资源简介

微专题10　平面向量数量积及最值与范围问题
向量数量积及最值(范围)
【例1】　(1)(2025·广东佛山三模)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，以A为圆心的圆与BD相切于点P，则·＝ (　　)
A． B．
C．8 D．4
(2)(2025·北京海淀三模)已知△ABC中，AB＝4，sin C＝，则·的取值范围是 (　　)
A．[－20，4] B．[－10，2]
C．[－2，10] D．[－4，20]
(3)已知平面向量燮a，燮b满足|燮a|＝1，|2燮a－燮b|＝2，则(燮a＋燮b)·燮b的最大值为________．
[听课记录]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【规律方法】　向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征进行求解．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．
【跟踪训练1】
(1)(2025·甘肃酒泉模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝EF，则·的值为 (　　)
A． B．
C．－ D．
(2)太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O且两端点M，N分别在两个半圆弧上，P是大圆上一动点，则·的最小值为________．
求向量模、夹角的最值(范围)
【例2】　(1)(2025·湖南岳阳三模)已知不共线的向量燮a，燮b，燮c满足|燮a|＝1，燮a·燮b＝2，|燮a－燮c|＝|2燮a＋燮c|，则|燮b－燮c|的最小值为 (　　)
A． B．2
C． D．
(2)在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，3]，则cos∠BAD的取值范围是 (　　)
A． B．
C． D．
[听课记录]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【规律方法】
(1)求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过|燮a|2＝燮a2转化为实数问题；数形结合；坐标法．
(2)求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的值域最值，要注意变量之间的关系．
【跟踪训练2】
(1)已知燮e为单位向量，向量燮a满足(燮a－燮e)·(燮a－5燮e)＝0，则|燮a＋燮e|的最大值为 (　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
(2)若平面向量燮a，燮b，燮c满足|燮c|＝2，燮a·燮c＝2，燮b·燮c＝6，燮a·燮b＝2，则燮a，燮b夹角的取值范围是________．
求参数的最值(范围)
【例3】　(1)在△ABC中，＝，P是线段AD上的动点(与端点不重合)，设＝x＋y，则的最小值是________．
(2)设点A(－2，0)，B，C(0，1)，若动点P满足||＝2||，且＝λ＋μ，则λ＋2μ的最大值为________．
[听课记录]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【规律方法】　利用共线向量定理及其推论求参数
(1)燮a∥燮b 燮a＝λ燮b(燮b≠0)．
(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线 λ＋μ＝1．
【跟踪训练3】
(1)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至点E，使得DE＝2CD．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A，＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为________．
(2)如图，点C在半径为1，圆心角为的扇形OAB的上运动．已知＝x＋y，则当∠AOC＝时，x＋y＝_______；x＋y的最大值为_______．
1/1微专题10　平面向量数量积及最值与范围问题
向量数量积及最值(范围)
【例1】　(1)(2025·广东佛山三模)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，以A为圆心的圆与BD相切于点P，则·＝(　　)
A．　 B．　
C．8　 D．4
(2)(2025·北京海淀三模)已知△ABC中，AB＝4，sin C＝，则·的取值范围是(　　)
A．[－20，4]　 B．[－10，2]
C．[－2，10]　 D．[－4，20]
