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一类分式型函数图象的对称性问题
（原卷版）
我们知道，函数的奇偶性从本质上看，是用代数方法刻画了函数图象的对称性. 有些函数虽不具有奇偶性，但它们的图象却具有更一般的对称性，如图象关于直线（为非零常数）轴对称，或关于点（，是不同为零的常数）中心对称，同样可以用代数形式和分别加以刻画. 带着这样的想法，让我们来探究一类分式型函数图象的对称性，一起感受数学探究的无穷乐趣吧！
探究一 从简单开始，形数兼探
问题1
一次分式函数的图象，是否具有上述对称性？
探究二 指数代换，再探性质
问题2 将替换为，得到函数，该函数的图象是否具有类似的对称性呢？
探究三 常数代换，又探性质
问题3 在探究二的基础上，将1替换为常数，得到函数，该函数的图象是否具有对称性呢？
追问
如果呢？函数的图象是否也具有对称性呢？
那么，你能大胆猜想出它的对称中心的坐标吗？你能尝试用代数方法给出严格的证明吗？
追问
你还有其他方法说明该猜想的合理性吗？
探究四 双参代换，深探性质
问题4
如果引入两个不同的参数，，得到函数（，均为常数，且），那么该函数的图象是否仍具有对称性呢？如果有，它的对称中心又是什么？一类分式型函数图象的对称性问题
（解析版）
我们知道，函数的奇偶性从本质上看，是用代数方法刻画了函数图象的对称性. 有些函数虽不具有奇偶性，但它们的图象却具有更一般的对称性，如图象关于直线（为非零常数）轴对称，或关于点（，是不同为零的常数）中心对称，同样可以用代数形式和分别加以刻画. 带着这样的想法，让我们来探究一类分式型函数图象的对称性，一起感受数学探究的无穷乐趣吧！
探究一 从简单开始，形数兼探
问题1
一次分式函数的图象，是否具有上述对称性？
思考
从形入手：将函数变形为，于是可先将函数的图象向右平移1个单位长度，得到，再将的图象向上平移1个单位长度，得到的图象（如图1）. 不难发现，函数的图象关于点中心对称.
从数入手：注意到函数的定义域为，如果其图象具有上述对称性，那么对称轴方程应该为或对称中心为直线上某一定点，从数的角度应该有或为常数，下面分别计算和.
因为，所以的图象不关于直线对称.
又因为，所以的图象关于点中心对称.
探究二 指数代换，再探性质
问题2 将替换为，得到函数，该函数的图象是否具有类似的对称性呢？
思考 显然，手工画图已经不方便了，可以借助Geogebra作图软件，一看究竟. 如图2，直观判断函数的图象关于原点中心对称.
追问 如果没有作图软件的直观支撑，又应如何探究其对称性呢？
注意到函数的定义域为，如果它的图象具有对称性，那么应考虑关于直线轴对称或关于轴上某一点中心对称，因此可以分别计算和加以探究.
因为，所以函数的图象不关于直线对称.
又因为，所以的图象关于原点中心对称.
通过探究，我们发现，变化后的函数图象的对称性仍然存在，只是对称中心发生了变化.
探究三 常数代换，又探性质
问题3 在探究二的基础上，将1替换为常数，得到函数，该函数的图象是否具有对称性呢？
思考 不妨先借助Geogebra作图软件，观察动态图象（随的变化而变化），可以发现：当时，的图象都成中心对称，形如图3. 根据函数的定义域，我们不难猜想其对称中心为. 下面来证明.
证明
因为，所以。
追问
如果呢？函数的图象是否也具有对称性呢？
此时，函数的定义域为，就不太容易猜想出它的对称中心或对称轴方程了，很容易误判。事实上，借助Geogebra作图软件，如图4，可以惊讶地发现：
函数的图象仍是中心对称图形。
那么，你能大胆猜想出它的对称中心的坐标吗？你能尝试用代数方法给出严格的证明吗？
猜想
对称中心为，下证：。
证明
因为，
所以。
追问
你还有其他方法说明该猜想的合理性吗？
事实上，时，，根据时的探究结论知，其分母对应的函数的图象关于点中心对称，所以函数的图象也关于点中心对称。
通过以上探究，我们发现：当时，的图象都具有对称性，且其对称中心为。
有兴趣的同学可以在此基础上进一步探究：当时，的图象性质，如单调性、值域等。
探究四 双参代换，深探性质
问题4
如果引入两个不同的参数，，得到函数（，均为常数，且），那么该函数的图象是否仍具有对称性呢？如果有，它的对称中心又是什么？
类比探究三，我们可以不再对的符号进行讨论，而是直接研究目标，计算，看结果是否为常数（只用，表示）.
因为 所以.
所以函数（，均为常数，且）的图象关于点中心对称.
至此，我们从简单开始，不断提出新问题，放飞思维的翅膀，探究发现了一串新结论. 有兴趣的同学还可以继续探究下去，提出更多新问题，发现更多有趣的结论. 法国艺术家罗丹说过，生活并不缺少美，而是缺少发现美的眼睛. 通过以上探究，从无到有，从简单到复杂，从直觉感知到理性证明，感受到数学对称之美，体会到数学严谨之风，享受了数学探究之趣.

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