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微专题7　零点问题
判断函数零点的个数
【例1】　(2025·安徽淮北二模)已知函数f (x)＝x2－2x＋aln x．
(1)若a＝1，求曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程；
(2)求证：当a≥0时，f (x)有且仅有一个零点．
[解]　(1)若a＝1，则f (x)＝－2x＋ln x，
f ′(x)＝x－2＋，
所以f ′(1)＝0，f (1)＝－，函数f (x)在x＝1处的切线方程为y＝－．
(2)证明：f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝x－2＋＝，
当a＝0时，f (x)＝－2x，f (x)有且仅有一个零点4；
当a≥1时，f ′(x)≥0，函数f (x)单调递增，
由f (1)<0，f (4)＝a ln 4>0，知f (x)存在唯一零点x0∈(1，4)；
当0当x∈(0，x1)时，f ′(x)>0，函数f (x)单调递增；
当x∈(x1，x2)时，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减；
当x∈(x2，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f (x)单调递增；
当x∈(0，1]时，－2x<0，a ln x≤0，所以f (x)<0，函数f (x)无零点；
因为当x∈(1，x2)时，f (x)单调递减，当x∈(x2，＋∞)时，f (x)单调递增，
且f (x2)0，所以f (x)存在唯一零点x0∈(1，4)．
综上所述，当a≥0时，f (x)有且仅有一个零点．
【规律方法】　判断函数零点个数的方法
(1)利用函数单调性和函数零点存在定理
①讨论函数的单调性，确定函数的单调区间．
②在每个单调区间上，利用函数零点存在定理判断零点的个数．
③注意区间端点的选取技巧．
④含参数时注意分类讨论．
(2)利用数形结合
函数的零点个数等于函数图象与x轴的交点个数，因此借助数形结合思想，可通过函数图象判断函数的零点个数．
①利用导数研究函数f (x)的单调性、极值及最值情况，并结合函数值的正负情况及变化趋势，作出函数f (x)的大致图象，然后根据图象判断零点个数．
②若函数f (x)的图象不易直接作出，可根据函数与方程思想将函数零点转化为方程的根，再将方程进行变形，转化为两个函数的图象交点问题，从而判断函数的零点个数．
【跟踪训练1】
已知函数f (x)＝ex－sin x－1．
(1)讨论函数f (x)在区间(0，＋∞)上的单调性；
(2)证明：函数f (x)在区间(－π，0]内有且仅有两个零点．
[解]　(1)函数f (x)＝ex－sin x－1，当x>0时，f ′(x)＝ex－cos x>1－cos x≥0，
所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)证明：由(1)知，f ′(x)＝ex－cos x，
当x∈时，f ′(x)>0，函数f (x)在内单调递增，f (－π)＝e－π－1<0，f ＝>0，因此函数f (x)在内有唯一零点；
当x∈时，令g(x)＝ex－cos x，
求导得g′(x)＝ex＋sin x，
g′(x)在内单调递增，
g′＝－1<0, g′(0)＝1>0，则存在x0∈，使得 g′(x0)＝0，
当x∈时，g′(x)<0，函数g(x)，即f ′(x)单调递减，
当x∈(x0，0)时，g′(x)>0，函数g(x)，即f ′(x)单调递增，
又f ′＝>0，
f ′(x0)则存在x1∈，使得f ′(x1)＝0，
当x∈时，f ′(x)>0，函数f (x)单调递增，当x∈(x1，0)时，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减，
而f ＝>0，f (0)＝0，因此函数f (x)在内有唯一零点，
所以函数f (x)在区间(－π，0]内有且仅有两个零点．
根据零点求参数的取值范围
【例2】　(2025·重庆九龙坡三模)已知函数f (x)＝－a ln x－x2＋(a＋1)x，a∈R．
(1)当a＝2时，求函数f (x)的极值；
(2)设g(x)＝f (x)＋(a－1)ln x＋x2有两个不同的零点x1，x2，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝2时，f (x)＝－2ln x－x2＋3x，x∈(0，＋∞)，
f ′(x)＝－x＋3＝＝，
由f ′(x)>0，得12，
所以当x∈(1，2)时，f (x)单调递增，当x∈(0，1)和x∈(2，＋∞)时，f (x)单调递减，
所以f (x)的极小值为f (1)＝，f (x)的极大值为f (2)＝4－2ln 2．
(2)g(x)＝f (x)＋(a－1)ln x＋x2＝－ln x＋(a＋1)x，x∈(0，＋∞)，
令g(x)＝－ln x＋(a＋1)x＝0，则a＋1＝，
记h(x)＝，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝，
当x>e时，h′(x)＝<0，当00，
所以h(x)在(0，e)内单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，且h(x)max＝h(e)＝，
