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微专题5　导数与不等式证明
构造函数、利用最值证明不等式
【例1】　已知函数f(x)＝x2＋x＋aln(x＋1)，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a<－1时，a2＋f(x)>1．
[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】　证明不等式f(x)>0(f(x)<0)，可转化为证明f(x)min>0(f(x)max<0)，解题的关键是求出函数f(x)的最小值(最大值)．在求函数f(x)的最值时，主要有以下几种情形：
(1)直接求得f(x)的最值，且最值是一个具体的实数．
(2)求得f(x)的最值，且最值是一个含有参数的代数式，再说明该代数式的最值大于0(小于0)．
(3)通过隐零点求得f(x)的最值，再说明含有隐零点的最值表达式大于0(小于0)．
【跟踪训练1】
已知函数f(x)＝ln x－ax＋1．
(1)求f(x)的极值；
(2)证明：ln x＋x＋1≤xex．
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放缩后构造函数证明不等式
【例2】　(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax＋1．
(1)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：当x≥1时，ex>x＋1＋2xln x．
[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】　放缩法证明不等式的两种基本方法
(1)参数放缩：当给出参数取值范围来证明不等式恒成立时，可以把参数的取值范围放缩为常数．例如：已知a≥1，证明af(x)>0恒成立时，可以参数放缩得到af(x)≥f(x)>0，则只需要证明f(x)>0恒成立．
(2)函数不等式放缩：在导数方法证明不等式中，最常见的是ln x和ex与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ln x与ex进行放缩，使问题简化，再构造函数进行证明．常见的放缩公式如下：①ex≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)；②ln x≤x－1(当且仅当x＝1时取等号)．
【跟踪训练2】
(2025·安徽黄山模拟)已知函数f(x)＝＋ln(x－m)．
(1)若m＝－2，求f(x)的单调区间；
(2)若m≤0，证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥1．
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分拆转化函数证明不等式(凹凸翻转)
【例3】　(2014·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1， f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2．
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1．
[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】
(1)若利用导数求函数的最值比较复杂或无从下手，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．
(2)在证明过程中，等价转化是关键，如g(x)min≥f(x)max成立，可得f(x)≤g(x)恒成立．
(3)有时候不易变形为两个一般函数，也可以选取函数式中的一部分当作新的函数，对其进行分析，从而达到对整个函数性质的研究．
【跟踪训练3】
已知函数f(x)＝xex＋a，g(x)＝xln x＋a．
(1)若函数f(x)的最小值与g(x)的最小值之和为－，求a的值；
(2)若a＝0，x>0，证明：f(x)>g'(x)．
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1/1微专题5　导数与不等式证明
构造函数、利用最值证明不等式
【例1】　已知函数f (x)＝x2＋x＋a ln (x＋1)，a∈R．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)证明：当a<－1时，a2＋f (x)>1．
[解]　(1) f ′(x)＝x＋1＋＝(x>－1)，
当a≥0时，f ′(x)>0在x∈(－1，＋∞)上恒成立，故f (x)在(－1，＋∞)上单调递增；
当a<0时，令f ′(x)>0，得x>－1＋；
令f ′(x)<0，得－1故f (x)在上单调递增，在内单调递减．
综上，当a≥0时，f (x)在(－1，＋∞)上单调递增；当a<0时，f (x)在上单调递增，在内单调递减．
(2)证明：由(1)知，当a<－1时，f (x)min＝f ＝＋a ln (－a)，
所以a2－1＋f (x)≥a2－1＋f (x)min＝a2－1－(a＋1)＋a ln (－a)．
令g(a)＝a2－1－(a＋1)＋a ln (－a)(a<－1)，
