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二项式定理的展与合问题
（解析版）
二项式定理是初中数学多项式乘法的拓展延伸，是排列组合的直接应用，还与概率中的二项分布有着密切关系，它是高考热点——随机变量及其分布的基础. 二项式定理揭示了项、项数、系数、指数之间的联系和规律. 一般考查二项展开式的通项公式、二项式系数、展开式系数、某项或者项数等，整体难度不大.
考点一 二项式展开式的通项
角度1二项展开式中特定项的问题
例1的展开式中的系数为____（用数学作答）.
分析
本题可以先把化为，再用二项展开式的通项公式求解.
解 因为，所以的展开式中含的项为，故的展开式中的系数为.
思维升华
1. 通项（，）中含有，，，，五个量，只要知道其中四个，便可求出第五个，即“知四求一”.
2. 求二项展开式的特定项或某项的系数，其实质是考查通项，一般通过建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即，均为非负整数，且，如常数项指数为零，有理项指数为整数等），再将所求得的指数代回通项求解.
角度2几个二项式积的展开式问题
例2 的展开式中的系数为____.
直接展开相乘或先展开一个式子再相乘显然不是好办法．我们可以从每个二项展开式的通项入手，的展开式的通项为，要求展开式中的系数，可以寻找，所满足的条件，确定，的值．
由乘法分配律，可知项的系数分别来自两个二项展开式中相应的两项乘积的系数，如下表所示：
项的系数 常数项
项的系数 项的系数
项的系数 项的系数
所以项的系数为．
对于几个二项式积的展开式中特定项的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意准确地运用分类方法，避免重复或遗漏．当然，本题也可利用排列组合的知识求解．
角度3 三项展开式问题
例3的展开式中，的系数为（ ）
A.10 B.20 C.30 D.60
本题可以先将三项和转化为二项和，即，然后再用二项式展开求解；也可以将看成5个相乘，用组合知识（二项式定理的原理）求解．
方法1：，含的项为，其中含的项为，所以的系数为．故选C．
方法2：因为表示5个相乘，所以可从5个因式中2个因式取，剩余的3个因式中2个因式取，1个取，因此的系数为．故选C．
思维升华 三项或三项以上的式子的展开问题，可以根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，其中，项与项结合时，要注意合理性和简捷性．也可以运用组合数知识，把看成n个的积，利用组合数知识分析项的构成．
考点二 二项式定理的性质
角度1二项式系数和与各项系数和问题
例4 已知多项式，则，．
分析 第一空利用二项式定理直接求解即可；第二空采用赋值法，令求出，再令即可得出答案．
含的项为，故．
令，即；令，即．所以．
思维升华 1.二项展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，各二项式系数的和为，各项系数之和常用“赋值法”来求解．
2.在二项展开式中应用“赋值法”的一般步骤：
（1）观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征；
（2）赋值：结合待求问题和上述特征，对变量赋值，常见的赋值有，，等，具体视情况而定；
（3）解方程：赋值后结合待求问题建立方程（组）求解便可．
角度2二项式系数与项的系数最值问题
例5分别求的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
分析 展开式中二项式系数最大的项是哪一项；由中决定，注意要区分是奇 数还是偶数；系数最大的项一般通过不等式组来求解．
展开式中二项式系数的最大值为和，所以二项式系数最大的项为和．
设展开式中第项的系数最大，因为，
所以解得．又且，所以，
所以展开式中系数最大的项为．
思维升华
求解二项展开式中系数的最值策略．
（1）二项式系数的最大值，依据中的奇偶及二项式系数的性质求解．若为偶数，则展开式中间一项为第项，其二项式系数最大，为；若为奇数，则展开式中间两项为第项和第项，其二项式系数相等且最大，为．
（2）项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为，，，，且第项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果．
二项式定理是高中数学的一个重要内容，其应用比较广泛，因此，我们在学习的时候要注重基础，注意积累，强化知识间的融会贯通．二项式定理的展与合问题
（原卷版）
二项式定理是初中数学多项式乘法的拓展延伸，是排列组合的直接应用，还与概率中的二项分布有着密切关系，它是高考热点——随机变量及其分布的基础. 二项式定理揭示了项、项数、系数、指数之间的联系和规律. 一般考查二项展开式的通项公式、二项式系数、展开式系数、某项或者项数等，整体难度不大.
考点一 二项式展开式的通项
角度1二项展开式中特定项的问题
例1的展开式中的系数为____（用数学作答）.
角度2几个二项式积的展开式问题
例2 的展开式中的系数为____.
直接展开相乘或先展开一个式子再相乘显然不是好办法．我们可以从每个二项展开式的通项入手，的展开式的通项为，要求展开式中的系数，可以寻找，所满足的条件，确定，的值．
角度3 三项展开式问题
例3的展开式中，的系数为（ ）
A.10 B.20 C.30 D.60
考点二 二项式定理的性质
角度1二项式系数和与各项系数和问题
例4 已知多项式，则，．
角度2二项式系数与项的系数最值问题
例5分别求的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

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