a．
当a≥0时， x∈(0，＋∞)，f ′(x)＝＋a>0恒成立，所以f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a<0时，令f ′(x)＝＋a＝＝0，解得x＝－，
当x∈时，f ′(x)>0，f (x)在区间内单调递增，
当x∈时，f ′(x)<0，f (x)在区间上单调递减．
综上所述，当a≥0时，f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a<0时，f (x)在区间内单调递增，在区间上单调递减．
由函数的单调性求参数的值或取值范围
【例3】　若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1，4]上单调递减，则a的取值范围为______．
∪(0，＋∞)　[因为h(x)在[1，4]上单调递减，
所以当x∈[1，4]时，
h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥恒成立．
设G(x)＝，所以a≥G(x)max，
而G(x)＝－1，
因为x∈[1，4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－，又因为a≠0，
所以a的取值范围是．]
【一题多变】
1．若本例条件变为“函数h(x)在[1，4]上单调递增”，则a的取值范围为________．
(－∞，－1]　[因为h(x)在[1，4]上单调递增，
所以当x∈[1，4]时，h′(x)≥0恒成立，
即a≤恒成立，
又因为当x∈[1，4]时，
－1(此时x＝1)，
所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]．]
2．若本例条件变为“函数h(x)在[1，4]上存在单调递减区间”，则a的取值范围为________．
(－1，0)∪(0，＋∞)　[因为h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，所以h′(x)＜0在[1，4]上有解，所以当x∈[1，4]时，a＞有解，
而当x∈[1，4]时，
－1(此时x＝1)，
所以a＞－1，又因为a≠0，
所以a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．]
3．若本例条件变为“函数h(x)在[1，4]上不单调”，则a的取值范围为________．
　[因为h(x)在[1，4]上不单调，
所以h′(x)＝0在(1，4)内有解，
即a＝＝－1在(1，4)内有解，
令m(x)＝，x∈(1，4)，则－1＜m(x)＜－．
所以实数a的取值范围是．]
【规律方法】　
(1)已知函数单调性求参数取值范围问题主要采用等价转化法，但要注意函数在某一区间上单调递增(递减)与存在单调递增(递减)区间的区别，前者是恒成立问题，后者是不等式有解问题．
(2)解决这类问题主要与参数处理相关，因此尽量采取措施合理地规避分类讨论，简化求解过程，否则就要运用分类讨论的思想解决问题．
【跟踪训练3】
(1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)内单调递增，则a的最小值为(　　)
A．e2　 B．e
C．e-1　 D．e-2
(2)已知函数f (x)＝x－cos x，若f (x1)＋f (x2)＝π，则f (x1＋x2)等于(　　)
A．π－1　 B．π＋1
C．π　 D．0
(1)C　(2)B　[(1)因为函数f (x)＝aex－ln x，所以f ′(x)＝aex－．因为函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)内单调递增，所以f ′(x)≥0在区间(1，2)恒成立，即aex－≥0在区间(1，2)恒成立，易知a>0，则0<≤xex在区间(1，2)恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex．当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在区间(1，2)内，g(x)>g(1)＝e，所以≤e，即a≥＝e-1，故选C．
(2)因为f (x)＝x－cos x，
所以f ′(x)＝1＋sin x≥0．
所以f (x)在R上单调递增．
因为f (x1)＋f (x2)＝π，
所以f (x1)＝π－f (x2)＝π－x2＋cos x2
＝π－x2－cos (π－x2)＝f (π－x2)，
结合f (x)在R上单调递增，知x1＝π－x2，
即x1＋x2＝π．
所以f (x1＋x2)＝f (π)＝π－cos π＝π＋1．]
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