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四种方法解数列求和问题
（解析版）
数列求和及其应用一直是高考的热点，常与函数、方程、不等式等知识点联系在一起综合考查，如果大家仅仅掌握教材中的等差（比）数列的求和公式，那么在考试的时候常常会有捉襟见肘、黔驴技穷之感.教材中的知识是我们进阶的基础，在夯实基础的同时，我们不妨学一些妙法大招，领略不同于课本的数学之美.
一、裂项相消求和
例1已知函数的图象过点，令，．记数列的前项为，则（ ）
A. B.
C. D.
由，可得，解得，则．所以，所以．故选C．
1. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项和变成首尾若干项之和．此法适用于形如（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等．
2. 一些常见的裂项方法：
，特别地，当时，；
，特别地，当时，；
（3） ；（4） .
二、错位相减求和
例2 已知等比数列的前项和为，若，，则数列的前项和为（ ）
A. B.
C. D.
由题意可知，则解得，，所以，所以，则数列的前项和，，两式相减，得，所以。故选D。
总结提升
1. 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求。
2. 错位相减法求和的策略
（1）在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式。
（2）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。
三、分组转化求和
例3 已知数列是等差数列，且，，数列是递增的等比数列且，。
（1）求数列的通项公式；
（2）求。
（1）.
（2）由题意，得是递增的等比数列，解得，，，所以，所以.
1. 分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列，是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.
2. 分组转化法求和的常见类型
（1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组转化法求的前项和.
（2）通项公式为的数列，其中数列，是等比或等差数列，可采用分组转化法求和.
例4已知函数，则的值为（ ）
A.1 B.2 C.2020 D.2021
解析 函数，设，则有，所以，令，所以，即。故选C。
倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法．
四、奇偶并项求和
例5 已知等差数列和等比数列满足：，且，，是等比数列的连续三项．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和．
（1），．
（2），所以．
并项求和法：若一个数列的前项和，可以两两结合求解，则称为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．例如，．
通过以上例题的分析，我们得到这样的经验：解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路．一是等价转化的思想，它是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．二是不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．四种方法解数列求和问题
（原卷版）
数列求和及其应用一直是高考的热点，常与函数、方程、不等式等知识点联系在一起综合考查，如果大家仅仅掌握教材中的等差（比）数列的求和公式，那么在考试的时候常常会有捉襟见肘、黔驴技穷之感.教材中的知识是我们进阶的基础，在夯实基础的同时，我们不妨学一些妙法大招，领略不同于课本的数学之美.
一、裂项相消求和
例1已知函数的图象过点，令，．记数列的前项为，则（ ）
A. B.
C. D.
二、错位相减求和
例2 已知等比数列的前项和为，若，，则数列的前项和为（ ）
A. B.
C. D.
三、分组转化求和
例3 已知数列是等差数列，且，，数列是递增的等比数列且，。
（1）求数列的通项公式；
（2）求。
例4已知函数，则的值为（ ）
A.1 B.2 C.2020 D.2021
四、奇偶并项求和
例5 已知等差数列和等比数列满足：，且，，是等比数列的连续三项．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和．

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