又当x>1时，h(x)>h(1)＝0恒成立，
要使g(x)有两个零点，则函数h(x)＝的图象与直线y＝a＋1有两个交点，
所以0所以a的取值范围为．
【规律方法】　已知函数零点个数求参数的取值范围问题的方法
【跟踪训练2】
已知函数f (x)＝(x－2)ex－．
(1)当a＝－1时，求函数f (x)的极值；
(2)g(x)＝f (x)－，若g(x)存在3个零点，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝－1时，f (x)＝(x－2)ex＋，f ′(x)＝(x－1)ex＋x－1＝(x－1)(ex＋1)，
由f ′(x)>0，得x>1，f ′(x)<0，得x<1，
所以f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x＝1时，f (x)取得极小值为f (1)＝－e，无极大值．
(2)由函数g(x)＝(x－2)ex－ax2＋ax＝(x－2)，
可得g(x)有一个零点为x＝2，要使得g(x)存在3个零点，
则需方程ex－ax＝0(x≠2)有2个实根，
而方程ex－ax＝0(x≠2)可化为a＝(x≠0，2)，
令h(x)＝(x≠0，2)，则函数y＝a与y＝h(x)的图象有两个交点．
h′(x)＝＝，令h′(x)＝0，得x＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况列表如下：
x (－∞，0) (0，1) 1 (1，2) (2，＋∞)
h′(x) － － 0 ＋ ＋
h(x) 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 单调递增
所以函数h(x)在x＝1处取得极小值为2e．
当x<0时，h(x)<0，又h(2)＝e2，所以h(x)的大致图象如图，
由函数y＝a与y＝h(x)的图象有两个交点，根据图象可得a∈(2e，e2)∪(e2，＋∞)．
所以要使得g(x)存在3个零点，则实数a的取值范围是(2e，e2)∪(e2，＋∞)．
隐零点问题
【例3】　已知函数f (x)＝ex－4ln x－4．
(1)判断f (x)的导函数f '(x)在(1，＋∞)上零点的个数，并说明理由；
(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，ex－4xln x－1>0．
(注：0.69[解]　(1) f ′(x)＝ex－，x∈(1，＋∞)，
令h(x)＝f ′(x)＝ex－，x∈(1，＋∞)，则h′(x)＝ex＋>0，x∈(1，＋∞)，
所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增，即f ′(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又f ′(1)<0，f ′(2)>0，所以f (x)的导函数在(1，＋∞)上零点的个数为1．
(2)证明：令g(x)＝ex－4x ln x－1，x∈(1，＋∞)，
则g′(x)＝ex－4ln x－4，即f (x)＝g′(x)，
由(1)可知存在x0∈(1，2)，使得f ′(x0)＝0，
当1x0时，f ′(x)>0，
所以f (x)在(1，x0)内单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
又因为f (1)<0，f (2)>0，存在x1∈(1，2)，使得f (x1)＝0，即－4ln x1－4＝0，
当1x1时，g′(x)>0，
所以g(x)在(1，x1)内单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(x1)＝－4x1ln x1－1＝4ln x1＋4－4x1ln x1－1＝4(1－x1)ln x1＋3，
令t(x)＝(1－x)ln x，x∈(1，2)，则t′(x)＝－ln x＋<0，x∈(1，2)，
所以函数t(x)在(1，2)内单调递减，所以t(x)>t(2)＝－ln 2，
所以x1∈(1，2)时，4(1－x1)ln x1＋3>－4ln 2＋3>0，
即当x∈(1，＋∞)时，ex－4x ln x－1>0恒成立．
【规律方法】　隐零点问题求解的三个步骤
(1)用函数零点存在定理判定导函数f '(x)存在零点，列出零点方程f '(x0)＝0，并结合f (x)的单调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f '(x)的正负性，进而得到f (x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入f (x)的最值表达式进行化简证明，有时(1)中零点的取值范围可以适当缩小．
【跟踪训练3】
已知函数f (x)＝x－ln x－2．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若对任意的x∈(1，＋∞)，都有x ln x＋x>k(x－1)成立，求整数k的最大值．
[解]　(1)函数f (x)＝x－ln x－2的定义域是(0，＋∞)，f ′(x)＝1－，
当x∈(0，1)时，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f (x)单调递增，
