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利用极坐标解圆锥曲线问题
（解析版）
圆锥曲线是新高考的考查重难点，但复杂的计算过程使其成为学生学习中的一大痛点。研究发现，在解决圆锥曲线中涉及长度、角度的问题时，引入极坐标往往能让解题过程更简洁高效。在部分圆锥曲线问题中，若能充分发挥极坐标与参数方程的工具作用，常可达到“四两拨千斤”的解题效果。
1.涉及线段过原点，通过直极互化利用极径几何意义解题
例1. 已知椭圆的中心为，长、短轴的长分别为，，，分别为椭圆上的两点，且。
求证：为定值；
求面积的最大值和最小值。
解.（1） 以椭圆中心为直角坐标原点，长轴所在的直线为轴建立直角坐标系，见图1。设椭圆的直角坐标方程为，将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得，即，
∵ ，∴ 设，（），则，，
，
为定值.
（2）由题可知： 当且仅当 ，即 或 或 或 时， 有最小值 ；当 ，即 或 或 或 时， 有最大值 .
本题用直角坐标系传统方法求解，会涉及四个变量，运算量比较大（本文略）. 但以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，就可以进行直、极互化，利用极径的几何意义解题. 本题涉及到的相关线段过坐标原点，故只需将直角坐标化为极坐标即可得证.
2.涉及线段过焦点，利用圆锥曲线极坐标统一式解题
例2. 已知点 为抛物线 的焦点，过点 作两条互相垂直的直线 ，，直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A.16 B.14 C.12 D.10
这是一道用极坐标解题的经典例子，本文介绍四种解法：从直角坐标常规方法，到直角坐标参数方程法，再到圆锥曲线极坐标统一式，以及利用极坐标定义本质求解法，经历了 “小题大做” 到 “小题小做” 的过程.
探究一 ：利用垂直关系构造两条直线的点斜式方程，直曲联立利用弦长公式求得弦长，再利用基本不等式求得最小值.
解. 如图2所示，易知直线 ， 斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，又抛物线焦点为 ，故直线 的方程为 ，直曲联立
可得：，
，
，
，用 去替换式子中的 ，可得
，
，当且仅当 ，即 时等号成立，则 的最小值为16.
探究二： 利用直线参数方程 的意义解题
解. 如图2所示，设直线 的倾斜角为 ，因为焦点为 ，所以直线 的参数方程为 （ 为参数），将 的参数方程代入 ，可得 ，
，
， 相互垂直，
直线 的倾斜角为 ，
，
， 当 时， 取得最小值16.
探究三 ：由圆锥曲线极坐标统一方程求解.
圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）可统一定义为：与一个定点（焦点 ）和一条定直线（准线 ）的距离之比为常数 的点的轨迹.
建立以焦点 为极点， 轴正向为极轴的极坐标系，其统一方程为：（其中 为焦距距）. 在这个统一方程中，定点在定直线的右边，故取椭圆左焦点为极点，双曲线右焦点为极点，抛物线开口向右，当 时表示椭圆，当 时表示抛物线，当 时表示双曲线.
以抛物线的焦点为极点建立极坐标系，如图3所示.
解.设抛物线的极坐标方程为，设点，则，，，代入极坐标方程，得，，，，
，；
，当时，取得最小值16.
探究四 将抛物线进行平移，以焦点为坐标原点和极点后进行直、极互化，利用极径的几何意义求解.
解.为抛物线的焦点，将抛物线向左平移1个单位得，直、极互化得，易知，，设，，，
，同理.
，当时，取得最小值16.
对比上述方法不难发现，极坐标在解决长度类问题时，能显著简化解题过程. 在探究三中，利用圆锥曲线的极坐标统一式求解过焦点的弦长问题，效率极高，该结论也已得到广泛应用；但它存在明显短板——当直线不过焦点时，此结论便不再适用. 在当前数学命题设计中，出题者常将“一般规律”弱化为“特殊情况”来设计考题，并以此为载体考查解题者的数学素养. 学生在解决此类问题时，往往倾向于套用结论，却不理解结论背后的问题本质，最终导致“解一题，丢一题”，无法真正摆脱题海束缚. 因此，教师在讲解过程中，需引导学生探索一般规律，帮助学生从整体上把握知识的内在逻辑，进而培养其知识迁移能力，实现“解一题，带一片”的教学效果. 本题中的探究四恰好解决了这一核心问题：无论直线是否过极点，计算弦长时只需平移直角坐标系，借助极坐标的几何意义即可轻松求解. 本质上，探究四是通过统一直角坐标与极坐标，利用极径的几何意义解决长度问题，具备通法的普适性.
3.涉及线段过除原点，焦点以外的一点，通过平移利用极径的几何意义解题
例3. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，，且.
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 设直线与椭圆相交于，两点，与圆相交于，两点，见图4，求的取值范围.
解.（1） 易知椭圆的标准方程为；
（2） 法1： 设，，联立直线与椭圆方程得：，消去可得：，，，
所以弦长. 设圆的圆心到直线的距离为，故（此处原内容未完整，按要求不填充）
，
，
，
的取值范围是
法2：极坐标法
设直线 与x轴交于点M，以点M为极点，射线Mx为极轴建立极坐标系，见图5，则椭圆和圆的方程都等价于向左平移了一个单位，椭圆E的方程变为： ，极坐标方程为： ，圆的方程变为： ，极坐标方程为 ，设直线方程为 ，联立椭圆与直线极坐标方程得：
故 ，
联立圆与直线极坐标方程得 ，故 ，
，
，
，
法3：本题也可用直线的参数方程解题，利用参数t的几何意义解题，此处略.
通过上述例子不难发现，在直角坐标系下解决圆锥曲线问题，对学生能力的要求较高.一道题不仅考查学生的推理论证能力、运算求解能力，还考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想，同时兼顾对创新意识、应用意识的考查. 正是这些特点，使得圆锥曲线问题成为学生的学习痛点. 但在部分解析几何问题中引入极坐标，常能让解题思路更清晰，实现化繁为简的效果.
直角坐标系与极坐标系是研究解析几何的两个基本坐标系统，二者从不同视角，建立了平面内点集与具有丰富几何意义的有序实数对之间的对应关系. 不能说极坐标一定优于直角坐标，也不能说直角坐标无可替代，它们相辅相成、各有千秋. 奥地利思想家马赫提出 “思维经济原则”（又称 “费力最小原则”）. 参照这一原则，我们在需要揭示事物本质时，应从不同角度选择不同工具，以实现目标.利用极坐标解圆锥曲线问题
（原卷版）
圆锥曲线是新高考的考查重难点，但复杂的计算过程使其成为学生学习中的一大痛点。研究发现，在解决圆锥曲线中涉及长度、角度的问题时，引入极坐标往往能让解题过程更简洁高效。在部分圆锥曲线问题中，若能充分发挥极坐标与参数方程的工具作用，常可达到“四两拨千斤”的解题效果。
1.涉及线段过原点，通过直极互化利用极径几何意义解题
例1. 已知椭圆的中心为，长、短轴的长分别为，，，分别为椭圆上的两点，且。
求证：为定值；
求面积的最大值和最小值。
2.涉及线段过焦点，利用圆锥曲线极坐标统一式解题
例2. 已知点 为抛物线 的焦点，过点 作两条互相垂直的直线 ，，直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A.16 B.14 C.12 D.10
3.涉及线段过除原点，焦点以外的一点，通过平移利用极径的几何意义解题
例3. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，，且.
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 设直线与椭圆相交于，两点，与圆相交于，两点，见图4，求的取值范围.
y
B
A
2
图1椭圆

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