则g′(a)＝2a＋ln (－a)．
令h(a)＝2a＋ln (－a)(a<－1)，则h′(a)＝2＋．
因为a<－1，所以h′(a)>0，所以h(a)在(－∞，－1)上单调递增．
又h(－1)<0，所以g′(a)＝2a＋ln (－a)<0，所以g(a)在(－∞，－1)上单调递减．
因为g(－1)＝0，所以g(a)>g(－1)＝0，
所以a2－1＋f (x)≥a2－1＋f (x)min>0，
即当a<－1时，a2＋f (x)>1．
【规律方法】　证明不等式f (x)>0(f (x)<0)，可转化为证明f (x)min>0(f (x)max<0)，解题的关键是求出函数f (x)的最小值(最大值)．在求函数f (x)的最值时，主要有以下几种情形：
(1)直接求得f (x)的最值，且最值是一个具体的实数．
(2)求得f (x)的最值，且最值是一个含有参数的代数式，再说明该代数式的最值大于0(小于0)．
(3)通过隐零点求得f (x)的最值，再说明含有隐零点的最值表达式大于0(小于0)．
【跟踪训练1】
已知函数f (x)＝ln x－ax＋1．
(1)求f (x)的极值；
(2)证明：ln x＋x＋1≤xex．
[解]　(1)由题意得f (x)＝ln x－ax＋1的定义域为(0，＋∞)，
则f ′(x)＝－a＝，
当a≤0时，f ′(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值；
当a>0时，令f ′(x)<0，则x>，令f ′(x)>0，则0即f (x)在内单调递增，在上单调递减，
故x＝为函数的极大值点，函数极大值为f ＝－ln a，无极小值．
(2)证明：设g(x)＝xex－ln x－x－1，x>0，
则g′(x)＝(x＋1)ex－－1，
令h(x)＝(x＋1)ex－－1，
则h′(x)＝(x＋2)ex＋>0(x>0)，
即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
h＝－3<0，h(1)＝2e－2>0，
故 x0∈，使得h(x0)＝0，即＝1，
当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g(x)在(0，x0)内单调递减，
当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，g(x)在(x0，＋∞)上单调递增，
故g(x)min＝g(x0)＝－x0－1＝0，
即g(x)≥0，即xex≥ln x＋x＋1，则ln x＋x＋1≤xex．
放缩后构造函数证明不等式
【例2】　(2025·吉林长春模拟)已知函数f (x)＝ln x－ax＋1．
(1)若f (x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：当x≥1时，ex>x＋1＋2x ln x．
[解]　(1)函数f (x)＝ln x－ax＋1的定义域为(0，＋∞)，
不等式f (x)≤0，即ln x－ax＋1≤0，所以a≥，
令函数g(x)＝，依题意，a≥g(x)对 x∈(0，＋∞)恒成立，
g′(x)＝，当00；当x>1时，g′(x)<0，
函数g(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(x)max＝g(1)＝1，则a≥1，
所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．
(2)证明：由(1)知，当x≥1时，不等式ln x≤x－1恒成立，则2x ln x≤2x(x－1)恒成立，
因此x＋1＋2x ln x≤x＋1＋2x(x－1)＝2x2－x＋1，
令函数h(x)＝，x≥1，
求导得h′(x)＝＝－，
当1≤x<2时，h′(x)>0；当x>2时，h′(x)<0，
函数h(x)在[1，2)内单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，h(x)≤h(2)＝<1，
所以当x≥1时，ex>2x2－1＋1≥x＋1＋2x ln x．
【规律方法】　放缩法证明不等式的两种基本方法
(1)参数放缩：当给出参数取值范围来证明不等式恒成立时，可以把参数的取值范围放缩为常数．例如：已知a≥1，证明af (x)>0恒成立时，可以参数放缩得到af (x)≥f (x)>0，则只需要证明f (x)>0恒成立．
(2)函数不等式放缩：在导数方法证明不等式中，最常见的是ln x和ex与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ln x与ex进行放缩，使问题简化，再构造函数进行证明．常见的放缩公式如下：①ex≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)；②ln x≤x－1(当且仅当x＝1时取等号)．
【跟踪训练2】
(2025·安徽黄山模拟)已知函数f (x)＝＋ln (x－m)．
(1)若m＝－2，求f (x)的单调区间；
(2)若m≤0，证明：当x∈(0，＋∞)时，f (x)≥1．
[解]　(1)若m＝－2，则f (x)＝＋ln (x＋2)，其定义域为(－2，0)∪(0，＋∞)，
f ′(x)＝，
令f ′(x)>0，解得－22，令f ′(x)<0，解得－1所以f (x)在(－2，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－1，0)，(0，2)上单调递减．
