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构造斜率关系解定点、定直线问题
(原卷版）
椭圆或双曲线的定点、定直线问题解决的关键在于有清晰的问题解决导向，无论是题目条件中直接给出的斜率线索，还是需要我们通过推理证明来确立斜率关系，解析几何都巧妙地将斜率与曲线在特定顶点处引出的直线斜率紧密相连。面对此类问题，我们应敏锐地捕捉到这一联系，沿着与顶点紧密相关的直线斜率关系进行深入挖掘与探索。
1.可见斜率关系，顺势而为
无论是题中条件提及斜率关系，或是需要求证斜率关系，考察出现的斜率与曲线在某一顶点处的直线斜率的关系，沿着与顶点有关的直线的斜率关系的方向开展探索。
例1已知椭圆的左顶点为，椭圆的离心率为，且椭圆与
直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）、为椭圆上异于点的两点，如图2所示. 直线的斜率存在且不为，若，问：直线是否过定点？ 请说明理由.
例2已知为双曲线 （，）上的一点，且双曲线的渐近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），若直线、的斜率，满足，且直线与直线及轴分别交于，两点，如图3.求证：的面积为定值.
2.构造斜率关系，迎难而上
在诸多问题情境中，当题目并未直接显露斜率关系的线索，此时，洞察与曲线顶点紧密相依的直线特性，巧妙构建其斜率关系，便成为解锁难题的金钥匙，引领我们跨越困难障碍的鸿沟。
2.1定点问题
例3如图4，已知，分别为椭圆的左、右顶点，为上的顶点，其中，为直线上的动点，与椭圆的另一交点为，与椭圆的另一交点为。
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线过定点。
2.2定直线问题
例4已知双曲线的实轴长为，两渐近线的夹角为。
（1）求双曲线的方程；
（2）当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，如图5.证明：点在定直线上，并求出定直线方程.
3.构造斜率关系为主，其余关系为辅
当面对问题，陷入解题迷茫之时，主抓“从顶点构建直线斜率关系”这一核心策略，让解题之路豁然开朗，顺利打破解题僵局。
例5已知双曲线与平面上两点，，过点的直线与双曲线的左支交于、两点，直线、分别与双曲线的右支交于、两点，如图6.证明：直线过定点。构造斜率关系解定点、定直线问题
(解析版）
椭圆或双曲线的定点、定直线问题解决的关键在于有清晰的问题解决导向，无论是题目条件中直接给出的斜率线索，还是需要我们通过推理证明来确立斜率关系，解析几何都巧妙地将斜率与曲线在特定顶点处引出的直线斜率紧密相连。面对此类问题，我们应敏锐地捕捉到这一联系，沿着与顶点紧密相关的直线斜率关系进行深入挖掘与探索。
例：已知椭圆，为椭圆的左顶点，不经过点的直线与椭圆交于，两点，如图1所示。
设不过点的直线的方程为，由椭圆方程，
。
联立直线的方程，由
，因为，两点是直线与椭圆的交点，所以，两点的坐标满足①式。
另一方面，设椭圆上与点不重合的点与连线的斜率为，即，将①式两边同除以整理得：，则与为该方程的两根，由韦达定理有：，。特别地，注意到椭圆中的性质：，于是可进一步得到。
此处借助直线方程的创造性设法以及椭圆方程为与直线方程匹配而作的变形，以椭圆的顶点为“出发点”，先构造出两直线斜率、的关系，再结合、具有的性质关系，从而产生三条直线斜率、、之间的关系，为后续问题的解决提供方向。
一般地，以椭圆或双曲线的某一顶点作为切入点，构造出与椭圆或双曲线顶点有关的直线的斜率关系，通过直线斜率关系的穿针引线，为解决与椭圆或双曲线顶点相关的一类定点、定直线问题提供方向指引，让此类问题的解决有的放矢，一气呵成。
1.可见斜率关系，顺势而为
无论是题中条件提及斜率关系，或是需要求证斜率关系，考察出现的斜率与曲线在某一顶点处的直线斜率的关系，沿着与顶点有关的直线的斜率关系的方向开展探索。
例1已知椭圆的左顶点为，椭圆的离心率为，且椭圆与
直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）、为椭圆上异于点的两点，如图2所示. 直线的斜率存在且不为，若，问：直线是否过定点？ 请说明理由.
分析 由推出，可见与椭圆顶点相关的直线的斜率的乘积关系，故可考虑构造出与顶点有关的直线的斜率关系，便可与推出的斜率关系比较，简单且有效.
解 （1）椭圆方程为，过程略；
（2）设不过点的直线的方程为，由椭圆方程，又，则，即 ①，
设，①式两边同除以整理得：，由韦达定理有：，由，则，代入直线的方程得：，整理得：，则直线过定点.
注 通过构造出与顶点有关的直线的斜率关系，与题中呈现的斜率关系对比，让问题的解决恰到好处.