所以函数f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2) x∈(1，＋∞)，x ln x＋x>k(x－1) k<，
令g(x)＝，x>1，
求导得g′(x)＝＝，
由(1)知，f (x)＝x－ln x－2在(1，＋∞)上单调递增，
f (3)＝1－ln 3<0，f (4)＝2(1－ln 2)>0，因此存在唯一x0∈(3，4)，使得f (x0)＝0，
即x0－ln x0－2＝0 ln x0＝x0－2，
当x∈(1，x0)时，f (x)<0，即g′(x)<0，
当x∈(x0，＋∞)时，
f (x)>0，即g′(x)>0，
因此函数g(x)在(1，x0)内单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
于是g(x)min＝g(x0)＝＝＝x0，则k所以整数k的最大值是3．
2/2微专题7　零点问题
判断函数零点的个数
【例1】　(2025·安徽淮北二模)已知函数f(x)＝x2－2x＋aln x．
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
[听课记录]　_________________________________________________________
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(2)求证：当a≥0时，f(x)有且仅有一个零点．
[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】　判断函数零点个数的方法
(1)利用函数单调性和函数零点存在定理
①讨论函数的单调性，确定函数的单调区间．
②在每个单调区间上，利用函数零点存在定理判断零点的个数．
③注意区间端点的选取技巧．
④含参数时注意分类讨论．
(2)利用数形结合
函数的零点个数等于函数图象与x轴的交点个数，因此借助数形结合思想，可通过函数图象判断函数的零点个数．
①利用导数研究函数f(x)的单调性、极值及最值情况，并结合函数值的正负情况及变化趋势，作出函数f(x)的大致图象，然后根据图象判断零点个数．
②若函数f(x)的图象不易直接作出，可根据函数与方程思想将函数零点转化为方程的根，再将方程进行变形，转化为两个函数的图象交点问题，从而判断函数的零点个数．
【跟踪训练1】
已知函数f(x)＝ex－sin x－1．
(1)讨论函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；
(2)证明：函数f(x)在区间(－π，0]内有且仅有两个零点．
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根据零点求参数的取值范围
【例2】　(2025·重庆九龙坡三模)已知函数f(x)＝－aln x－x2＋(a＋1)x，a∈R．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值；
(2)设g(x)＝f(x)＋(a－1)ln x＋x2有两个不同的零点x1，x2，求a的取值范围．
[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】　已知函数零点个数求参数的取值范围问题的方法
【跟踪训练2】
已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax2＋ax＋．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；
(2)g(x)＝f(x)－，若g(x)存在3个零点，求实数a的取值范围．
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隐零点问题
【例3】　已知函数f(x)＝ex－4ln x－4．
(1)判断f(x)的导函数f'(x)在(1，＋∞)上零点的个数，并说明理由；
(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，ex－4xln x－1>0．
(注：0.69[听课记录]　_________________________________________________________
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【规律方法】　隐零点问题求解的三个步骤
(1)用函数零点存在定理判定导函数f'(x)存在零点，列出零点方程f'(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f'(x)的正负性，进而得到f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入f(x)的最值表达式进行化简证明，有时(1)中零点的取值范围可以适当缩小．
【跟踪训练3】
已知函数f(x)＝x－ln x－2．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若对任意的x∈(1，＋∞)，都有xln x＋x>k(x－1)成立，求整数k的最大值．
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