(2)证明：当m≤0，x∈(0，＋∞)时，ln (x－m)≥ln x，则有f (x)＝＋ln (x－m)≥＋ln x，
故只需证明当m＝0时，f (x)≥1，
当m＝0时，f ′(x)＝(x∈(0，＋∞))，
令f ′(x)>0，解得x>1，令f ′(x)<0，解得0所以f (x)在区间(0，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，
当x＝1时，f (x)取得最小值，
所以f (x)≥f (1)＝1，
综上，当x∈(0，＋∞)时，f (x)≥1．
分拆转化函数证明不等式(凹凸翻转)
【例3】　(2014·新课标Ⅰ卷)设函数f (x)＝aex ln x＋，曲线y＝f (x)在点(1, f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2．
(1)求a，b；
(2)证明：f (x)>1．
[解]　(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝aex ln x＋ex－ex-1＋ex-1．
由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e．故a＝1，b＝2．
(2)证明：由(1)知，f (x)＝ex ln x＋ex-1，
从而f (x)>1等价于x ln x>xe－x－．
设函数g(x)＝x ln x，则g′(x)＝1＋ln x．
所以当x∈时，g′(x)<0；当x∈时，g′(x)>0．
故g(x)在内单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－．
设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0．故h(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－．
综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f (x)>1．
【规律方法】
(1)若利用导数求函数的最值比较复杂或无从下手，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．
(2)在证明过程中，等价转化是关键，如g(x)min≥f (x)max成立，可得f (x)≤g(x)恒成立．
(3)有时候不易变形为两个一般函数，也可以选取函数式中的一部分当作新的函数，对其进行分析，从而达到对整个函数性质的研究．
【跟踪训练3】
已知函数f (x)＝xex＋a，g(x)＝x ln x＋a．
(1)若函数f (x)的最小值与g(x)的最小值之和为－，求a的值；
(2)若a＝0，x>0，证明：f (x)>g′(x)．
[解]　(1)因为f (x)＝xex＋a，
所以f ′(x)＝(1＋x)ex．
令f ′(x)＝0，解得x＝－1．
所以当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减；
当x∈(－1，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增．
所以f (x)min＝f (－1)＝－＋a．
因为g(x)＝x ln x＋a，x>0，
所以g′(x)＝ln x＋1．
令g′(x)＝0，解得x＝．
所以当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)min＝g＝－＋a．
由题意可得－＋a＝－，
解得a＝－．
(2)证明：法一(凹凸翻转)：要证f (x)>g′(x)，即证xex>ln x＋1，即证>．
令h(x)＝，x>0，φ(x)＝，x>0．
易得h′(x)＝，
则令h′(x)<0，得00，得x>1．
所以h(x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
所以h(x)≥h(1)＝e．
易得φ′(x)＝＝．
令φ′(x)>0，得；
令φ′(x)<0，得．
所以φ(x)在内单调递增，
在上单调递减，
所以φ(x)≤＝所以h(x)>φ(x)，故f (x)>g′(x)．
法二(先放缩再证明)：令φ(x)＝ex－x－1，所以φ′(x)＝ex－1，
当x∈(－∞，0)时，φ′(x)<0，
当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，
所以φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以φ(x)≥φ(0)＝0，即ex≥x＋1，
当且仅当x＝0时等号成立．
当x>0时，xex>x(x＋1)，
要证f (x)>g′(x)，即证xex>ln x＋1，
若x(x＋1)>ln x＋1，
即x(x＋1)－ln x－1>0，则f (x)>g′(x)．
令h(x)＝x(x＋1)－ln x－1，x>0，
所以h′(x)＝2x＋1－＝，
当x∈时，h′(x)<0，
当x∈时，h′(x)>0，
所以h(x)在内单调递减，在上单调递增，
所以h(x)≥h＝－ln ＝ln 2－>0，
所以x(x＋1)－ln x－1>0，即证得f (x)>g′(x)成立．
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