例2已知为双曲线 （，）上的一点，且双曲线的渐近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），若直线、的斜率，满足，且直线与直线及轴分别交于，两点，如图3.求证：的面积为定值.
分析 由已知，仍可考虑构造出与顶点有关的直线的斜率的关系，顺势找出题中要点，可为问题的解决奠定基础.
解 （1）双曲线的方程为，过程略；
（2）设不过点的直线的方程为，由双曲线方程，又，则，即 ①，
设，①式两边同除以整理得：，由韦达定理有：，则，代入直线的方程得：，
整理得：，则直线过定点，即直线与交于点，故（定值）.
注 以出现的为指引，构造出与顶点有关的直线的斜率的关系，找出定点，一
击即中，整个过程清晰简洁，无需过多冗长的陈述。
因此，无论题中可见斜率和或是斜率积等关系，从椭圆或双曲线的某一顶点出发，构造出与该顶点相关联的直线斜率关系，这一策略往往能让我们在处理涉及明确斜率特征的定点问题时，展现出一种游刃有余的从容与自信，这不仅是对此类问题深刻理解的体现，更是数学思维灵活性与创造性的生动展示。
2.构造斜率关系，迎难而上
在诸多问题情境中，当题目并未直接显露斜率关系的线索，此时，洞察与曲线顶点紧密相依的直线特性，巧妙构建其斜率关系，便成为解锁难题的金钥匙，引领我们跨越困难障碍的鸿沟。
2.1定点问题
例3如图4，已知，分别为椭圆的左、右顶点，为上的顶点，其中，为直线上的动点，与椭圆的另一交点为，与椭圆的另一交点为。
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线过定点。
解析 （1）椭圆的方程为，过程略；
（2）设不过点的直线的方程为，由椭圆方程，又，则，即 ①，
设，①式两边同除以整理得：，由韦达定理有： ②，
又，因为点在椭圆上，所以。
于是 ③，由②③得：，，，，代入直线的方程得：，整理得：，则直线过定点。
注 此处虽未见直接的斜率关系，但可见过顶点的直线，因此，以该顶点构造出直线的斜率关系，同时注意兼顾到椭圆或双曲线上的点与曲线两顶点连线的斜率乘积为定值这一特征，最后围绕三条直线的斜率关系开展探究，困难也就迎刃而解了。
2.2定直线问题
例4已知双曲线的实轴长为，两渐近线的夹角为。
（1）求双曲线的方程；
（2）当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，如图5.证明：点在定直线上，并求出定直线方程.
解析 （1）双曲线的方程为或，过程略；
（2）由（1）知，当时，双曲线的方程为，
设不过点的直线的方程为，由双曲线方程，又，则，即。
设，①式两边同除以整理得：，由韦达定理有：，又，因为点在双曲线上，所以，于是，由②③得：，又因为直线过点，即直线过点，则，那么。
，，，即点在定直线上。
注 同样是三条直线斜率的联合应用，注意解题最后时刻动点坐标引入的时机，那定直线问题与定点问题就如出一辙。
毋庸置疑的是，无论是定点问题还是定直线问题，从椭圆或双曲线的某一个顶点出发，构造出直线的斜率关系，是问题顺利获解的致胜法宝，是处理椭圆或双曲线这一类定点、定直线问题舞台上的主角。
3.构造斜率关系为主，其余关系为辅
当面对问题，陷入解题迷茫之时，主抓“从顶点构建直线斜率关系”这一核心策略，让解题之路豁然开朗，顺利打破解题僵局。
例5已知双曲线与平面上两点，，过点的直线与双曲线的左支交于、两点，直线、分别与双曲线的右支交于、两点，如图6.证明：直线过定点。
解析 过双曲线上两点且不过双曲线左顶点的直线方程
统一设为，则
，又，
，即，
设，②式两边同除以整理得：，
当①式表示直线时，由韦达定理有：
，又因为直线 过点 ，，则 ；
当①式表示直线 时，由韦达定理有：，又直线 过点 ，，则 ；
当①式表示直线 时，同理有 ；
于是 ，又 ，，
则当①式表示直线 时，有 ，于是 ，此时直线 的方程为 ，即 ，所以直线 过定点 。
注 从椭圆或双曲线的某一顶点构造出直线的斜率关系，此乃问题解决之根本，犹如航行中的灯塔，指引方向，再辅以题目中散落的条件碎片，主次分明，相得益彰，即便是看似棘手无解的问题，也能在这样的策略下，逐步显现出解决之道，迎来柳暗花明的那一刻。
椭圆或双曲线的定点、定直线问题一直是难度较大的知识区域，在有限时间内解决问题的关键在于具备清晰的问题解决导向以及熟练的运算操作。与椭圆或双曲线的顶点关联的定点、定直线问题，从顶点出发，构造出直线的斜率关系，不仅让此类问题有清晰的解决方向，还能有效降低运算量，实质性地突破了这一困难知识区域的障碍，为高中数学的提质增效学习创造更多可能。

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