(3)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|2a－b|＝2，则(a＋b)·b的最大值为________．
(1)A　(2)D　(3)20　[(1)由已知条件得，AP⊥BD，因此|AP|＝＝．
故·＝·(＋)＝·＋·＝2||2＝．
(2)法一：由题设，△ABC外接圆半径为r＝＝＝3，
如图，外接圆O中连接OB，OC，OA，可得，＝＋，
所以·＝·(＋)＝·＋·＝||·＋·＝8＋·，当，反向共线时有最小值，最小值为－4；当，同向共线时有最大值，最大值为20，所以·∈[－4，20]．
法二：由题知，建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(0，0)，B(4，0)，设C(x，y)．
则＝(x，y)，＝(4，0)．
设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理知＝＝6＝2R，
所以R＝3，所以AC＝6sin B，BC＝6sin A．
设∠A＝θ，则∠B＝π－θ－C，
所以·＝24sin Bcos θ＝24sin(θ＋C)cos θ
＝24(sin θcos C＋cos θsin C)cos θ
＝24
＝4sin 2θ＋8cos 2θ＋8
＝8＋12sin(2θ＋φ)，其中tan φ＝，
当sin(2θ＋φ)＝1时有最大值20；
当sin(2θ＋φ)＝－1时有最小值－4．
所以·的范围为[－4，20]．
(3)不妨设a＝(1，0)，b＝(x，y)，则2a－b＝(2－x，－y)，
则|2a－b|＝＝2，即(x－2)2＋y2＝4，
(a＋b)·b＝(1＋x，y)·(x，y)＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋y2＝＋y2－，
取两点B(2，0)，C，|BC|＝，
设点P(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝4上，＋y2表示|PC|2，
因此＋y2的最大值为＝，
从而＋y2－的最大值为－＝20．]
【规律方法】　向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征进行求解．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．
【跟踪训练1】
(1)(2025·甘肃酒泉模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝EF，则·的值为(　　)
A．　 B．　
C．－　 D．
(2)太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O且两端点M，N分别在两个半圆弧上，P是大圆上一动点，则·的最小值为________．
(1)A　(2)0　[(1)如图，以BC所在直线为x轴，E为坐标原点，建立平面直角坐标系，
由题意可得E(0，0)，B，C，A，
则D，＝，＝(1，0)，
设F(x，y)，由DE＝EF得，＝3，
所以(x，y)＝3＝，
所以F，所以＝，
所以·＝×1＋×0＝．
(2)连接PO(图略)，可得·＝(＋)·(－)＝－＝4－，
显然当最大，即||取得最大值2时，·取得最小值0．]
求向量模、夹角的最值(范围)
【例2】　(1)(2025·湖南岳阳三模)已知不共线的向量a，b，c满足|a|＝1，a·b＝2，|a－c|＝|2a＋c|，则|b－c|的最小值为(　　)
A．　 B．2　
C．　 D．
(2)在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，3]，则cos∠BAD的取值范围是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
(1)D　(2)A　[(1)由|a－c|＝|2a＋c|，得|a－c|2＝|2a＋c|2，
即a2－2a·c＋c2＝4a2＋4a·c＋c2，又|a|＝1，
整理得a·c＝－．
设a＝，b＝，c＝，则b－c＝－＝，以O为原点建立平面直角坐标系(图略)，
设A(1，0)，C(x，y)，则a＝(1，0)，c＝(x，y)，
所以a·c＝x＝－，即点C在直线x＝－上，
设b＝(m，n)，由a·b＝2，得m＝2，即点B在直线x＝2上，
而|b－c|＝||的几何意义为直线x＝2上的点B到直线x＝－上的点C的距离，
所以|b－c|min＝||min＝2－＝，
即|b－c|的最小值为．
(2)设与同方向的单位向量＝e1，与同方向的单位向量＝e2，与同方向的单位向量＝e3，
由题意，e1＋3e2＝λe3，
所以(e1＋3e2)2＝λ2，
即＋6e1·e2＋9＝λ2，
所以1＋6×1×1×cos∠BAD＋9＝λ2，
所以cos∠BAD＝，
因为λ∈[，3]，所以λ2∈[7，9]，
所以∈，
即cos∠BAD的取值范围是．]
【规律方法】
(1)求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过|a|2＝a2转化为实数问题；数形结合；坐标法．
(2)求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的值域最值，要注意变量之间的关系．
【跟踪训练2】
(1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为(　　)
A．4　 B．5　
C．6　 D．7
(2)若平面向量a，b，c满足|c|＝2，a·c＝2，b·c＝6，a·b＝2，则a，b夹角的取值范围是________．
(1)C　(2)　[(1)可设e＝(1，0)，a＝(x，y)，
则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)＝x2－6x＋5＋y2＝0，
即(x－3)2＋y2＝4，
则1≤x≤5，－2≤y≤2，
|a＋e|＝＝，
当x＝5时，取得最大值6，
即|a＋e|的最大值为6．
(2)设c＝(2，0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a与b的夹角为θ，
则a·c＝2x1＝2 x1＝1，
b·c＝2x2＝6 x2＝3，
所以a＝(1，y1)，b＝(3，y2)，
a·b＝3＋y1y2＝2 y1y2＝－1 y2＝－，
所以cos θ＝＝
＝≤＝，
当且仅当y1＝±时，等号成立，
显然cos θ>0，即0因为0≤θ≤π，所以≤θ<，
因此，a，b夹角的取值范围是．]
求参数的最值(范围)
【例3】　(1)在△ABC中，＝，P是线段AD上的动点(与端点不重合)，设＝x＋y，则的最小值是________．
(2)设点A(－2，0)，B，C(0，1)，若动点P满足||＝2||，且＝λ＋μ，则λ＋2μ的最大值为________．
(1)2＋4　(2)　[(1)因为在△ABC中，＝，所以＝3，
又因为＝x＋y，则＝x＋3y，
因为A，P，D三点共线，则x＋3y＝1，结合题意知x>0，y>0，
所以＝＋＝(x＋3y)
＝＋＋4≥2＋4＝2＋4，
当且仅当
即时，等号成立．
故的最小值是2＋4．
(2)设P(x，y)，
则＝(－2－x，－y)，＝，
由||＝2||，
得＝2，
整理得，x2＋y2＝1，
又＝(x＋2，y)，＝，＝(2，1)，
代入＝λ＋μ，得
所以
所以λ＋2μ＝(x＋y＋2)，
由1＝x2＋y2≥2xy，得xy≤，
所以(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2≤1＋1＝2，
得x＋y≤，
当且仅当x＝y＝时等号成立，
所以λ＋2μ＝(x＋y＋2)≤(＋2)＝．
即λ＋2μ的最大值为．]
【规律方法】　利用共线向量定理及其推论求参数
(1)a∥b a＝λb(b≠0)．
(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线 λ＋μ＝1．
【跟踪训练3】
(1)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至点E，使得DE＝2CD．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A，＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为________．
(2)如图，点C在半径为1，圆心角为的扇形OAB的上运动．已知＝x＋y，则当∠AOC＝时，x＋y＝______；x＋y的最大值为______．
(1)[0，4]　(2)　2　[(1)建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，E(－2，1)，所以＝λ＋μ＝(λ－2μ，μ)，
当P∈AB时，
有
即此时λ＋μ的取值范围为[0，1]；
当P∈BC时，有即1≤λ＋μ＝(λ－2μ)＋3μ＝1＋3μ≤4，此时λ＋μ的取值范围为[1，4]；
当P∈CD时，有即3≤λ＋μ＝(λ－2μ)＋3μ＝(λ－2μ)＋3≤4，此时λ＋μ的取值范围为[3，4]；
当P∈DA时，有即0≤λ＋μ＝(λ－2μ)＋3μ＝3μ≤3，此时λ＋μ的取值范围为[0，3]．
综上所述，λ＋μ的取值范围为[0，4]．
(2)以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点O作OA的垂线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1，0)，B，＝(1，0)，＝，
当∠AOC＝时，C，则＝，
由＝x＋y，得＝x(1，0)＋y，
即解得故x＋y＝．
设∠AOC＝α，则＝(cos α，sin α)，
由＝x＋y，得(cos α，sin α)＝x(1，0)＋y，
即解得
故x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，
由于0≤α≤，故当α＝时，2sin取最大值2，即x＋y的最大值为2．]
1/1

展开更多......

收起↑